và DEF có cùng trọng tâm.
Giải
Ta quy ước chữ cái thường là tọa vị của đỉnh tương ứng, chẳng hạn z là tọa vị của A. Vì ADB, BEC, CFA là các tam giác đồng dạng cùng hướng nên
dđ-a_c-b_ƒ-c ba c-b a-c
Do đó d=a+(b—a)z,e=b+(c—b)z, ƒ=c+(a-~©)z. Suyra
=z
c+d+ƒ_a+b+c
3 3
Hay các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Ví dụ 11. ( Định 1í con nhím). Trong mặt phẳng cho đa giác đơn 4A...A,.. Xét các
ưu /1,
uU
ư ưu ưu ưu UuUuuuUL . cà
; , hướng ra ngoài miễn
VỐC-IƠ ?!¡,01;,...,H,, HỖ HH, +4,;4, (coi A,= 4), = uUUuuự 4A,
` u Uuu uu
đa giác đơn. Chứng minh rắng ¡, +¡;,...+ø„ = 0. " Giải
UUUUUL
h tt
Nêu đa giác đó được định hướng thuận thì z„, có được do quay véc-tơ 44, ,4, góc =5
„ —ỉ
nên H, có tọa vị e SIA
(z;—z,.,) (coi 4, là điểm của mặt phẳng phức có tọa độ z, ).
u tt tu
Vậy iị +i;,... +, có tỌa Vị (Z4 — Zy)+(Z¿ —Z¡)+...+(Z¿ — Z„„¡) =0W
Ví dụ 12. (Đường tròn Euler và đường thẳng Euler).
Cho tam giác 4,4,4, có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B,,B,,B, lần lượt là trung điểm các cạnh 4,4,,4,4,,4,4,; P,P,,P, là chân đường cao
hạ từ hạ từ 44,⁄4,,44, xuống các đỉnh tương ứng; €j,C,,C; là trung điểm của đoạn thắng nối từ đỉnh 4,A,, A, với trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng
a) H, O, G thắng hàng và đường thăng đi qua ba điểm này gọi là đường thắng Euler.
b) Chín điểm B,,B,,B,, P,P,,P,,C\,C,,C, thuộc một đường tròn, gọi là đường tròn
Euler.
Giải
Xét bài toán trong mặt phẳng phức. Chọn tâm O làm góc tọa độ, đường tròn ngoại tiếp tam giác 444,44, là đường tròn đơn vị, ta quy ước chữ cái thường là tọa vị của các đỉnh tương ứng. 1) Ta có b 1 , _®+@; b _m +4 b _@ +ứi g=5.114
2°” 2.) 2 3
Lấy H,là điểm đối xứng tâm đường tròn qua dây 444,, vậy O4,/7,⁄4, là hình thoi, do đó J, = a, +a,. Mặt khác, xét H là đỉnh hình bình hành 4,Ø/,H.
đó J, = a, +a,. Mặt khác, xét H là đỉnh hình bình hành 4,Ø/,H.
Khi đó h=h+a;=a+a;+a;.
Do đó g= vhh tức là |odị =3 0| và H, O, G thắng hàng. 2) Ta có |a|= 4| =la| =l và ayäai =l,a;a; =l,a;a; = ].
Do P,P,,P, là chân đường cao hạ từ hạ từ 4, 4,, 4; xuống các đỉnh tương ứng nên
; =:Ía +4; +a,—aa,4,)
1
Đ› =sÍa +4; +a,—a,ađ,)
1
Dị =s(a +a,;+@; ~a;a,a)
Mặt khác C,C,,C, là trung điểm của đoạn thăng nối từ đỉnh 44,4,,⁄4, với trực tâm
của tam giác, ta có
h+a a,+a dị= tra + 23 2 2 h+a, a +đ; C;= *=a,+ 2 2 h+a a,+a, Œœ=——*=a,+->— 2 Ỷ 2
