III. GIÚP CHO HS THẤY ĐƯỢC ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT TỪ ĐÓ TẠO HỨNG THÚ CHO HS TRONG QUÁ TRÌNH
3.4 Xây dựng các bài toán có nội dung thực tiễn có tính giáo dục cao nhằm giải thích các vấn đề thực tiễn bằng cơ sở khoa học
thích các vấn đề thực tiễn bằng cơ sở khoa học
Hiện tượng đánh lô đề là một trong những vấn nạn của xã hội, vậy đánh đề được hay mất mà nhiều người lại đam mê như vậy ?
Chúng ta hãy thử dùng phương pháp của Đại số tổ hợp – Xác suất để tính toán về khả năng sinh lãi của trò chơi này.
Ví dụ 23. (Có thể làm giàu từ số đề không?)
Luật chơi: Người chơi đặt một số tiền, chẳng hạn x đồng để mua 1 con số từ 00 đến
99. Nếu số của người chơi trùng với hai con số cuối của xổ số đặc biệt do Nhà nước phát hành trong ngày hôm đó sẽ được số tiền gấp 70 lần tiền đầu tư, tức là 70x. Nếu không người chơi mất x đồng đầu tư ban đầu.
Nhiều người tính toán là: Nếu bỏ ra số tiền là 100.000 đồng thì khi trúng thưởng sẽ được 7 triệu đồng tức là lãi được 6.9 triệu. Tuy nhiên nếu không trúng chỉ bị mất 100.000 đồng. Như vậy cơ hội kiếm tiền từ trò chơi may rủi này vẫn rất lớn.
Bằng thực tế quanh em hãy cho biết quan niệm đó có đúng không? Hãy sử dụng các kiến thức của xác suất để làm sáng tỏ ý kiến đó?
Lời giải
Rõ ràng quan niệm đó là hết sức sai lầm. Chúng ta đều biết đến câu: “đánh đề ra đê mà ở”. Sai lầm đó thể hiện ở các tính toán như sau:
1
Vì chỉ có một số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là = 0, 01. 100
Trong khi đó xác suất thua là: 1−0,01=0,99.
Vậy trung bình người chơi lãi: 6.900.0000,01+(−
100.000 0,99) =−30.000(đồng). Hay cứ mỗi lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn lỗ khoảng 30.000 đồng.
Sai lầm của người chơi là không tính đến xác suất trúng số. Vì xác suất này rất nhỏ nên càng đánh càng lỗ vốn!
Ví dụ 24. (Bài toán biển số xe ôtô)
Bài toán 1. Biển số xe ở tỉnh Nghệ An có dạng 37X-ab.cde. Trong đó X là 1 trong 26
chữ cái tiếng Anh. a, b, c, d, e là các chữ số. Hãy ước tính xem có tất cả bao nhiêu biển số xe được tạo thành biết rằng không có biển số xe nào gồm có 5 chữ số 0 . Tính đến hết năm 2020, Nghệ An có 130 000 xe ôtô đã đăng kí biển số. Năm 2020 có 12 000 xe ôtô đăng kí mới. Nếu hàng năm lượng xe đăng kí mới đều giữ nguyên thì đến năm nào tỉnh Nghệ An sẽ cần mở thêm dạng biển số mới ?
Ý nghĩa thực tế của bài toán này cho HS thấy được số xe có thể đăng kí tối đa của tỉnh Nghệ An. Lời giải X có 26 cách chọn. Chọn a, b, c, d, e có 10 5 −1 cách chọn. ( )
Vậy có 26. 10 5−1 = 2599974 biển số được tạo thành.
Số biển chưa đăng kí tính đến hết năm 2020 là 2599974 −130000 = 2469974 .
Mỗi năm đăng kí mới 12000 xe ôtô. Do đó số năm ước tính còn lại đủ biển số để đăng
2469974
kí là 205,83 năm. Xấp xỉ gần 206 năm nữa mới hết loại biển số dạng nói trên.
12000
Bài toán 2. (Biển số đẹp) Một biển số được xem là đẹp nếu 3 chữ số cuối giống nhau hoặc là 3 chữ số tự nhiên liên tiếp. Hãy tính xem, với giả thiết như bài toán 1 thì tỉnh Nghệ An có bao nhiêu biển số đẹp ? Nếu mỗi biển số đẹp được mang ra đấu giá để bổ sung ngân sách nhà nước, trung bình mỗi biển số đẹp có giá 20 triệu đồng. Hỏi nếu đem ra bán đấu giá tất cả các biển số đẹp thì tỉnh Nghệ An sẽ thu về được bao nhiêu tiền cho ngân sách ?
Ý nghĩa thực tế của bài toán này, ngoài việc cung cấp cho HS biết sẽ có bao nhiêu biển số “đẹp” còn giáo dục cho HS hiểu được ý nghĩa của nó, mỗi biển số đẹp cũng là tài nguyên của đất nước, việc bán đấu giá biển số này đem lại ngân sách để xây dựng quê hương đất nước.
Lời giải.
Trường hợp 1. Ba chữ số cuối giống nhau. X có 26 cách chọn.
