Giả sử phương trình 𝑓(𝑥) = 0 tương đương với
𝜑(𝑥) = 𝑥 (4.2)
Ta chọn 𝑥0∈ [𝑎, 𝑏] bất kỳ và tính các xấp xỉ liên tiếp 𝑥𝑛 theo công thức:
𝑥𝑘+1= 𝜑(𝑥𝑘) (4.3)
Định lý: Giả sử 𝜑 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] và: 1. ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] |𝜑′(𝑥)| ≤ 𝑞 ≤ 1
2. ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝜑(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏]
Khi đó dãy {𝑥𝑛} xuât phát từ 𝑥0 bất kỳ thuộc [𝑎, 𝑏] đều hội tụ tới nghiệm 𝜉 duy nhất của phương trình (4.2) trong đoạn [𝑎, 𝑏] và ta có các ước lượng sau:
Ước lượng hậu nghiệm:
|𝑥𝑛− 𝜉| < 𝑞
1 − 𝑞|𝑥𝑛− 𝑥𝑛−1| (4.4)
Ước lượng tiền nghiệm:
|𝑥𝑛− 𝜉| < 𝑞
𝑛
1 − 𝑞|𝑥1− 𝑥0| (4.5)
Chứng minh: Theo định lý số gia hữu hạn ta có:
|𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦)| = |𝜑′(𝛼)|. |𝑥 − 𝑦| < 𝑞|𝑥 − 𝑦|
Suy ra 𝜑 là ánh xạ co với 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|. Do không gian [𝑎, 𝑏] với metric 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| là không gian đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ: Giải phương trình
𝑥3− 𝑥 − 5 = 0
Dễ thấy là 𝑓(1). 𝑓(2) < 0 nên trong đoạn [1,2] phương trình có nghiệm. Có rất nhiều cách khác nhau để đưa phương trình đó về dạng 𝜑(𝑥) = 𝑥 như sau:
a. 𝜑1(𝑥) = 𝑥3− 5 b. 𝜑2(𝑥) =1 3(𝑥3+ 2𝑥 − 5) c. 𝜑3(𝑥) =1 𝑥+𝑥52 d. 𝜑1(𝑥) = √𝑥 + 53
max 𝑥∈[1,2]|𝜑1′(𝑥)| = 12 max 𝑥∈[1,2]|𝜑2′(𝑥)| =10 3 max 𝑥∈[1,2]|𝜑3′(𝑥)| = 9 max 𝑥∈[1,2]|𝜑4′(𝑥)| = 1 3√493 < 1
Do vậy mà với 3 hàm số ban đầu phép lặp phân kỳ, còn với 𝜑4(𝑥) phép lặp hội tụ khá nhanh, cụ thể với 𝑥0= 1
n 𝑥 𝑥 + 5 3√𝑥 + 5
0 1 6 1.817
1 1.817 6.817 1.896
2 1.896 6.896 1.904
3 1.904 6.904 1.904
Nghĩa là thuật toán hội tụ khá nhanh, với 𝑛 = 3 ta đã thấy sự hội tụ rồi.
Nhận xét:
1. Vai trò của các công thức (4.4) và (4.5):
a. Khi có 𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1 ta có thể ước lượng được sai số giữa 𝑥𝑛 và nghiệm 𝜉 dựa vào (4.4), ví dụ từ
𝑥1, 𝑥2 ta suy ra |𝑥2− 𝜉| < 𝑞
1−𝑞|𝑥2− 𝑥1| ≈ 0.001
b. Nếu muốn tính số bước cần thiết để có một sai số không vượt quá 𝜀 cho trước, ta có thể dựa vào (4.5) để tìm 𝑛 mà không nhất thiết phải tính tới tận 𝑥𝑛 cụ thể.
c. Ước lượng hậu nghiệm chính xác hơn ước lượng tiền nghiệm. 2. Nếu 𝑎 = 𝑥0− 𝑟; 𝑏 = 𝑥0+ 𝑟 thì để 𝜑(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏] chỉ cần
|𝜑(𝑥0) − 𝑥0| <1 − 𝑞 𝑟
3. Điều kiện 𝜑(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏] có thể được xem nhẹ nếu ta chọn 𝑥0 rất gần với 𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏], vì rõ ràng khi đó
𝑓(𝑥0) gần 𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏], nghĩa là phải có 𝑥1∈ [𝑎, 𝑏]. Tương tự thì 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … ∈ [𝑎, 𝑏], tức là thỏa mãn điều kiện trên.
