Trước hết chú ý rằng, nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép, ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
Câu hỏi 1? Hãy tính x1 + x2, x1x2. 51
Như vậy, ta đã thấy được một mối liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai mà Vi−ét, nhà toán học người Pháp đã phát hiện vào đầu thế kỉ thứ XVII và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông.
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì Áp dụng. Nhờ định lí Vi−ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia. Ta xét riêng hai trường hợp đặc biệt sau:
Câu hỏi 2? Cho phương trình 2x² – 5x + 3 = 0. a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình. c) Dùng định lí Vi−ét để tìm x2.
Tổng quát
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = … .
Câu hỏi 3? Cho phương trình 3x² + 7x + 4 = 0.
a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình và tính a – b + c. b) Chứng tỏ x1 = − 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x2.
Tổng quát
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = − 1, còn nghiệm kia là x2 = −c/a.
52
Câu hỏi 4? Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) – 5x² + 3x + 2 = 0; b) 2004x² + 2005x + 1 = 0.