Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S – x. Theo giả thiết ta có phương trình : x(S− x) = P hay x² – Sx + P = 0. (1)
Nếu Δ = S² – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
Vậy: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x² – Sx + P = 0.
Áp dụng:
Ví dụ 1. Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải. Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình x2 – 27x + 180 = 0.
Câu hỏi 5? Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Ví dụ 2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình x² – 5x + 6 = 0. Giải. Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6 nên x1 = 2, x2 = 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập
25. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…): a) 2x² – 17x + 1 = 0, Δ = …, x1 + x2 = … , x1x2 = …;
b) 5x² – x – 35 = 0, Δ = …, x1 + x2 = … , x1x2 = …; 53
c) 8x² – x + 1 = 0, Δ = …, x1 + x2 = … , x1x2 = …; d) 25x² + 10x + 1 = 0, Δ = …, x1 + x2 = … , x1x2 = …
26. Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x² – 37x + 2 = 0; b) 7x² + 500x – 507 = 0; c) x² – 49x – 50 = 0; d) 4321x² + 21x – 4300 = 0.
27. Dùng hệ thức Vi−ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình. a) x² – 7x + 12 = 0; b) x² + 7x + 12 = 0.
28. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) u + v = 32, uv = 231; b) u + v = − 8, uv = −105; c) u + v = 2, uv = 9.
Có thể em chưa biết?
Phrăng−xoa Vi−ét (F.Viète) sinh năm 1540 tại Pháp. Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu
các ẩn và cả các hệ số của phương trình, đồng thời dùng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh mẽ.
Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình mà ta vừa học. Ông còn nổi tiếng trong việc giải mật mã. Trong cuộc chiến tranh giữa Pháp và Tây Ban Nha hồi cuối thế kỉ XVI, vua Hen−ri IV đã mời ông giải những bản mật mã lấy được của quân Tây Ban Nha. Nhờ đó mà quân Pháp đã phá được nhiều âm mưu của đối phương. Vua Tây Ban Nha Phi−líp II đã tuyên án thiêu sống ông trên dàn lửa. Tuy nhiên, họ không bắt được ông.
Ngoài việc làm toán, Vi−ét còn là một luật sư và một chính trị gia nổi tiếng. Ông mất năm 1603.
54
Luyện tập
29. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) 4x² + 2x – 5 = 0; b) 9x² – 12x + 4 = 0; c) 5x² + x + 2 = 0; d) 159x² – 2x – 1 = 0.
30. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) x2 – 2x + m = 0; b) x2 + 2(m – 1)x + m2 = 0; 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0;
b) c)
d) (m – 1)x² – (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m ≠ 1. 32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) u + v = 42, uv = 441; b) u + v = − 42, uv = − 400; c) u – v = 5, uv = 24.
33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm là x1
ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2x² – 5x + 3; b) 3x² + 8x + 2.
Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai 1. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4+ bx²+c = 0 (a ≠ 0).
55
Nhận xét. Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai song
có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. Chẳng hạn, nếu đặt x² = t thì ta được phương trình bậc hai at² + bt + c = 0. Ví dụ 1. Giải phương trình x4 – 13x² + 36 = 0. (1)
Câu hỏi 4? Giải các phương trình trùng phương: a) 4x4 + x² – 5 = 0; b) 3x4 + 4x² + 1 = 0.