ngôn ngữ lindenmayer nguyên một phía.
2.1. ngôn ngữ lindenmayer nguyên hai phía 1.Định lý (i) Đối với mọi k ≥ 1 và l ≥ 1, có
2.1.1.Định lý. (i) Đối với mọi k ≥ 1 và l ≥ 1, có
F(<1, k+l-1>) = F(<k, l>).
(ii) Đối với mọi k ≥ 1 và l ≥ 1, có F(<k+l-1, 1>) = F(<k, l>) .
Chứng minh. (i) Nếu k = 1, Định lý rõ rằng đúng
Giả sử k ≥ 2 . Từ Định lý 1.2.2 suy ra rằng, vì k + l - 1 ≥ 2, k + l - 2 ≥ 2,..., l +1 ≥ 2, nên ta có F(<1, k+l-1>) F(<2, k+l-2>) ... F(<k-1, l+1>) F(<k, l>). Từ Định lý 1.2.2, suy ra rằng, vì k ≥ 2 nên F(<k, l>) F(<k-1, l+1>) ... F(<2, k+l-2>) F(<1, k+l-1>). Từ đó F(<1, k+l-1>) = F(<k, l>).
Điều đó hoàn thành phép chứng minh (i). Phép chứng minh (ii) t-ơng tự. . Vì các <1, l>-hệ thống với l ≥ 1 (hay đối xứng, các <k,1>-hệ thống với k ≥ 1) là các ngôn ngữ "phổ dụng" theo nghĩa của Định lý 2.1.1, nên rất tự nhiên nếu bây giờ ta khảo sát sự phân bậc của các <1, l>-hệ thống với l ≥ 1 ( hay các <k, 1>-hệ thống với k ≥ 1 )
2.1.2.Định lý . (i) Đối với mọi l, có
F(<1, l>)
F(<1, l+1>). (ii) Đối với mọi k, có
F(<k, 1>)
F(<k+1, 1>).
2.1.3.Định lý. Đối với mọi k1, k2, l1, l2 ≥ 1 có (i) F(<k1, l1>)
F(<k2, l2>) nếu và chỉ nếu k1 + l1 < k2 + l2 . (ii) F(<k1, l1>) = F(<k2, l2>) nếu và chỉ nếu k1 + l1 = k2 + l2 . Chứng minh Giả sử k1, k2, l1, l2 ≥ 1. Khi đó F(<k1, l1>)
F(<k2, l2>) nếu và chỉ nếu (xem Định lý 2.1.1) F(<1, k1+l1-1>)
F(<1, k2+l2-1>) nếu và chỉ nếu (xem Định lý 2.1.2.và Bổ đề 1.2.1) k1 + l1 -1 < k2 + l2 -1. Điều này hoàn thành phép chứng minh (i). Phép chứng minh (ii) t-ơng tự. .
2.2.Ngôn ngữ Lindenmayernguyên một phía.
Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát sự phân bậc của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên một phía và so sánh nó với sự phân bậc của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên hai phía .
2.2.1.Định lý. Đối với mỗi cặp số nguyên d-ơng k và l, ta có F(<k,0>) và
F(<0,l>) là không thể so sánh đ-ợc nh-ng không rời nhau.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.1, mỗi <0, 0>-ngôn ngữ (nghĩa là mỗi ngôn ngữ Lindenmayer ) vừa thuộc F(<k, 0>), vừa thuộc F(<0, l>).
Bây giờ ta xây dựng một ngôn ngữ L sao cho L F(<1,0>) nh-ng L
F(<0,l>) với l tùy ý . 2 / 0 2 1/ 0 n ba n a c L n n .
L F(<1,0>) vì nó đ-ợc sinh bởi <1,0>-hệ thống <{a, b, c}, P, g, c>, trong đó P gồm các quy tắc sau
< g , c , > a < g , c , > ba2
< g , a , > a2 < b , a , > a < a , a , > a2
< g , c , a > b
Hơn nữa, L F(<0,l>) với mọi l tùy ý. Thật vậy, giả thiết trái lại rằng có một số nguyên l nào đó sao cho G = <{a, b, c}, P, g, > là một <0,l>-hệ thống thỏa mãn L = L(G). Thế thì
(i) Đối với f > 0 nào đó, <, a , al >
P
af Ng-ợc lại, hoặc L(G) hữu hạn, hoặc đối với p d-ơng nào đó, nếu au L(G) thì au+p L(G): mâu thuẫn)
(ii) Đối với mọi {a, b, c}*, <, a , al >
P
kéo theo {a}* ( ng-ợc lại, L(G) sẽ chứa từ trong nó b hoặc c xuất hiện nhiều hơn một lần )
(iii) Từ (ii) suy ra rằng tất cả nh-ng một số hữu hạn các từ dạng 2n1
ba phải đ-ợc dẫn xuất (trong G) bởi các từ cùng một dạng.
