321xx  Do g x ( )  3 x 2  1 cú đạo hàm 3 2

: ANPH AA ANPH A= ANPH AA +

2. Đa giỏc, hỡnh trũn:

321xx  Do g x ( )  3 x 2  1 cú đạo hàm 3 2

2 '( ) 3 ( 1) x g x x 

 thỏa món điều kiện 3

1

'( ) 1

4

g x  

trong khoảng (1;1.5) nờn dóy lặp xn13xn21 hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng

(1;1.5) .

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS: Khai bỏo hàm g x( )3x21:

SHIFT 3 ( ALPHA X x2  1)

Bắt đầu tớnh toỏn bằng CALC mỏy hiện X? Khai bỏo giỏ trị ban đầu x01 và bấm phớm .

Sau đú thực hiện dóy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x1.465571232.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :

Khai bỏo giỏ trị ban đầu x01 bằng cỏch bấm phớm 1 . Khai bỏo dóy xấp xỉ xn1g x( )n 3x2n 1

:

SHIFT 3 ( Ans x2  1) Sau đú thực hiện dóy lặp  ta cũng đi đến x1.465571232.

Vậy nghiệm xấp xỉ (chớnh xỏc đến 9 chữ số thập phõn) là x1.465571232.

Thớ dụ 2. Tỡm nghiệm gần đỳng của phương trỡnh ex x 3 0 . Vỡ f x( )ex x 3 cú đạo hàm f x'( )ex 1 0 x nờn nú đồng biến trờn

toàn trục số. Hơn nữa, f(0)3, f(1) e 2 0 nờn phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1).

Phương trỡnh đó cho tương đương với xln(3 x). Đặt g x( ) ln(3  x) thỡ 1 '( ) 3 g x x   nờn   1 '( ) 0,1 2 g x   x .

Do đú dóy lặp xn1ln(3 xn) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1).

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS:

Khai bỏo g x( ) ln(3  x): ln ( 3 ALPHA X )

Bắt đầu tớnh toỏn bằng CALC mỏy hiện X? Khai bỏo giỏ trị ban đầu 0

12 2

x 

: 1 ab c/ 2 và bấm phớm . Sau đú thực hiện dóy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến

26 27 28 0.792059968

x x x  .Vậy nghiệm gần đỳng là 0,792059968. Vậy nghiệm gần đỳng là 0,792059968.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :

Khai bỏo giỏ trị ban đầu 0

12 2

x 

: 1 ab c/ 2 và bấm phớm . Khai bỏo dóy xấp xỉ xn1g x( ) ln(3n   xn): ln ( 3 Ans )

Sau đú thực hiện dóy lặp  ta cũng đi đến x26x27x280,792059968. Vậy nghiệm xấp xỉ (chớnh xỏc đến 9 chữ số thập phõn) là x0,792059968

Nhận xột 1. Nếu chỉ đũi hỏi nghiệm chớnh xỏc đến 5 chữ số thập phõn sau dấu phẩy thỡ chỉ cần

sau 13 bước lặp ta đó đi đến nghiệm là 0,79206.

Nhận xột 2. Nếu ta đưa phương trỡnh ex x 3 0 về dạng x 3 ex thỡ g x( ) 3  ex cú đạo hàm

'( ) x

g x e khụng thỏa món điều kiện

 

'( ) 1 0,1

g x  q  x

nờn ta chưa thể núi gỡ được về sự hội tụ của dóy lặp.

Nhận xột 3. Chọn điểm xuất phỏt x0 2 ([2], trang 62) thỡ cần nhiều bước lặp hơn.

Dựng lệnh solve để giải phương trỡnh trờn Maple: > solve(exp(x)+x-3,x);

-LambertW(exp(3)) + 3 Mỏy cho đỏp số thụng qua hàm LambertW.

Ta cú thể tớnh chớnh xỏc nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30);

.79205996843067700141839587788

Lời bỡnh: Maple cho ta đỏp số đến độ chớnh xỏc tuỳ ý.

Vỡ f x( ) x lnx là một hàm đồng biến ngặt trờn (0,). Hơn nữa f(1) 1 0  và

1 1

( ) 1 0

f

e  e  nờn phương trỡnh cú duy nhất nghiệm trờn khoảng

1( ,1) ( ,1)

e . Phương trỡnh đó cho tương đương với x ex g x( )

  . Vỡ g x'( )ex nờn Vỡ g x'( )ex nờn 1 '( ) x 1 e g x e e     với mọi 1 ( ,1) x e  nờn dóy lặp 1 n x n x e   hội tụ.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS:

Khai bỏo g x( ) ex

 : SHIFT ex (  ALPHA X )

Bắt đầu tớnh toỏn bằng CALC mỏy hiện X? Khai bỏo giỏ trị ban đầu 0

12 2

x 

:

1ab c/ 2 và bấm phớm . Sau đú thực hiện dóy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x0,567143290. Vậy nghiệm gần đỳng là x0,567143290.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS:

Khai bỏo giỏ trị ban đầu 0

12 2 x  : 1 ab c/ 2 và bấm phớm . Khai bỏo 1 ( ) n n x n x g x e    : SHIFT ex (  Ans )

Sau đú thực hiện dóy lặp  ta cũng đi đến x0,567143290. Vậy nghiệm gần đỳng là x0,567143290.