Có 10 cách chọn cho 3 chữ số cuối. Có 102 cách chọn cho a, b.
( )
−
1 biển số đẹp mà 3 chữ số cuối giống nhau. Vậy có 26. 10
Trường hợp 2. Ba chữ số cuối là 3 chữ số tự nhiên liên tiếp. Trường hợp này có 26.10 .8 biển số.
3
2
( + ) =
Vậy có 26. 999 800 46774 biển số đẹp.
Tổng số tiền ngân sách thu về nếu bán đấu giá là 46774.20 = 935480 (triệu đồng) – Gần 1000 tỉ đồng, một con số rất lớn cho ngân sách.
Ví dụ 25. (Bài toán về phân chia giải thưởng)
Hai đối thủ ngang tài nhau, cùng chơi 1 trận đấu đủ tranh chức vô địch. Luật chơi qui định người đầu tiên thắng được 6 ván đấu sẽ thắng cuộc và được nhận toàn bộ tiền thưởng. Tuy nhiên vì lý do bất khả kháng trò chơi không thể tiếp tục và phải dừng lại khi người I đã thắng 5 ván, còn người II chỉ mới thắng 3 ván. Bàn về việc chia giải có 2 ý kiến như sau
- -
Ý kiến 1: chia tỉ lệ 5:3 theo như tỉ lệ các ván thắng của người chơi.
Ý kiến2: chia tỉ lệ 2:1, vì người I thắng nhiều hơn người II 2 trận nên được nhận 1/3 giải ứng với 2 trận này, phần còn lại chia đôi (tức là người I và II nhận thêm 1/3 giải). Dựa theo qui định trao giải của trận đấu, em hãy đánh giá tính hợp lí của hai ý kiến trên và đưa ra ý kiến của mình?
Lời giải
Các ý kiến trên đều chưa thuyết phục vì dựa vào cách trao giải của trận đấu thì chúng ta cần phải chia giải thưởng theo khả năng thắng thua của 2 đấu thủ. Có nghĩa là khả năng thắng của người chơi càng cao càng được nhận nhiều giải thưởng.
Vậy câu hỏi đặt ra là xác suất thắng của mỗi người chơi là bao nhiêu?
Nghe có vẻ phức tạp, nhưng sẽ rất đơn giản nếu chúng ta tính Đại số tổ hợp người II thắng.
- Để người II thắng chỉ có 1 khả năng là thắng liên tiếp 3 trận tiếp theo. Vì hai đấu thủ ngang tài nhau nên khả năng người II thắng ở mỗi ván đấu là 1/2. Do kết quả các ván đấu là độc lập với nhau nên suy ra
1- - - Xác suất người II thắng là ; 8 1 7 Xác suất người I thắng là 1− = . 8 8
Vậy nên chia phần thưởng theo tỉ lệ là 7:1 là hợp lý nhất.
Ngoài các ví dụ thể hiện ứng dụng thực tiễn mà GV đưa ra cho HS, GV có thể yêu cầu HS hoặc cho các em hoạt động nhóm tìm ra các ví dụ khác và trao đổi bàn bạc với các bạn để tìm ra cách giải quyết cho các bài toán đó. Điều này chính là tạo điều kiện để các em có các trải nghiệm sáng tạo các kiến thức đã được học, không những thế còn làm cho các em quen dần với việc tự học và cách làm việc theo nhóm từ đó mà hình thành và phát triển các năng lực chung cốt lõi.
Ví dụ 26. (Bài toán chọn ngẫu nhiên phương án trả lời trắc nghiệm)
Một đề thi THPTQG môn Toán gồm có 50 câu hỏi dạng trắc nghiệm khác quan. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, mỗi câu trả lời sai thì không có điểm. Một HS có năng lực trung bình đã làm chắc chắn đúng được 25 câu đầu tiên, nhưng HS đó không biết các làm 25 câu còn lại nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi THPT môn Toán của HS đó đạt từ 6 điểm trở lên.
Lời giải
Xác suất để HS chọn ngẫu nhiên đúng đáp án của 1 câu là 0, 25 và chọn sai là 0, 75. Vì HS đó đã chắc chắn trả lời đúng 25 câu đầu tiên nên chắc chắn được 5 điểm.
Để số điểm của HS đó đạt từ 6 điểm trở lên thì HS đó cần chọn đúng đáp án của tối thiểu 5 câu trên tổng số 25 câu còn lại.
Xác suất để HS chọn đúng k câu trong 25 câu còn lại là C25k k.0, 7525−k .0, 25 . 25 C2k 50, 25 .0, 7525 k 78,63%. k −
Do đó xác suất để HS đạt từ 6 điểm trở lên là
Ví dụ 22. (Thầy giáo dạy toán giỏi xem bói)
k=5
Một GV Toán sau khi dạy xong chủ đề Đại số tổ hợp-xác suất cho lớp 11A, bèn tuyên bố vui với cả lớp rằng thầy biết cách xem bói. Thầy khẳng định rằng trong lớp có ít nhất 2 HS có cùng ngày sinh nhật.
