2.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.7. i) Toán tử f :V →V được gọi là toán tử chiếu nếu f2 = f. ii) Ma trậnPđược gọi là ma trận lũy đẳng nếu P2= P.
Giả sửλlà một trị riêng của Pứng với véc tơ riêngv 6=0. Khi đó,
λv= Pv= P2v=P(Pv) = P(λv) =λPv =λ2v.
Vậy,
λv=λ2v⇒ λ(1−λ)v =0.
Vìv6=0nênλ=0hoặcλ=1. Tức là, một ma trận lũy đẳng chỉ có thể có trị riêng là0và
1mà thôi. Hơn nữa, nó chéo hóa được theo định lý sau đây.
Định lý 1.8. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử chiếu có dạng diag(1, . . . , 1, 0, . . . , 0).
Bổ đề 1.9. Giả sửPlà ma trận của toán tử chiếu f : V →V. Khi đó,
V =Kerf ⊕Ker(f −id), ở đóidlà toán tử đồng nhất.
Chứng minh. 1) Nếuv∈ Kerf vàv ∈Ker(f −id) thì
f v =0, (f −id)v=0⇒v=0.
2) Mỗi v∈ V đều có phân tích
v= f v+ (v−f v),
ở đó
i) f v∈ Ker(f −id), vì (f −id)f v= (f2− f)v =0, ii) v−f v ∈Kerf, vì f(v− f v) = f v− f2v =0.
VìdimV = nnên giả sửe1,e2, . . . ,em là một cơ sở củaKerf và em+1, . . . ,en là một cơ sở của
Ker(f −id)thì
i) f ei=0⇒ f ei =0ei ⇒ {ei}mi=1là các véc tơ riêng ứng với trị riêngλ =0. ii) (f −id)ei =0⇒ f ei =ei ⇒ {ei}n
2. Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 127
Như vậy, tồn tại một cơ sở{e1,e2, . . . ,en}của không gian véc tơVgồm toàn các véc tơ riêng của f. Nói cách khác, f chéo hóa được, hay Pchéo hóa được.
Hệ quả 1.10. Có một tương ứng 1-1 giữa toán tử chiếu và phân tích V = W1⊕W2 của không gian V. Nói rõ hơn, với mỗi phân tích V = W1⊕W2, tồn tại toán tử chiếu P thỏa mãn P(w1+w2) = w1; và ngược lại, với mỗi toán tử chiếu P có một phân tích tương ứng
V =ImP⊕KerP.
Toán tử Pkhi đó có thể được gọi là toán tử chiếu lênW1theo hướng W2.
Hệ quả 1.11. Nếu Plà toán tử chiếu thìrankP =trP.
Hệ quả 1.12. Nếu Plà toán tử chiếu thìI−Pcũng là một toán tử chiếu, hơn nữaKer(I−
P) =ImPvàIm(I−P) =KerP.
Định lý 1.13. Toán tử chiếuPlà Hermitian nếu và chỉ nếuImP⊥KerP.
Định lý 1.14 (Djokovíc, 1971). Cho V = V1⊕. . .⊕Vk, ở đó Vi 6= 0 với mọi i = 1, . . . ,k. Đặt Pi : V → Vi là các phép chiếu trực giao và A = P1+. . .+Pk. Khi đó 0 ≤ |A| ≤ 1, và
|A| =1nếu và chỉ nếu Vi ⊥Vj với mọi i6=j.
2.2 Bài tập
Bài tập 1.10. Cho P là một toán tử chiếu và V = ImP⊕KerP. Chứng minh rằng nếu ImP ⊥KerPthìPv là hình chiếu trực giao củavlênImP.
Bài tập 1.11. Cho Alà một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương
a. Alà ma trận lũy đẳng.
b. Cn =ImA+KerA với Ax=xvới mọi x ∈ ImA. c. KerA=Im(I−A)
d. rank(A) +rank(I−A) =n
e. Im(A)∩Im(I−A) = {0}
Bài tập 1.12. Cho Alà một ma trận vuông cấpn. Chứng minh rằng Alà lũy đẳng khi và chỉ khirank(A) = tr(A)vàrank(I−A) = tr(I−A).
1. P1+P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khiP1P2= P2P1=0.
2. P1−P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khiP1P2= P2P1= P2.
Bài tập 1.14 (Định lý ergodic). Cho A là ma trận unita. Chứng minh rằng
lim n→∞ 1 n n−1 ∑ i=0 Aix =Px, ở đó Plà một phép chiếu Hermitian lênKer(A−I).
Bài tập 1.15. Cho A và Blà các ma trận vuông cấpn. Chứng minh rằng nếu AB = Avà
BA= BthìA,Blà các ma trận lũy đẳng.
Bài tập 1.16. Cho Avà Blà các ma trận vuông cấpn, lũy đẳng. Tìm điều kiện cần và đủ để(A+B) là ma trận lũy đẳng.
Bài tập 1.17. Cho Alà ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng (A+I)k = I+ (2k−1)A với mọik∈ N.
Bài tập 1.18. (OL) Cho A,B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và AB+BA = 0. Tính det(A−B).
Bài tập 1.19. ChoA,Blà các ma trận cùng cấp, lũy đẳng vàI−(A+B)khả nghịch. CMR tr(A) = tr(B).
Bài tập 1.20. Cho A1,A2, . . . ,Ak là các toán tử tuyến tính trên không gian véctơn chiều
V sao choA1+A2+. . .+Ak = I. Chứng minh rằng nếu các điều kiện sau là tương đương 1. A1, . . . ,Ak là các toán tử chiếu.
2. AiAj =0với mọi i6= j.
3. rankA1+. . .+rankAk =n.
Bài tập 1.21. Cho A1,A2, . . . ,Ak là các ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng nếu A1+