1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 5.1. ChoV là một không gian vectơ trênR. Ánh xạ ϕ : V×V →R được gọi là một dạng song tuyến tínhtrên V nếu nó tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến còn lại, tức là:
(
ϕ(hx1+kx2,y) = hϕ(x1,y) +kϕ(x2,y)∀x1,x2,y ∈V,∀h,k∈ R
ϕ(x,hy1+ky2) = hϕ(x,y1) +kϕ(x,y2)∀x,y2,y2 ∈ V,∀h,k∈ R
Dạng song tuyến tính ϕđược gọi là đối xứng nếu
ϕ(x,y) = ϕ(y,x)với mọi x,y ∈V
(bằng cách tương tự chúng ta có thể định nghĩa được một dạngđa tuyến tínhtrênV).
Định nghĩa 5.2. Giả sử ϕ là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Khi đó ánh xạ
H : V →Rxác định bởi
H(x) = ϕ(x,x)
được gọi là một dạng toàn phương trênV ứng với dạng song tuyến tính đối xứngϕ.
1.2 Phân loại dạng toàn phương
1. Xác định dương nếu ϕ(x,x) >0với mọi x∈ V,x6=0.
2. Nửa xác định dương (hay xác định không âm) nếu ϕ(x,x) ≥0với mọi x ∈ V,x6=0. 3. Xác định âm nếu ϕ(x,x) <0với mọi x∈ V,x6=0.
4. Nửa xác định âm (hay xác định không dương) nếu ϕ(x,x) ≤0với mọi x ∈ V,x6=0. 5. Không xác định dấu nếu tồn tại x,y∈ V sao cho ϕ(x,x)<0,ϕ(y,y)>0.
1.3 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trênkhông gian hữu hạn chiều. không gian hữu hạn chiều.
Cho ϕ: Vn×Vn → Rlà một dạng song tuyến tính, trong đóVn là một KGVT có số chiều làn.S={e1,e2, ...,en} là một cơ sở củaVn . Khi đó ta có:
ϕ(x,y) = ϕ n ∑ i=1 xiei, n ∑ j=1 yjej, ! = n ∑ i,j=1 ϕ ei,ejxiyj = n ∑ i,j=1 aijxiyj = [x]tS A[y]S = [y]tSA[x]S Như vậy ϕ hoàn toàn xác định bởi bộ các giá trị ϕ(ei,ej)in,j=1. Xét ma trận A = aij =
ϕ ei,ej. Dạng song tuyến tính ϕđối xứng khi và chỉ khi Alà một ma trận đối xứng.
Định nghĩa 5.3. Ma trận A = aij = ϕ ei,ej được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính ϕ (hay ma trận của dạng toàn phương H) trong cơ sở S, biểu thức ϕ(x,y) =
[x]tS A[y]S = [y]tSA[x]S được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính ϕ trong cơ sở
S.Tương tự như vậy H(x,x) = [x]tS A[x]S được gọi là dạng ma trận của dạng toàn phương
H trong cơ sởS.
1.4 Bài tập
Bài tập 5.1. Cho f là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ3chiều V có ma trận đối với cơ sởB là A =
1 −1 0 −2 0 −2 3 4 5 . Cho h : V →V là ánh xạ tuyến tính có ma trận
đối với cơ sởB là B =
−1 1 1 −3 −4 2 1 −2 −3 . Chứng minh ánh xạ g(x,y) = f (x,h(y))là dạng song tuyến tính trênV. Tìm ma trận của nó đối với cơ sở B.
1. Khái niệm 99
Chứng minh. Để chứng minh glà dạng song tuyến tính ta cần chứng mình:
(
g(hx1+kx2,y) = hg(x1,y) +kg(x2,y) g(x,hy1+ky2) = hg(x,y1) +kg(x,y2)
, dễ kiểm tra. Do f là dạng song tuyến tính trên V nên ta có f (x,h(y)) = [x]tB A[h(y)]B với mọi x,y ∈ V. Hơn nữah : V →V là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sởB làB nên ta có[h(y)]B =B.[y]B . Tóm lại ta có:
g(x,y) = f (x,h(y)) = [x]tB A[h(y)]B = [x]tBA.B.[y]B với mọi x,y∈ V nên ma trận của nó đối với cơ sởB là ma trận AB.