Học sinh lớp 11A khi kiểm chứng lời thầy đúng thì có em cho rằng thầy đã xem trước lí lịch HS của lớp. Nhưng thầy lại tuyên bố với các em điều thầy nói cũng đúng với các lớp khác trong trường, thậm chí cả các trường khác. Bằng các kiến thức đã học về Đại số tổ hợp – xác suất em hãy giải thích tại sao thầy dám khẳng định như thế?
Lời giải
Ta có thể coi mỗi lớp học có 45 học sinh, mỗi năm có 365 ngày. 364
65 Xác suất để HS thứ 2 không cùng ngày sinh với HS đầu tiên là .
3 363 65 Xác suất để HS thứ 3 không cùng ngày sinh với 2 HS trên là .
3 …
( ) k −1
học sinh Xác suất để HS thứ k k 45 không cùng ngày sinh với
366 − k trước đó là … . 365 3 3 21 Xác suất để HS thứ 45 không cùng ngày sinh với 44 HS trước đó là .
65 Vậy xác suất để cả 45 HS không có bất kì 2 HS nào có cùng sinh nhật là
366− k
45
0,059.
365
Do đó xác suất để có ít nhất 2 HS trong lớp cùng sinh nhật là
− 0, 059 = 0,941= 94,1% .
k=2
1
Như vậy xác suất có hai học sinh trong lớp trùng ngày sinh rất lớn, nên khả năng lời phát biểu của thầy giáo đúng là rất cao.
Ví dụ 23. (Bài toán gieo 2 con súc sắc)
Trò chơi dự đoán tổng số chấm xuất hiện khi gieo 2 con súc sắc với 3 trường hợp để dự đoán như sau:
A. Tổng số chấm không vượt quá 4. B. Tổng số chấm từ 5 đến 9. C. Tổng số chấm lớn hơn 9.
An là một học sinh giỏi Toán, theo em An đặt cược ở phương án nào?
Lời giải
Để lựa chọn phương án đặt cược ta cần xem xét khả năng xảy ra của chúng. Số phần tử của không gian mẫu là 6.6 = 36.
Ta có thể lập bảng thống kê các trường hợp có thể xảy ra Tổng số chấm Các kết quả 2 3 4 5 6 7 8 9 (1;1) (1;2) (2;1) (1;3) (3;1) (2;2) (1;4) (4;1) (2;3) (3;2) (1;5) (5;1) (2;4) (4;2) (3;3) (1;6) (6;1) (2;5) (5;2) (3;4) (4;3) (2;6) (6;2) (3;5) (5;3) (4;4) (3;6) (6;3) (5;4) (4;5) (4;6) (6;4) (5;5) (5;6) (6;5) 1 1 1 0 1 2 (6;6)
Dựa vào bảng trên chúng ta thấy:
6 1
Xác suất để tổng số chấm xuất hiện không vượt quá 4 là = . 6 6 3
6 1
Xác suất để tổng số chấm xuất hiện vượt quá 9 là = . 6 6 3
24 2
= .
6 3 Xác suất để tổng số chấm xuất hiện đạt từ 5 đến 9 là
3
Vậy trong 3 phương án đưa ra thì phương án B có xác suất lớn nhất nên chắc chắn An lựa chọn B.
Ví dụ 24. Trong một trò chơi, người chơi gieo cùng lúc 3 con súc sắc cân đối đồng chất; nếu được ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 thì thắng. Tính xác suất để trong 3 lần chơi, người chơi thắng ít nhất 1 lần?
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu khi gieo 3 con súc sắc là n() =63 = 216 .
A
Gọi là biến cố có ít nhất 2 con súc sắc có số chấm lớn hơn 4.
( ) =C2.2.2.4 48; n (A ) = 2.2.2 =8. 3 = Ta có n A2 3 7 A , A xung khắc và A= A A nên P A ( )=P A( )+ ( ) = P A . 2 3 2 3 2 3 27 B B là biến Gọi là biến cố trong 3 lần chơi, người chơi thắng ít nhất 1 lần. Lúc đó
7 3 8000
( )
cố cả 3 lần chơi, người chơi đều thua, ta có P B = 1− = .
27 19683
Do đó xác suất thắng cuộc ít nhất 1 lần chơi của người chơi trong 3 lần chơi là 11683 9683 ( ) ( )= − = 0,5936 . P B 1 P B 1
Trên đây là một số bài toán Đại số tổ hợp – xác suất được thiết kế dưới dạng các trò chơi. Chúng có tác dụng lớn trong việc giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học giải quyết các tình huống thực tiễn, cho học sinh thấy một phần ứng dụng của Đại số tổ hợp – xác suất trong thực tế.
Tuy nhiên trong toàn bộ quá trình dạy học chủ đề, cần tận dụng các cơ hội để làm cho học sinh hiểu rằng ứng dụng của Đại số tổ hợp không bó gọn trong một lĩnh vực mà có thể áp dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Chẳng hạn các bản dự báo thời tiết, kinh tế, nông nghiệp, xây dựng, thể thao, chứng khoán, giá vàng, giao thông… đều là kết quả của việc tính toán khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên, mà cơ sở khoa học là các kiến thức về Đại số tổ hợp – xác suất.