𝑎 𝜉 𝑏 A C B 𝑥𝑐 O 𝜉 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑡0 𝑡 1 𝑡2 𝑦 𝑥 A
Mô tả phương pháp
Ta có ý tưởng sau: Giả sử trong đêm tối ta đang đi từ điểm 𝐴 và cần ra đường quốc lộ 𝑂𝑥 phía trước theo đường làng 𝐶. Vì trong đêm tối không nhìn thấy gì cả, nên ta cứ thẳng tiến về phía trước với niềm tin đường thẳng trước mặt ta chính là con đường làng mà ta đang đi‼ Vậy điểm ta sẽ cắt đường quốc lộ chính là giao của đường thẳng trước mặt ta và 𝑂𝑥. Đường thẳng mà ta đi đó chính là tiếp tuyến của C tại A, nói một cách khác, thay vì đi theo C, ta đi theo tiếp tuyến của C!
Vậy ta có thể phát triển thành thuật toán như sau: Qua điểm (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) kẻ tiếp tuyến 𝑡0 với đồ thị 𝑓(𝑥), cắt
𝑂𝑥 tại 𝑥1; qua điểm (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) kẻ tiếp tuyến 𝑡1 cắt 𝑂𝑥 tại 𝑥2;… Ta sẽ được dãy điểm {𝑥𝑛} mà có khả năng hội tụ tới nghiệm 𝜉 của phương trình 𝑓(𝑥) = 0.
Ta có thể tính được phương trình của tiếp tuyến tại điểm (𝑥𝑘, 𝑓(𝑥𝑘)) là:
𝑦 − 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑓′(𝑥𝑘)(𝑥 − 𝑥𝑘)
Cắt trục hoành tại điểm 𝑥𝑘+1 có tọa độ:
𝑥𝑘+1= 𝑥𝑘− 𝑓(𝑥𝑘) 𝑓′(𝑥𝑘)
Dễ thấy rằng đây cũng là một dạng đặc biệt của phép lặp. Ta có thể chứng minh điều kiện hội tụ của phương pháp này là:
𝑓(𝑥). 𝑓′′(𝑥) < 0
𝑓′, 𝑓′′ không đổi dấu.
Hình vẽ trên cho thấy một ví dụ của việc có thể không hội tụ của phương pháp tiếp tuyến, thậm chí dãy {𝑥𝑛}
có hai dãy con đều hội tụ nhưng không có điểm hội tụ nào là nghiệm của phương trình. Lý do của việc trên là do đạo hàm 𝑓′(𝑥) đổi dấu.
Ý tưởng chủ đạo của phương pháp này là xem đường cong trước mặt như là đường thẳng, và đi theo đường cong là đi theo tiếp tuyến của đường cong tại vị trí hiện tại.