ngôn ngữ lindenmayer nguyên một phía.
3.2. Ngôn ngữ Lindenmayernguyên lan truyền.
3.2.1.Định nghĩa. Giả sử G = <X , P , g , > là một hệ thống Lindenmayer nguyên. Khi đó G đ-ợc gọi là lan truyền nếu và chỉ nếu và với mọi <w1 , w2 , w3 , w4> P có w4 .
Ngôn ngữ L đ-ợc gọi là ngôn ngữ Lindenmayer nguyên lan truyền nếu tồn tại một hệ thống Lindenmayer nguyên lan truyền G sao cho L = L(G).
Tập hợp tất cả các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên lan truyền d-ợc ký hiệu là
F(PIL).
Trong phần này chúng tôi sẽ khảo sát sự hạn chế lan truyền phản ánh khả năng sinh sản của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên nh- thế nào .
3.2.2.Định lý. (i) Đối với mỗi số nguyên k ≥ 0, tồn tại một P<k +1 , 0>-ngôn ngữ L sao cho với mỗi số nguyên l ≥ 0, L không nằm trong F(P<k,l>).
(ii) Đối với mỗi số nguyên l ≥ 0, tồn tại một P<0 , l + 1>-ngôn ngữ L sao cho với mỗi số nguyên k ≥ 0, L không nằm trong F(P<k,l>).
Chứng minh. Giả sử k Z , k ≥ 0. Giả sử
L = {bka} {cbkd} {c2nbka / n ≥ 1}.
Giả sử G = <X , P, g , > là một <k + 1 , 0>-hệ thống lan truyền trong đó X = {a , b , c , d}, = bka và P gồm các quy tắc sinh < gbk , a , > d < cbk , d , > a < cbk , a , > a < , b , > b nếu ≠ gk+1 < gk+1 , b , > cb < gk+1 , c , > c2 < gkc , c , > c2 < gk-1c2 , c , > c2, ... < ck+1 , c , > c2.
Khi đó L = L(G) nên L nằm trong F(P<k+1 , 0>).
Bây giờ chúng ta giả thiết rằng tồn tại một số nguyên l và một <k,l>-hệ thống lan truyền G = <X , P , g , > sao cho L(G) = L, trong đó X = {a , b , c , d}. Nếu chúng ta sắp xếp các phần tử thuộc L theo thứ tự tăng dần của độ dài của các từ thì bốn phần tử đầu tiên sẽ là bka, cbkd, c2bka và c4bka. Nh- vậy = bka và bka
G
cbkd. Từ đó suy ra <bk , a , gl >
P
d với d nào đó thuộc X {} (Xin nhắc lại rằng G lan truyền ). Từ đó c4bka
G
x, trong đó x là một từ trên {a, b, c, d}, chữ cái cuối cùng của nó là d và x ≥ k + 5. Nh- vậy L(G) ≠ L: mâu thuẫn.
Do đó L không nằm trong F(P<k,l>). Điều này hoàn thành phép chứng minh (i). Phép chứng minh (ii) t-ơng tự. .
(i) Nếu k1 < k2 và l1 ≤ l2 (hay đối xứng k1 ≤ k2 và l1 < l2 ) thì F(P<k1,l1>)
F(P<k2,l2>).
(ii) Nếu không xảy ra hoặc k1 ≤ k2 và l1 ≤ l2 hoặc k2 ≤ k1 và l2 ≤ l1 thì
F(P<k1,l1>) và F(P<k2,l2>) là không so sánh đ-ợc nh-ng không rời nhau.
Chứng minh. Định lý 3.2.3 đ-ợc suy ra trực tiếp từ Định lý 3.2.2 và Bổ đề 1.2.1.
3.2.4. Định lý . Đối với tất cả các số nguyên không âm k và l, tồn tại một ngôn ngữ Lindenmayer L sao cho L- { } không phải là một < k, l > - ngôn ngữ lan ngữ Lindenmayer L sao cho L- { } không phải là một < k, l > - ngôn ngữ lan truyền .
Chứng minh. Giả sử k, l Z và k ≥ 0, l ≥ 0. Giả sử m= k + l và m1 = m + 3. Xét ngôn ngữ
L = { an / n = k1m1 + k2 ( 1 + m1 ) với k 1k2 Z , k1 ≥ 0, k2 ≥ 0, nào đó }. Thế thì L đ-ợc sinh bởi hệ thống Lindenmayer
< { a } , { 1 1 1 , , m m a a a a a } , m1 a >.
Bây giờ chúng ta giả thiết rằng L - {} = L(G), với P<k,l>-hệ thống G = <{a}, P, g, > nào đó. Giả sử f là số nhỏ nhất sao cho <ak, a, al> af . Vì G lan truyền nên f ≥ 1. Giả sử n là số nhỏ nhất sao cho ak+1
G
an .
Nếu chúng ta sắp xếp các phần tử của L theo độ dài tăng dần, thế thì m1
a là phần tử thứ nhất, m11 a là phần tử thứ hai và 2m1 a là phần tử thứ ba. Vì G lan truyền nên m1 a và 1 m11 G m a
a . Hơn nữa, theo định nghĩa của f và n, ta có m1+ 1 = ( m1 - m ).f + n (1 ) Cũng lý luận nh- vậy, có m m f n G m a a 11 ( 1 1) , và do (m1 - m +1)f +n > (m1 - m)f + n = m1 + m, nên 2m1 ≤ (m1 - m + 1)f + n (2) Trừ từng vế (2) và (1), có m1 - 1 ≤ f.
Mặt khác m1 - m = 3 nên (m1 - m)f + n = 3f ≥ 3(m1 - 1) = 3m1 - 3 ≥ 2m > m1 + 1 = (m1 - m)f + n.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng L-{} không phải là một ngôn ngữ lan truyền, và phép chứng minh định lý kết thúc. .
Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng với mọi số nguyên không âm k và l, ta có
F(P<k,l>)
F(<k,l>). Điều này đ-ợc chứng minh dựa vào nhận xét : Ngôn ngữ {ak+l+1 , ak+l+3} nằm trong F(<k,l>) - F(P<k,l>).
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã tập trung khảo sát về một số hệ thống phát triển hết sức khác nhau với việc truyền thông tin giữa các tế bào từ một phía và hai phía. Cụ thể Luận văn đã đạt đ-ợc các kết quả sau đây:
1) Nhắc lại những kiến thức cơ bản về vị nhóm tự do, ôtômát đoán nhận ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp và văn phạm sinh ra các ngôn ngữ đó.
2)Trình bày về ngôn ngữ IL, chúng tôi đã chứng minh mỗi hệ thống IL có thể tìm đ-ợc một số nguyên không âm l và một <1,l>-hệ thống (hay một <1,l>-hệ thống ) Gˆ sao cho G và Gˆ t-ơng đ-ơng (Định lý 1.2.4)
3) Khảo sát sự phân bậc của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên một phía (Định lý 2.2.1) và so sánh nó với sự phân bậc của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên hai phía (Định lý 2.2.3).
4)Khảo sát sự hạn chế lan truyền phản ánh khả năng sinh sản của các ngôn ngữ Lindenmayer nguyên nh- thế nào.