Bài 19: Tỡm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong cỏc số tự nhiờn dạng:
1 2 3 4x y z
chia hết cho 7.
Giải:
- Số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải cú dạng:
19293 4z với z {0, 1, 2,...,8, 9} lần lượt thử với z = 9; 8; 7; 6; 5... đến z = 5, ta cú:
1929354 7 = (275622)
Vậy số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1929354, thương là 275622 - Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải cú dạng:
10203 4z với z {0, 1, 2,...,8, 9} lần lượt thử với z = 0; 1; 2; 3... đến z = 3, ta cú:
1020334 7 = (145762)
Vậy số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 là 1020334, thương là 145762
Bài 20: Tỡm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong cỏc số tự nhiờn dạng:
Đỏp số: - Số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 13 là 1929304 - Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 13 là 1020344
Bài 21: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phỳ Thọ tham gia kỡ thi khu vực năm 2004)
Tỡm tất cả cỏc số n dạng: 1235679 4 N x y chia hết cho 24. H.Dẫn: - Vỡ N 24 N 3 ; N 8 (37 + x + y) 3 ; x y4 8. y chỉ cú thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dựng mỏy tớnh, thử cỏc giỏ trị x thoả món: (x + y + 1) 3 và x y4 8, ta cú: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bài 22: Tỡm cỏc số khi bỡnh phương sẽ cú tận cựng là ba chữ số 4. Cú hay khụng cỏc số khi bỡnh
phương cú tận cựng là bốn chữ số 4 ?
H.Dẫn:
- Chữ số cuối cựng của x2 là 4 thỡ chữ số cuối cựng của x là 2 hoặc 8. Tớnh trờn mỏy bỡnh phương của số:
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chỉ cú cỏc số: ta chỉ cú cỏc số:
12, 62, 38, 88
khi bỡnh phương cú tận cựng là hai chữ số 4. - Tớnh trờn mỏy bỡnh phương của cỏc số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta được: 462, 962, 38, 538 khi bỡnh phương cú tận cựng là 444.
* Tương tự cỏch làm trờn, ta cú kết luận: khụng cú N nào để N2 kết thỳc bởi 4444.
Bài 23: Tỡm tất cả cỏc số cú 6 chữ số thoó món:
1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị 2) Là số chớnh phương.
H. Dẫn:
- Gọi số cần tỡm là: n a a a a a a 1 2 3 4 5 6 .
- Đặt x a a a 1 2 3. Khi ấy a a a4 5 6 x 1 và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyờn tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trỏi và số cũn lại phải là ước của thừa số cũn lại của vế trỏi.
Dựng mỏy tớnh, xột cỏc khả năng đi đến đỏp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 24: Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn x thoả món: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng
như 655 đều cú số dư là 210.
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta cú: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393 x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655 x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965 x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 - Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 5 k < 8. Tớnh trờn mỏy: Với k = 5, ta cú: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta cú: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta cú: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy cỏc số phải tỡm là: 10035, 12000, 13965
Bài 25: Tỡm cỏc chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.
Giải:
- Vỡ cỏc số 5, 7, 9 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn ta phải tỡm cỏc chữ số x, y, z sao cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta cú 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
30 + xyz chia hết cho 315. Vỡ 30 30 + xyz < 1029 nờn (Dựng mỏy tớnh tỡm cỏc bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):
- Nếu 30 + xyz = 315 thỡ xyz = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + xyz = 630 thỡ xyz = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + xyz = 945 thỡ xyz = 945 - 30 = 915 Vậy ta cú đỏp số sau:
x y z
2 8 5
6 0 0
9 1 5
Bài 26: (Thi Quốc tế IMO 1962):
Tỡm số nguyờn dương nhỏ nhất cú tớnh chất sau: 1) Viết dưới dạng thập phõn a cú tận cựng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cựng và đặt chữ số 6 lờn trước cỏc chữ số cũn lại sẽ được một số gấp 4 lần chữ số ban đầu. Giải: - Giả sử số cần tỡm cú n + 1 chữ số. - Từ điều kiện 1) số đú dạng: a a a1 2... 6n - Từ điều kiện 2), ta cú: 6a a a1 2... n = 4.a a a1 2... 6n (*) - Đặt a a a a 1 2... n , thỡ: a a a1 2... 6n = 10a + 6 6a a a1 2... n = 6.10n + a - Khi đú (*) trở thành: 6.10n + a = 4.(10a + 6) 2.(10n - 4) = 13a (**) Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trỏi chia hết cho 13.
Vỡ (2 ; 13) = 1 nờn: 10n - 4 chia hết cho 13.
Bài toỏn quy về: Tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đú tỡm ra số a và số cần tỡm cú dạng: 10a + 6.
Thử lần lượt trờn mỏy cỏc giỏ trị n = 1; 2;... thỡ (10n - 4) lần lượt là: 6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiờn chia hết cho 13 là: 99996. Khi đú a = 15384 Số cần tỡm là: 153846.
