II- Các ví dụ
Thầy giáo giỏi 50O
O ể A C' B' ∃ CEM = CNE (Cùng chắn ∃ ME ) #### ∆CEM ~ ∆CNE . CM = CE CNCE CM.CN =CE2
Mặt Khác , do CE; CF là các tiếp tuyến của (O) nên
AB⊥ EF tại I vì vậy trong tam giác vuông CEO đ−ờng cao EI ta có: CE2 = CỊCO
Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CỊCO => CMCI = COCN ∆CMI ~ ∆CON
CIM = ∃ CNO ∃
Tứ giác OIMN nội tiếp
b Kéo dài NI cắt đ−ờng tròn tại M’. Do tứ giác IONM nội tiếp nên :
∃
IOM = INM = ∃ 12 sđ NM’ # => AM = # AM’ . Do đó: #
∃
AIM = AIM’ = ∃ BIN ∃
Ví Dụ 2
Cho tam giác ABC có A = 45∃ 0 ; BC =a nội tiếp trong đ−ờng tròn tâm O; các đ−ờng cao BB’ và CC’. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đ−ờng thẳng B’C’.
ạ Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cùng thuộc một đ−ờng tròn b. Tính B’C’ theo ạ
Lời giải
ạ Do O là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên
∃
Từ đó suy ra các điểm O; B’; C’
Cùng thuộc đ−ờng tròn đ−ờng kính BC.Xét tứ giác nội tiếp CC’OB’ có :
∃
C’OB’ = 1800 - C’CB’ ∃ = 1800 - ( 900 - A ) =135∃ 0.
Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nên:
∃
C’O’B’ = C’OB’ = 135∃ 0 =1800 - A ∃ Hay tứ giác AC’O’B’ nội tiếp.
b. Do A = 45∃ 0 nên ∆BB’A vuông cân tại B’
Vì vậy B’ nằm trên đ−ờng trung trực của đoạn AB hay B’O ⊥ AB C’OB’C là hình thang cân nên B’C’ =OC
Mặt khác ∆BOC vuông cân nên: B’C’ =OC =
22 2 2 2 a BC = III bài tập áp dụng Bài tập 1:
Cho tứ giỏc ABCD nội tiế ủường trũn ủường kớnh AD. Hai ủường chộo AC và BD cắt nhau tại Ẹ Vẽ EF vuụng gúc với AD. Chứng minh:
a/ Tứ giỏc EBEF, tứ giỏc DCEF nội tiếp. b/ CA là phõn giỏc của
BCF
c/ Gọi M là trung ủiểm của DẸ Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp.
Bài tập 2:
Tứ giỏc ABCD nội tiếp ủường trũn ủường kớnh AD. Hai ủường chộo AC, BD cắt nhau tại Ẹ Hỡnh chiếu vuụng gúc của E trờn AD là F. ðường thẳng CF cắt ủường trũn tại ủiểm thứ hai là M. Giao ủiểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a/ CEFD là tứ giỏc nội tiếp
b/ Tia FA là phõn giỏc của gúc BFM c/ BẸDN = EN.BD.
Bài tập 3:
Cho tam giỏc ABC vuụng ở A và một ủiểm D nằm giữa A và B. ðường trũn ủường kớnh BD cắt BC tại Ẹ Cỏc ủường thẳng CD, AE lần lượt cắt ủường trũn tại cỏc ủiểm thứ hai F, G. Chứng minh:
b/ Tứ giỏc ADEC và AFBC nội tiếp ủược một ủường trũn c/ AC song song với FG
d/ Cỏc ủường thẳng AC, DE, BF ủồng quỵ
Bài tập 4:
Cho tam giỏc ABC cú Aˆ 90= 0; AB > AC, và một ủiểm M nằm trờn ủoạn AC ( M khụng trựng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao ủiểm thứ hai của BC và MB với ủường trũn ủường kớnh MC; gọi S là giao ủiểm thứ hai giữa AD với ủường trũn ủường kớnh MC; T là giao ủiểm của MN và AB. Chứng minh:
a/ Bốn ủiểm A, M, N, B cựng thuộc một ủường trũn b/ CM là phõn giỏc của gúc BCS.
c/ TA TC
TD = TB
Bài tập 5:
Cho ủường trũn (O) và ủiểm A nằm ngoài ủường trũn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với ủường trũn ( M, N là cỏc tiếp ủiểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt ủường trũn tại P, Q. Gọi L là trung ủiểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 ủiểm: O, L, M, A, N cựng thuộc một ủường trũn b/ Chứng minh LA là phõn giỏc của gúc MLN
c/ Gọi I là giao ủiểm của MN và LẠ Chứng minh: MA2= AỊ AL d/ Gọi K là giao ủiểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giỏc KLN cõn.
