Phương trình lan truyền sóng âm trong môi trường đàn hồi khi giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) được thể hiện như sau [62, 88]:
(t)+ (t)+ (t)= (t)
MQ CQ KQ F (1.4)
Trong đó: M, C, K, F là các ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng
và vec tơ tải trọng; Q là chuyển vị tại các nút và t là thời gian.
Việc mô phỏng sự lan truyền sóng âm bằng phương pháp PTHH chính là việc
giải phương trình (1.4), từ đó tìm được ẩn là chuyển vị Q tại các nút.
Đối với vật liệu đồng nhất, có nhiều nghiên cứu mô phỏng sóng siêu âm lan truyền trong các vật liệu khác nhau như: Friedrich Moser ứng dụng phương pháp
a)
PTHH để mô phỏng sóng lan truyền trong ống thép mỏng [61] và Brian R. Mace mô phỏng hai chiều sóng lan truyền trong tấm mỏng sandwich nhiều lớp [58].
Đối với vật liệu bê tông, Nakahata xây dựng mô hình mô phỏng với cấu trúc toàn khối bê tông gồm ba vật liệu là xi măng, cốt liệu và lỗ trống [65]. Bằng cách giải phương trình (1.4), nghiên cứu mô phỏng được sự lan truyền ba chiều của sóng siêu âm lan truyền trong bê tông. Tuy nhiên, khi giải phương trình (1.4), nghiên cứu đã bỏ
qua ảnh hưởng của ma trận cản C.
Khác với nghiên cứu của Nakahata, để đơn giản cho bài toán mô phỏng, các nghiên cứu [57, 72, 87] xem bê tông chỉ là một vật liệu và vật liệu này có tính đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng. Sự suy giảm của sóng siêu âm khi lan truyền trong bê
tông được thể hiện qua giá trị ma trận cản C trong phương trình (1.4) và hình ảnh lan
truyền sóng tại hai thời điểm khác nhau được thể hiện như Hình 1.4.
Hình 1.4. Lan truyền sóng siêu âm trong mẫu bê tông [57]
Khi biết các đặc tính bê tông như khối lượng riêng, mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson, chúng ta dễ dàng xác định các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng. Tuy nhiên, việc xác định ma trận cản trong phương pháp PTHH rất khó khăn do tính phức tạp của cấu trúc bê tông. Ma trận cản này thường được xác định qua mô hình giảm chấn Rayleigh [70, 81].
Nhiều nghiên cứu đề xuất các phương pháp thực nghiệm khác nhau để xác định các hệ số cản Rayleigh [70, 81]. Phương pháp sử dụng trong các nghiên cứu như sau: Tìm ra các hệ số cản Rayleigh sao cho tín hiệu sóng siêu âm nhận được khi qua vật kiểm từ mô phỏng khi sử dụng các hệ số cản này là trùng khớp với kết quả từ thực nghiệm. Ramadas nghiên cứu xác định các hệ số cản Rayleigh cho sóng Lamb lan truyền qua tấm composite hình vuông kích thước 30cm và dày 9,9cm; sơ đồ thiết lập
thí nghiệm thể hiện như Hình 1.5a [70]. Kết quả nghiên cứu đề xuất được các hệ số cản Rayleigh sử dụng cho mô phỏng và cho kết quả biên độ sóng khi qua mẫu tương đồng với thực nghiệm (Hình 1.5b).
Hình 1.5. a) Sơ đồ thiết lập thí nghiệm, b) Kết quả biên độ sóng siêu âm qua mẫu từ mô phỏng số (sử dụng các hệ số Rayleigh) và thực nghiệm [70]
Zhen Tian [81] đề xuất phương pháp thực nghiệm để xác định các hệ số cản Rayleigh cho dầm bê tông và sơ đồ thiết lập thí nghiệm được thể hiện như Hình 1.6. Sóng siêu âm được phát ra tại vị trí SA-1 và dạng sóng được thu nhận tại vị trí SA-2 và SA-3. Dựa trên dạng sóng thu nhận được, nghiên cứu xác định được biên độ sóng tại các vị trí này và tính được các hệ số cản Rayleigh. Kết quả mô phỏng số khi sử dụng các hệ số cản Rayleigh này cho kết quả suy giảm biên độ từ mô phỏng trùng khớp với thực nghiệm. Nghiên cứu xác định được các hệ số cản Rayleigh cho một trường hợp mẫu thử bằng bê tông ứng với tần số xung siêu âm nằm trong khoảng từ 48-83kHz.
Dựa trên cơ sở phương pháp PTHH, các phương pháp phần tử phổ SEM (spectral element method) [72, 91] và phương pháp phần tử hữu hạn đường biên BFEM (boundary finite element method) cũng được sử dụng để mô phỏng sự lan truyền sóng siêu âm [36, 52]. Phương pháp SEM là một triển khai nâng cao của phương pháp phần tử hữu hạn, trong đó lời giải trên mỗi phần tử được biểu diễn dưới dạng các giá trị chưa biết tại các nút phổ được chọn cẩn thận. Ưu điểm của phương pháp SEM là các thuật toán giải ổn định và có thể đạt được độ chính xác cao với số lượng phần tử thấp trong một loạt các điều kiện [69]. Ngoài ra, phương pháp này có kể đến sự suy giảm của đặc tính vật liệu trong quá trình sử dụng, do vậy thường được dùng để theo dõi sự làm việc của kết cấu [72]. Nghiên cứu của Magdalena Rucka đã dùng phương pháp SEM để mô phỏng lan truyền sóng siêu âm trong mẫu dầm bê tông cốt thép chịu uốn có vết nứt [72].
Phương pháp BFEM đòi hỏi sự rời rạc hóa trên các biên miền lời giải [36, 52], còn phương pháp PTHH yêu cầu rời rạc hóa trên toàn bộ miền lời giải, bao gồm cả các biên. Trong bài toán ba chiều, phương pháp BFEM sử dụng các phần tử bề mặt, trong khi phương pháp PTHH sử dụng các phần tử thể tích. Từ lý do này, phương pháp BFEM có số ẩn ít hơn phương pháp PTHH. Tuy nhiên, phương pháp BFEM phức tạp hơn phương pháp PTHH và chỉ hiệu quả hơn phương pháp PTHH trong các bài toán khối lượng tính toán lớn cần giảm số ẩn.
Gần đây, nghiên cứu của Magdalena Rucka sử dụng phương pháp SEM để mô phỏng lan truyền sóng siêu âm trong mẫu dầm bê tông cốt thép chịu uốn và có xuất hiện vết nứt trong mẫu [72]. Phương pháp SEM phức tạp hơn so với phương pháp PTHH và phù hợp cho trường hợp cần theo dõi sự làm việc của kết cấu, vì xét đến được sự suy giảm đặc tính vật liệu trong quá trình sử dụng.