Bài 27: Tỡm số tự nhiờn n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1 b) n + 2 chia hết cho 7 - n
a) Lập cụng thức (2n + 7) : (n + 1) trờn mỏy và thử lần lượt n = 0, 1, 2,... ta được n = 0 và n = 4 thỡ 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Chứng minh với mọi n 5, ta đều cú 2n + 7 khụng chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) (n + 1) [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) 5 (n + 1) n 5. Vậy số n cần tỡm là 0 hoặc 4.
b) Tương tự ta cú: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 28: Tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất sao cho n3 là một số cú 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều là số 1.
Giải:
Nhận xột:
1) Để n3 cú tận cựng là 11 thỡ n cú tận cựng là số 1. Thử trờn mỏy cỏc số: 11, 21, 31,...81, 91
được duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba cú tận cựng là 11. 2) Để n3 cú tận cựng là 111 thỡ n cú phải tận cựng là số 471. (Thử trờn mỏy với cỏc số: 171, 271, 371,...871, 971 ) 3) Để n3 cú tận cựng là 1111 thỡ n phải cú tận cựng là số 8471. (Thử trờn mỏy với cỏc số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 ) - Giả sử m là số chữ số đứng giữa cỏc số 111 và 1111: + Nếu m = 3k, k Z+, thỡ: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 ( 3 4 3 3 4 111000...00 0000 111 ... 1111 112000...000000 m k k k ) 31110.10k13 n3 3111...1111 31120.10k1 Tớnh trờn mỏy: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do đú, với k 1. Cho k = 1 ta được n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là: n = 103...8471
Số nhỏ nhất trong cỏc số đú là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta được cỏc số này đều vượt quỏ số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoó món yờu cầu bài toỏn là: n = 1038471 khi đú:
(tớnh kết hợp trờn mỏy và trờn giấy):n3 = 1119909991289361111
Bài 29: a) Tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất mà n2 bắt đầu bởi số 19 và kết thỳc bằng số 89
b) Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong đú xxxxxx là 6 số cú thể khỏc nhau).
Giải:
a) Trước hết ta tỡm số n2 cú tận cựng là 89:
- Vỡ n2 cú tận cựng là 9 nờn n chỉ cú thể cú tận cựng là 3 hoặc 7. - Thử trờn mỏy cỏc số: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tỡm được:
để n2 cú tận cựng là 89 thỡ n phải cú 2 số tận cựng là một trong cỏc số sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* Bõy giờ ta tỡm số n2 bắt đầu bởi số 19: - Để n2 bắt đầu bởi số 19 thỡ nú phải cú dạng:
19 x 10k
n2 < 20 x 10k 19.10k n 20.10k (1) + Nếu k = 2m thỡ ta cú (1), trở thành:
19.10m n 20.10m
4,3588989.10m n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tớnh trờn mỏy):
ta được n cú thể là: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ Nếu k = 2m thỡ ta cú (1), trở thành: 190.10m n 200.10m
13,78404875.10m n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tớnh trờn mỏy):
ta được n cú thể là: 14, 138, 139, ... , 141 1379, 1380, 1381, ... , 1414
Túm lại để n bắt đầu bởi số 19 thỡ n cú thể là:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Từ (*) và (**) ta nhận thấy trong cỏc số trờn chỉ cú số 1383 thoả món bài toỏn. b) Ta cú: 2525 x 108
x2 < 2526 x 108
Vậy : 502493 < x < 502593
Số x tận cựng phải là: 17, 33, 67, 83 (theo cõu a), do đú cỏc số thoả món là: 502517, 502533, 502567, 502583.
Bài 30: Với giỏ trị tự nhiờn nào của n thỡ:
1,01n - 1 < (n - 1) và 1,01n > n. Giải: - Ta cú: 1,01512 163,133... < 512 1,011024 26612,56.. > 1024 Vậy: 512 < n < 1024
Thu hẹp khoảng cỏch chứa n bằng phương phỏp chia đụi: - Chia đụi đoạn [512 ; 1024], ta cú:
521 1024 768 768 2 1,01 1,01 2083, 603... 768 Vậy lại cú: 512 < n < 768
Sau một số bước chia đụi như thế đi đến: 650 < n < 652
Cuối cựng ta cú: 1,01651 = 650,45... < 651 1,01652 = 656,95.. > 652
n = 652
Ta hoàn toàn giải bài toỏn trờn bằng một quy trỡnh trờn MTBT:
(Thuật toỏn: Xột hiệu 1,01A - A , gỏn cho A cỏc giỏ trị tự nhiờn: 0, 1, 2,... dừng lại khi hiệu trờn chuyển từ (-) sang (+))
- Gỏn cho ụ nhớ A giỏ trị tự nhiờn đầu tiờn:
0 SHIFT STO A
- Lập cụng thức tớnh hiệu 1,01A - A và gỏn giỏ trị ụ nhớ bởi số tự nhiờn kế tiếp:
1,01 ANPHA A - ANPHA A