4. Nếu 𝜑(𝑥) đơn điệu tăng chỉ cần 𝑎 ≤ 𝜑(𝑎) 𝑣à 𝜑(𝑏) ≤ 𝑏.
5. Nếu 𝜑′(𝑥) > 0 thì {𝑥𝑛} hội tụ tới 𝜉 từ một phía, nếu 𝜑′(𝑥) < 0 thì {𝑥𝑛} hội tụ tới 𝜉 từ hai phía. 6. Giá trị 𝑞 liên quan tới tốc độ hội tụ: 𝑞 càng bé, thuật toán hội tụ càng nhanh, nếu 𝑞 ≈ 1, tốc độ hội tụ
rất chậm, còn nếu 𝑞 > 1 thì dãy {𝑥𝑛} phân kỳ.
7. Nếu 𝑓′(𝑥) hữu hạn dương trong đoạn [𝑎, 𝑏], ví dụ 0 < 𝑓′(𝑥) < 𝑘 thì khi đó lấy:
𝜑(𝑥) = 𝑥 −1 𝑘𝑓(𝑥) Lúc đó ta có: 𝜑′(𝑥) = 1 −1 𝑘𝑓 ′(𝑥) < 1
Ý tưởng cơ bản thuật toán: Mỗi ngày hãy học hỏi thêm một chút, ta sẽ trở thành con người tài giỏi mai sau. Ta có các khả năng khác nhau của phương pháp lặp như sau:
1. −1 < 𝜑′(𝑥) < 0: Hội tụ từ 2 phía 2. 0 < 𝜑′(𝑥) < 1: Hội tụ từ 1 phía 3. 𝜑′(𝑥) < −1: Phân kỳ từ 2 phía 4. 𝜑′(𝑥) > 1: Phân kỳ từ 1 phía O 𝑥0 𝑥2 𝜉 𝑥3 𝑥1 O 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝜉 O 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝜉 𝑥3 O 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝜉
Qua các ví dụ và các đồ thị trên ta thấy rằng không phải khi nào ta cũng có phép lặp là hội tụ cả. Ta có thể có một vài cách chọn hàm 𝜑(𝑥) như sau:
a. Do 𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 0 với 𝑔(𝑥) bất kỳ cho nên
𝑥 = 𝑥 ± 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
và do đó mà ta có thể lấy: 𝜑(𝑥) = 𝑥 ± 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
với 𝑔(𝑥) được chọn sao cho: |𝜑′(𝑥)| = |1 ± [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)]′| < 1
mà như vậy ta chỉ cần lấy −1 < [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)]′ < 1 là được. Thường ta lấy 𝑔(𝑥) là nghịch đảo một hàm số nào đó, ví dụ 𝑔(𝑥) = 1
𝑓′(𝑥)
Do 𝑓(𝑥) = 0 tại 𝜉 nên có thể tìm được một lân cận [𝜉 − 𝛼, 𝜉 + 𝛼] sao cho trên đó 𝑓(𝑥) khá bé và do vậy mà biểu thức trên có trị tuyệt đối bé thua 1, tức |𝜑′(𝑥)| < 1, nghĩa là phép lặp hội tụ.
b. Nếu 𝑓(𝑥) là đa thức bậc 𝑛, ta chọn 𝑥 = √𝑎0𝑥 𝑛− 𝑓(𝑥) 𝑎0 𝑛 và khi đó: 𝜑′(𝑥) = 1 𝑛 √[𝑛𝑎0𝑥𝑛−1− 𝑓′(𝑥)]𝑛−1 𝑎0 𝑛
và chọn đoạn [𝑎, 𝑏] trong đó biểu thức trên bé thua 1.
Ưu điểm:
Xấp xỉ 𝑥0 ban đầu không nhất thiết phải gần nghiệm.
Phương pháp có tính sửa sai, nghĩa là nếu như ở bước nào đó có sai số trong tính toán thì vẫn “mặc kệ”, xem như là xấp xỉ ban đầu.
Có các ước lượng tiền nghiệm, hậu nghiệm. Đơn giản, dễ lập trình.
Nhược điểm
Với |𝑞| > 1 thuật toán phân kỳ.
|𝑞| ≈ 1 tốc độ hội tụ chậm
Có thể coi 𝜑′(𝑥) như là hệ số biểu thị tốc độ hội tụ của thuật toán, trên thực tế đó chính là hệ số co của khoảng cách từ 𝑥 tới nghiệm 𝜉.