(iv) < , b , al > am không thuộc P với m tùy ý (Nếu không, giả sử f là số nguyên d-ơng mà sự tồn tại của nó đã đ-ợc khẳng định trong (i) và giả sử t là số nguyên tùy ý sao cho al
G
at. Thế thì đối với mọi số m sao cho 2m ≥ l, có
t f l m G n n a ba2 1 ((2 1)) và l f t G n n a a2 (2 ) .
Phía bên tay phải có thể là một xâu lớn tùy ý, nh-ng sự khác nhau giữa các độ dài của chúng luôn luôn là một hằng số m + f > 0. Điều đó mâu thuẫn với thực tế rằng tất cả các phần tử thuộc {a}* L có dạng a2n.).
(v) Từ (iv) suy ra rằng tất cả nh-ng với một số hữu hạn từ dạng a2n phải đ-ợc dẫn xuất (trong G) bởi các từ cùng một dạng.
(vi) Nếu <, a , al >
P
1 và <, a , al >
P
2 thế thì 1 2 (Nếu không, đối với vô hạn n, cả hai từ a2n và n c
a2 đều thuộc L(G) với hằng số c nào đó: mâu thuẫn)
(vii) Từ (i) và (ii) suy ra rằng tồn tại m ≥ 2 sao cho với mọi , nếu <, a , al >
P
thì = am.
(viii) Từ (v) và (vii) suy ra đối với vô hạn số n, a n a u G 2 2 và m u G a a ba2n1 với u > n nào đó, m 2 cố định và sao cho <, b , al >
P
.
Nh- vậy L(G) ≠ L và Định lý đ-ợc chứng minh. .
2.2.2.Định lý. (i) Đối với mọi l, có F(<0, l>)
F(<0, l+1>). (ii) Đối với mọi k, có F(<k, 0>)
F(<k+1, 0>). Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.3.1.
2.2.3.Định lý. Giả sử p ≥ 3. Khi đó
(i) F(<p, 0>) và F(<1, p-2>) là không so sánh đ-ợc nh-ng không rời nhau. (ii) F(<0, p>) và F(<1, p-2>) là không so sánh đ-ợc nh-ng không rời nhau. Chứng minh. Giả sử p ≥ 3. Theo Định lý 2.2.1 và Bổ đề 1.2.1, F(<1,p-2>) chứa một ngôn ngữ mà nó không nằm trong F(<p,0>). Mặt khác ,ngôn ngữ
2 2 / 0
n a
L n p
nằm trong F(<p,0>) nh-ng không nằm trong F(<1,p-2>), vì có thể dễ dàng nhận thấy điều đó từ phép chứng minh Định lý 1.1.1. Cuối cùng ,mỗi <0,0>-ngôn ngữ vừa thuộc F(<p,0>) vừa nằm trong F(<1,p-2>), và nh- vậy Định lý đ-ợc chứng minh. . F(<p+1,0>) F(<p,0>) F(<0,p+1>) F(<0,p>) F(<k,l>) với k+l = p+ 1 F(<k,l>) với k+l = p, F(<k,l>) với k+l = 3, k≥1, l≥1 k≥1, l ≥1 k≥1, l≥1
Biểu đồ ở hình trên minh họa mối liên hệ giữa tất cả các lớp ngôn ngữ Lindenmayer nguyên khác nhau đã đ-ợc khảo sát cho đến lúc này. Trong biểu đồ này một đ-ờng liên tục định h-ớng dẫn từ lớp F1 sang lớp F2 của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên thay thế cho bao hàm thức thực sự giữa F1 trong F2 .
Sự thiếu vắng của một đ-ờng giữa các lớp F1 và F2 thay thế cho sự kiện nói rằng F1 và F2 là không so sánh đ-ợc nh-ng không rời nhau.
Đ3. ngôn ngữ lindenmayer nguyên lan truyền.