Thớ dụ 4. Tỡm nghiệm gần đỳng của phương trỡnh xcos :x g x( ).

Vỡ f x( ) x cosx cú đạo hàm f x'( ) 1 sin  x0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc x 2 2k

     nờn nú là hàm đồng biến ngặt. Do f(0)1 và f( )2 2   

nờn phương trỡnh cú duy nhất nghiệm trong khoảng (0, )2



.

Hiển nhiờn g x'( ) sinx sin(2 ) 1

        với mọi x (0,2 )    

với  đủ nhỏ nờn dóy xn1cosxn hội tụ trong khoảng (0,2 )

   

.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS:

ấn phớm MODE MODE MODE MODE 2 (tớnh theo Radian).

Khai bỏo g x( ) cos x: cos ALPHA X

Bắt đầu tớnh toỏn bằng CALC mỏy hiện X? Khai bỏo giỏ trị ban đầu x01.5 và bấm phớm . Sau đú thực hiện dóy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x0,739085133 radian.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:

Bấm phớm MODE MODE MODE MODE 2 (tớnh theo Radian) trờn Casio fx-570 MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tớnh theo Radian) trờn Casio fx-500 MS.

Khai bỏo xn1g x( n) cos xn

: cos Ans

Sau đú thực hiện dóy lặp  ta cũng đi đến x0.739085133.

Thớ dụ 5. Tỡm nghiệm gần đỳng của phương trỡnh x33x 1 0.

Vỡ f( 2) 1, f( 1) 3  , f(1)1, f(2) 3 và x3 3x 1 0 là phương trỡnh là bậc 3 nờn nú cú đỳng 3 nghiệm trong cỏc khoảng ( 2, 1)  , ( 1,1) ,(1, 2).

Phương trỡnh trờn tương đương với x33x1. Xột khoảng ( 2, 1)  . Đặt g x( )33x1. Ta cú 3 2 3 1 1 '( ) 1 16 (3 1) g x x   

 nờn dóy xn133xn1 hội tụ trong khoảng ( 2, 1)  .

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS:

ấn phớm MODE 1 (tớnh theo số thực).

Khai bỏo g x( )33x1: SHIFT 3 ( 3 ALPHA X  1)

Bắt đầu tớnh toỏn bằng CALC mỏy hiện X? Khai bỏo giỏ trị ban đầu x01 và bấm phớm . Sau đú thực hiện dóy lặp CALC Ans  ta cũng đi đến x11,879385242.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :

Khai bỏo giỏ trị ban đầu x01:  1 và bấm phớm . Khai bỏo xn1g x( )n 33xn1: SHIFT 3 ( 3 Ans  1 )

Sau đú thực hiện dóy lặp  ta cũng đi đến x11,879385242. Vậy một nghiệm gần đỳng là x11,879385242.

Dựng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đú giải phương trỡnh bậc hai ta tỡm được hai nghiệm cũn lại là: x1,53208886và x0,3472963.

Chỳ ý: Để tớnh nghiệm x20,3472963 ta khụng thể dựng phương trỡnh tương đương x33x1g x( )

như trờn vỡ 3 2 1 '( ) (3 1) g x x 

 khụng thỏa món điều kiện g x'( )  q 1 trong khoảng (0,1) và dóy lặp

3

1 3 1

n n

x  x  khụng hội tụ (Hóy thử khai bỏo giỏ trị ban đầu x0,3472963 và thực hiện dóy lặp

3

1 3 1

n n

x  x  theo quy trỡnh bấm phớm trờn, ta sẽ thấy dóy lặp hội tụ tới x11,879385242).

Nhận xột 1: Cú thể giải phương trỡnh x33x 1 0 trờn Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chương trỡnh cài sẵn trờn mỏy, quy trỡnh bấm phớm sau:

Vào MODE giải phương trỡnh bậc ba: MODE MODE 1  3

Khai bỏo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =

Mỏy hiện đỏp số x11.53088886.

Bấm tiếp phớm = , mỏy hiện x21.879385242. Bấm tiếp phớm = , mỏy hiện x30.347296355. Vậy phương trỡnh cú ba nghiệm thực

1 1.53088886

Thớ dụ 6. Tỡm giao điểm của đồ thị hàm số f x( )x33x21 với trục hoành (chớnh xỏc đến 107

).

Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( )x33x21 với trục hoành chớnh là nghiệm của phương trỡnh f x( )x33x21 0 .

Vỡ f( 1) 3  , f(0)1, f(1) 1 , f(2,5) 2,125 và f(3)1 nờn phương trỡnh cú 3 nghiệm trong cỏc khoảng ( 1;0) ,(0;1)và (2,5;3).

