1.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1. a) Ma trận A vuông cấpn được gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dươngk sao cho Ak =0. Nếu có thêm Ak−1 6=0 thìkđược gọi là bậc lũy linh của ma trận A.
b) Tự đồng cấu ϕ: V →Vđược gọi là lũy linh nếu có số nguyên dươngksao cho ϕk =0. Nếu thêm vào đó ϕk−16=0thìk được gọi là bậc lũy linh.
Định lý 1.2. Bậc luỹ linh của một ma trận lũy linh bằng cấp cao nhất của các khối Jordan của nó.
Định lý 1.3. Cho A là ma trận luỹ linh, vuông cấp n. Khi đó An = 0. Nghĩa là, bậc lũy linh của ma trận Aluôn luôn nhỏ hơn hoặc bằngn.
Định lý 1.4. Đa thức đặc trưng của một ma trận vuông cấpnlũy linh bằngλn.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử Acó bậc lũy linh bằngk. Khi đó, tồn tại véctơv6=0sao cho
Akv=0và Ak−1v 6=0. Như thế,α = Ak−1v 6=0chính là một véctơ riêng của Aứng với trị riêngλ=0.Ta sẽ chứng minhλ=0này là trị riêng duy nhất của A. Giả sửλ0là một trị riêng của A. Khi đó, tồn tại véctơ v6=0sao cho Av =λ0v ⇒ Akv =λk0v =0. Vìv 6=0 nên
λk0 =0⇒λ0 =0.
Định lý 1.5. Cho Alà một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng Alũy linh khi và chỉ khitr(Ap) =0với mọi p=1, 2, . . . ,n.
Định lý 1.6. Cho A : V → V là một toán tử tuyến tính vàW là một không gian con bất biến củaV. Đặt A1 :W →W và A2 : V/W →V/W là các toán tử cảm sinh bởi toán tử A. Chứng minh rằng nếu A1và A2là lũy linh thì Acũng là lũy linh.
1.2 Bài tập
Bài tập 1.1. Alà ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu tất cả giá trị riêng của Ađều bằng0.
Bài tập 1.2. Chứng minh rằng nếuAlà ma trận lũy linh thì I−Alà ma trận khả nghịch.
Chứng minh. Ta có
I = I−Ak = (I−A)(I+A+A2+. . .+Ak−1)
Bài tập 1.3. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuôngAluôn có thể phân tích A=B+C vớiClà một ma trận lũy linh vàB là ma trận chéo hóa được vàBC =CB.
Bài tập 1.4. Cho A và Blà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn B là ma trận lũy linh và AB =BA. Chứng minh rằng det(A+B) =detA
Bài tập 1.5. Cho Avà B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A2008 = I;B2009 =0và
AB+4A+2009B=0. Chứng minh rằng(A+B) là ma trận không suy biến.
Bài tập 1.6. (2000) ChoAvàBlà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 =0;B2000 =
0và AB= BA. Chứng minh rằng (A+B+I)khả nghịch.
Chứng minh. Nhận xét rằng (A+B)3999 =0nên(A+B) là ma trận luỹ linh, suy ra điều
phải chứng minh.
Bài tập 1.7. Cho Avà Blà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 = I;B2000 = I và
AB= BA. Chứng minh rằng (A+B+I) khả nghịch.
Chứng minh. Giả sử (A+B+I)suy biến. Khi đó tồn tại vectoX khác0sao cho(A+B+
I)X =0. Hay(A+I)X =−BXsuy ra(A+I)1999X=−B1999X =−X, suy ra((A+I)1999+ I)X =0. Theo gỉa thiết(A2000−I)x=0.
Ta sẽ chứng minh hai đa thức (x+1)1999+1 và x2000−1 là nguyên tố cùng nhau. Thậy vậy, giả sử chúng có nghiệm chung là z. Khi đó(z+1)1999 =−1vàz2000=1. Từ đó suy ra môđun củazvà (z+1)đều là1. Do đó,argz=±23π và
z2000 =cos ±4000π
3 +sin±4000π
3 =cos±4π
3 +sin±4π
3 6=1
Vậy tồn tại các đa thứcP(x) vàQ(x) để P(x)[(x+1)1999+1] +Q(x)(x2000−1) = 1
Từ đó suy ra [P(A)[(A+1)1999+1] +Q(A)(A2000−I)]X =X hayX =0, mâu thuẫn với việc chọnX. Vậy ta có điều phải chứng minh
1. Ma trận luỹ linh 125
Bài tập 1.8. (IMC) Cho hai ma trận vuông cấp n,A và B. Giả sử tồn tại (n+1) số
t1,t2, . . . ,tn phân biệt sao cho các ma trận Ci = A+tiB là các ma trận lỹ linh với mọi
i =1, ...,n+1. Chứng minh rằng Avà Bcũng là các ma trận lũy linh
Bài tập 1.9. Tìm các ma trận A,Bsao cho λA+µBlà luỹ linh với mọi λ,µ nhưng không tồn tại ma trận Psao choP−1APvà P−1BPlà các ma trận tam giác.