Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.
Ở hình 59, ta có hình quạt tròn OAB, tâm O, bán kính R, cung nº. Câu hỏi? Hãy điền biểu thức thích hợp vào các chỗ trống (…) trong dãy lập luận sau:
Bài tập
77. Tính diện tích hình quạt tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4 cm.
78. Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 12 m. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông?
79. Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6 cm, số đo cung là 36º.
80. Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40 m, AD = 30 m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:
− Mỗi dây thừng dài 20 m.
− Một dây thừng dài 30 m và dây thừng kia dài 10 m.
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h. 60)?
81. Diện tích hình tròn sẽ thay đổi thế nào nếu: a) Bán kính tăng gấp đôi?
b) Bán kính tăng gấp ba?
c) Bán kính tăng k lần (k > 1)?
82. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):
Luyện tập
83. a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với HI = 10 cm và HO = BI = 2 cm. Nêu cách vẽ.
b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc).
c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó.
84. a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ (h. 63).
b) Tính diện tích miền gạch sọc. 100
85. Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm góc AOB = 60º và bán kính đường tròn là 5,1 cm (h.64).
86. Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h. 65).
a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1 > R2). b) Tính diện tích hình vành khăn khi R1 = 10,5 cm, R2 = 7,8 cm.
87. Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.
Ôn tập chương III Câu hỏi
2. Góc nội tiếp là gì?
3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì? 4. Tứ giác nội tiếp là gì?
5. Với ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn, khi nào thì sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung CB?
6. Phát biểu các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn.
7. Phát biểu định lí và hệ quả về các góc nội tiếp chắn một cung. 8. Phát biểu định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 9. Phát biểu quỹ tích cung chứa góc.
10. Phát biểu điều kiện để một tứ giác nội tiếp được đường tròn. 101
11. Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
12. Phát biểu định lí về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của đa giác đều.
13. Nêu cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn.
14. Nêu cách tính số đo của góc nọi tiếp theo số đo của cung bị chắn. 15. Nêu cách tính số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung theo số đo của cung bị chắn.
16. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn theo số đo của các cung bị chắn.
17. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn theo số đo của các cung bị chắn.
18. Nêu cách tính độ dài cung nºcủa hình quạt tròn bán kính R. 19. Nêu cách tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung nº.
Tóm tắt các kiến thức cần nhớ
Các định nghĩa
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
b) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360º và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).
c) Số đo của nửa đường tròn bằng 180º.
3. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung.
5. Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.
6. Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
7. Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
102
Các định lí
1. Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung CB.
2. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.
3. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại.
4. Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
5. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
6. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau.
7. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
8. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
9. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
10. Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. c) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
d) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
g) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
11. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
12. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
103
13. Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (0º < α < 180º).
14. Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o thì nội tiếp được đường tròn và ngược lại.
15. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º.
b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
16. Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân và ngược lại.
17. Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
18. Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung nº được tính theo công thức
19. Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung nº được tính theo công thức
Bài tập
88. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây: 104
89. Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60º. Hãy: a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.
b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt. d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh góc ADB với góc ACB
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánh góc AEB với góc ACB
90. a) Vẽ hình vuông cạnh 4 cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.
91. Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2 cm. góc AOB = 75º.
a) Tính sđ cung ApB
b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB. c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.
92. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).
93. Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1 cm. Hỏi:
105
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng? b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng? c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
94. Hãy em biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h. 72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải 1/2 số học sinh là học sinh ngoại trú không? b) Có phải 1/3 số học sinh là học sinh bán trú không? c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em. 95. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90º) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE; b) ΔBHD cân; c) CD = CH.
96. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng: a) OM đi qua trung điểm của dây BC;
b) AM là tia phân giác của góc OAH.
97. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp; b) Góc ABD = góc ACD
98. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
99. Dựng ΔABC, biết BC = 6 cm, góc BAC = 80º, đường cao AH có độ dài là 2 cm.
106
Chương IV – HÌNH TRỤ − HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
107
Bài 1. Hình trụ − Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ 1. Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố định, ta được một hình trụ (h.73). Khi đó:
− DA và CB quét nên hai đáy của hình trụ, là hai hình tròn bằng nhau nằm trong hai mặt phẳng song song, có tâm D và C.
− Cạnh AB quét nên mặt xung quanh của hình trụ, mỗi vị trí của AB được gọi là một đường sinh. Chẳng hạn EF là một đường sinh.
− Các đường sinh của hình tụ vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.
− DC gọi là trục của hình trụ.
Câu hỏi 1? Lọ gốm ở hình 74 có dạng một hình trụ. Quan sát hình và cho biết đâu là đáy, đâu là mặt xung quanh, đâu là đường sinh của hình trụ đó.
108