Phương trỡnh f x( )x33x21 0 tương đương với x33x21. Đặt g x( )33x21 thỡ 3 2 2 2 '( ) (3 1) x g x x   và g x'( ) 0,9 1 .

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS:

Bấm phớm MODE 1 (tớnh theo số thực).

Khai bỏo g x( )33x21: SHIFT 3 ( 3 ALPHA X x2  1)

Bắt đầu tớnh toỏn bằng CALC mỏy hiện X? Khai bỏo giỏ trị ban đầu x02,7 và bấm phớm . Sau đú thực hiện dóy lặp CALC Ans  ta đi đến nghiệm x2,879385242.

Dóy lặp trờn mỏy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :

Khai bỏo giỏ trị ban đầu x02,7: 2.7 .

Khai bỏo xn1g x( )n 33xn21: SHIFT 3 ( 3 Ans x2  1 ) Sau đú thực hiện dóy lặp  ta cũng đi đến x2,879385242. Vậy một nghiệm gần đỳng là x2,879385242.

Hai nghiệm cũn lại cú thể tỡm bằng phương phỏp lặp hoặc phõn tớch ra thừa số rồi tỡm nghiệm của phương trỡnh bậc hai hoặc một lần nữa dựng phương phỏp lặp.

Bài tập

Bài tập 1. Tỡm khoảng cỏch ly nghiệm của cỏc phương trỡnh sau đõy:

1) x4 4x1 0 ; 2) x3 9x218x1 0 ; 3) lgx3x 5 0.

Bài tập 2 (Thi Giải toỏn trờn mỏy tớnh bỏ tỳi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996).

Giải phương trỡnh (tỡm nghiệm gần đỳng của phương trỡnh):

1) x37x 4 0; 2) x32x29x 3 0; 3)32x532x17 0 ;4)x615x 25 0 ; 5)2x5 2cosx 1 0; 6)x2sinx1 0 ; 4)x615x 25 0 ; 5)2x5 2cosx 1 0; 6)x2sinx1 0 ; 7) 2cos3x 4x1 0 ; 8) 2 1 0 ( 0) 2 x tgx   x ; 9) Cho  1 x0. Tỡm một nghiệm gần đỳng của cosx tg x 3 0;

10) (Cõu hỏi thờm cho trường chuyờn Lờ Hồng Phong): 10a) x4 x27x 2 0 ; 10b) x 6x1 0 .

Bài tập 3 (Thi Giải toỏn trờn mỏy tớnh bỏ tỳi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996).

1) x35x1 0 ; 2) x615x 25 0 ; 3) x9 x 10 0 ;

4) x 6x1 0 ; 5) x3 cosx0; 6) x cotgx 0 (0 x 2)



   

; 7) Tỡm một nghiệm gần đỳng (lấy 3 số lẻ) của phương trỡnh: x2 tgx1 0 ;

8) Tỡm một nghiệm gần đỳng (lấy 2 số lẻ thập phõn) của: x2sinx1 0 .

Bài tập 4 (Thi Giải toỏn trờn mỏy tớnh bỏ tỳi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998).

Tỡm một nghiệm gần đỳng của phương trỡnh:

1) x35x 2 0 ; 2) x9 x 7 0 ; 3) x7x1 0 ; 4) x7x 2 0 .

Bài tập 5 (Thi Giải toỏn trờn mỏy tớnh bỏ tỳi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998).

Tỡm một nghiệm gần đỳng của phương trỡnh: 1) 3x 28x 5 0 ; 2) x5 2x sin(3x1) 2 0  ;

3) Tỡm nghiệm õm gần đỳng của phương trỡnh: x10 5x32x3 0 ; 4) (Cõu hỏi thờm cho trường chuyờn Lờ Hồng Phong):

Tỡm một nghiệm gần đỳng của phương trỡnh 2x 3x 5x 11x

   .

Bài tập 6. Tỡm nghiệm gần đỳng của phương trỡnh trờn mỏy tớnh điện tử bỏ tỳi:

1) x33x23 0 ; 2) x3 x1 0 ; 3)x35x1 0 ;4) 5x3 20x 3 0; 5) 8x332x17 0 ; 6) x5 x0, 2 0 ; 4) 5x3 20x 3 0; 5) 8x332x17 0 ; 6) x5 x0, 2 0 ; 7) x3 x 1000 0 ; 8) x75x1 0 ; 9) x16 x 8 0 ; 10) x x1; 11) 5x x3 0 ; 12) 1 1 x x   ; 13) x 3x1; 14) 3x26x5 0 ; 15) 3x 28x 5 0 16) 4x 5x 6x   ; 17) 13x 11x 19x   ; 18) 2x 3x 4x 10x    ; 19) x3logx 2 0 ; 20) 2cosx e x 0; 21)cosx logx (0 x 2)



  