Bài tập 6:
Cho ủường trũn (O;R) tiếp xỳc với ủường thẳng d tại Ạ Trờn d lấy ủiểm H khụng trựng với ủiểm A và AH < R. Qua H kẻ ủường thẳng vuụng gúc với d, ủường thẳng này cắt ủường trũn tại hai ủiểm E và B ( E nằm giữa B và H )
a/ Chứng minh: gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc AHB ủồng dạng với tam giỏc EAH.
b/ Lấy ủiểm C trờn d sao cho H lỏ trung ủiểm của ủoạn AC, ủường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giỏc nội tiếp
c/ Xỏc ủịnh vị trớ của ủiểm H ủể AB = R 3
Bài tập 7:
Từ ủiểm P nằm ngoài ủường trũn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với ủường trũn (O) ( M, N là tiếp ủiểm ). ðường thẳng ủi qua ủiểm P cắt ủường trũn (O) tại hai ủiểm E và F. ðường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung ủiểm của ủoạn EF. Chứng minh:
a/ Tứ giỏc PMON nội tiếp ủường trũn
b/ Cỏc ủiểm P, N, O, H cựng nằm trờn một ủường trũn c/ Tam giỏc PQO cõn
d/ MP2= PẸ PF e/ PHM = ∃ PHN ∃
Bài tập 8:
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp ủường trũn (O). Cỏc ủường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt ủường trũn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
a/ Cỏc tứ giỏc AEHF, BFHD nội tiếp.
b/ Bốn ủiểm B, C, E, F cựng nằm trờn một ủường trũn. c/ AẸ AC = AH. AD và AD. BC = BẸ AC
d/ H và M ủối xứng nhau qua BC
e/ Xỏc ủịnh tõm ủường trũn nội tiếp tam giỏc DEF.
Bài tập 9:
Cho tam giỏc ABC khụng cõn, ủường cao AH, nội tiếp trong ủường trũn tõm Ọ Gọi E, F thứ tự là hỡnh chiếu của B, C lờn ủường kớnh AD của ủường trũn (O) và M, N thứ tự là trung ủiểm của BC, AB. Chứng minh:
a/ Bốn ủiểm A, B, H, E cựng nằm trờn một ủường trũn tõm N và HE // CD. b/ M là tõm ủường trũn ngoại tiếp tam giỏc HEF.
Bài tập 10:
Cho ủường trũn (O) và ủiểm A ở bờn ngoài ủường trũn. Vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE với ủường trũn ( B và C là cỏc tiếp ủiểm ). Gọi H là trung ủiểm của DẸ
b/ Chứng minh: HA là tia phõn giỏc . DHC ∃
c/ Gọi I là giao ủiểm của BC và DẸ Chứng minh: AB2= AỊAH d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11:
Từ một ủiểm S ở ngoài ủường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cỏt tuyến SCD của ủường trũn ủú.
a/ Gọi E là trung ủiểm của dõy CD. Chứng minh 5 ủiểm S, A, E, O, B cựng thuộc một ủường trũn.
b/ Nếu SA = AO thỡ SAOB là hỡnh gỡ? Tại saỏ. c/ CMR: AC.BD = BC.DA = .
2
AB CD
Bài tập 12:
Trờn ủường thẳng d lấy 3 ủiểm A, B, C theo thứ tự ủú. Trờn nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cựng vuụng gúc với d. Trờn tia Ax lấy Ị Tia vuụng gúc với CI tại C cắt By tại K. ðường trũn ủường kớnh IC cắt IK tại P.
a/ Chứng minh tứ giỏc CBPK nội tiếp ủược ủường trũn b/ Chứng minh: AỊ BK = AC. CB
c/ Giả sử A, B, I cố ủịnh hóy xỏc ủịnh vị trớ ủiểm C sao cho diện tớch hỡnh thang vuụng ABKI lớn nhất.
Bài tập 13:
Cho tam giỏc ủều ABC nội tiếp ủường trũn (O). M là ủiểm di ủộng trờn cung nhỏ BC. Trờn ủoạn thẳng MA lấy ủiểm D sao cho MD = MC.
a/ Chứng minh: △DMC ủều b/ Chứng minh: MB + MC = MA
c/ Chứng minh tứ giỏc ADOC nội tiếp ủược.
d/ Khi M di ủộng trờn cung nhỏ BC thỡ D di ủộng trờn ủường cố ủịnh nàỏ.
Bài tập 14:
Cho ủường trũn (O;R), từ một ủiểm A trờn O kẻ tiếp tuyến d với Ọ Trờn ủường thẳng d lấy ủiểm M bất kỳ ( M khỏc A ) kẻ cỏt tuyến MNP và gọi K là trung ủiểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp ủiểm ). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao ủiểm của AC và BD, I là giao ủiểm của OM và AB.
a/ Chứng minh tứ giỏc AMBO nội tiếp
c/ Chứng minh OỊ OM = R2; OỊ IM = IA2
d/ Chứng minh OAHB là hỡnh thoi
e/ chứng minh ba ủiểm O, H, M thẳng hàng
f/ Tỡm quỹ tớch của ủiểm H khi M di chuyển trờn ủường thẳng d.
Bài tập 15:
Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong ủường trũn (O). Tiếp tuyến với ủường trũn (O) tại A và D cắt nhau tại Ẹ Gọi I là giao ủiểm của hai ủường chộo AC và BD.
a/ Chứng minh tứ giỏc AEDI nội tiếp. b/ Chứng minh AB // EI
c/ ðường thẳng EI cắt cạnh bờn AD và BC của hỡnh thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung ủiểm của RS
* 1 1 2
AB = CD = RS
Bài tập 16:
Cho ba ủiểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ủú. Một ủường trũn (O) thay ủổi ủi qua hai ủiểm M, N. Từ P kẻ cỏc tiếp tuyến PT, PQ với ủường trũn (O).
a/ Chứng minh: PT2 = PM. PN. Từ ủú suy ra khi (O) thay ủổi vẫn qua M, N thỡ T, Q thuộc một ủường trũn cố ủịnh.
b/ Gọi giao ủiểm của TQ với PO, PM là I và J. K là trung ủiểm của MN. Chứng minh cỏc tứ giỏc OKTP, OKIJ nội tiếp.
c/ CMR: Khi ủường trũn (O) thay ủổi vẫn ủi qua M, N thỡ TQ luụn ủi qua ủiểm cố ủịnh.
d/ Cho MN = NP = ạ Tỡm vị trớ của tõm O ủể TPQ =60∃ 0
Bài tập 17:
Cho tam giỏc ABC vuụng ở Ạ Trờn AC lấy ủiểm M (M ≠A và C). Vẽ ủường trũn ủường kớnh MC. Gọi T là giao ủiểm thứ hai của cạnh BC với ủường trũn. Nối BM kộo dài cắt ủường trũn tại ủiểm thứ hai là D. ðường thẳng AD cắt ủường trũn (O) tại ủiểm thứ hai S. Chứng minh:
a/ Tứ giỏc ABTM nội tiếp.
b/ Khi M chuyển ủộng trờn AC thỡ ADM cú số ủo khụng ủổi ∃ c/ AB // ST.
Bài tập 18:
Cho ủường trũn (O), ủường kớnh AB cố ủịnh, ủiểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AỌ Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I, gọi C là ủiểm tựy ý thuộc cung lớn MN sao cho C khụng trựng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại Ẹ
a/ Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp. b/ Chứng minh: ∆AME ~ ∆ACM c/ Chứng minh AM2 = AẸ AC d/ chứng minh AẸ AC – AỊ IB = AI2
e/ Hóy xỏc ủịnh vị trớ của C sao cho khoảng cỏch từ N ủến tõm ủường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất.
Bài tập 19:
Cho ủiểm A bờn ngoài ủường trũn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE ủến ủường trũn (O). Gọi H là trung ủiểm của DẸ
a/ Chứng minh năm ủiểm: A, B, H, O, C cựng nằm trờn một ủường trũn. b/ Chứng minh AH là tia phõn giỏc của DHC ∃
c/ DE cắt BC tại Ị Chứng minh: AB2 = AỊ AH d/ Cho AB = R 3 và OH = 2
R
. Tớnh HI theo R.
Bài tập 20:
Cho ủường trũn (O) ủường kớnh AB = 2R. ðường thẳng (d) tiếp xỳc với ủường trũn (O) tại Ạ M và Q là hai ủiểm trờn (d) sao cho M ≠A, M≠Q, Q ≠Ạ Cỏc ủường thẳng BM và BQ lần lượt cắt ủường trũn (O) tại cỏc ủiểm thứ hai là N và P. Chứng minh:
a/ Tớch BN. BM khụng ủổi b/ Tứ giỏc MNPQ nội tiếp
Chuyên đề 6: