II- Các ví dụ
Thầy giáo giỏi 64 Từ bài tập số 7 trang 134 (SGK hỡnh học lớp 9-NXB Giỏo dục 2005), sau khi học
1.2: Ta thử suy nghĩ nếu tam giỏc ABC là tam giỏc cõn thỡ bài toỏn cũn ủỳng khụng? và giả thiết như thế nàỏ từ ủú ta cú bài toỏn sau:
khụng? và giả thiết như thế nàỏ từ ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 1.2: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, O là trung ủiểm BC. Trờn cạnh AB, AC theo thứ tự lấy cỏc ủiểm M, N sao cho gúcBMO = gúcCON.
Chứng minh rằng: a) 4 . 2 BC CN BM = ; b) BN∩MO = { }I , Chứng minh BỊMN = IN.BM;
c) Khi M, N thay ủổi trờn AB, AC thỡ MN luụn tiếp xỳc với một ủường trũn cố ủịnh. A M B C N Vớ O I
Bài toỏn 1.3: Cho tam giỏc ABC cõn ở A, O thuộc cạnh BC ủường trũn tõm O tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC của tam giỏc. Trờn AB, AC theo thứ tự lấy hai ủiểm M, N. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của ủ ường trũn (O) ⇔
4. . 2 BC CN BM =
gúc MON = gúcB; gúcBOM = gúcONC; gúcNOC = gúcBMO; từ ủú suy ra ∆BMO ủồng dạng ∆CON (g.g) 4 . 2 BC CN BM CN BO CO BM = ⇒ = ⇒ (ủpcm). (⇐) Giả sử cú 4 . 2 BC CN
BM = cần phải chứng minh MN là tiếp tuyến của (O).
Cỏch 1: Chứng minh tương tự bài toỏn 1;
Cỏch 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC ở N'. Ta chứng minh N'≡N. Theo phần thuận ta cú 4 ' . 2 BC CN
BM = kết hợp với giả thiết ta suy ra BM.CN' = BM.CN ⇔ CN' = CN. Mà N', N cựng thuộc cạnh AC do ủú N' ≡ N (ủpcm).
Chỳ ý: - Nếu M nằm trong ủoạn AB thỡ N nằm trong ủoạn AC.
- Nếu M nằm ngoài ủoạn AB thỡ N cũng nằm ngoài ủoạn AC.
Bài toỏn 1.4: Cho tam giỏc ABC cõn ở B cú gúcB = 400, O là trung ủiểm cạch AC, K là chõn ủường vuụng gúc kẻ từ O xuống AB, (O) là ủường trũn tõm O bỏn kớnh OK. 1) Chứng minh (O) tiếp xỳc với BC;
2) Giả sử E là một ủiểm thay ủổi trờn cạnh AC sao cho gúc AOE = (200 900)
< <α
α , kẻ tiếp tuyến EF với ủường trũn (O) tiếp sỳc với (O) tại P. a) Tớnh theo αcỏc gúc của tứ giỏc AEFC;
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch ủều AB, AC do ủú O thuộc tia phõn giỏc của gúc Ạ Lại cú ∆ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A ủồng thời là trung tuyến mà O∈BC nờn O là trung ủiểm cạnh BC.
(⇒): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra ủược
P C N A M B O
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch ủều AB, AC do ủú O thuộc tia phõn giỏc của gúc Ạ Lại cú
∆ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A ủồng thời là trung tuyến mà O∈BC nờn O là trung ủiểm cạnh BC.
(⇒): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra ủược
b) ∆AEO ủồng dạng với ∆COF;
c) Tớnh α ủể AE + CF nhỏ nhất. (ðề thi chuyờn toỏn ðHSP H N năm 2005)
Bài toỏn 1.5: Cho ủường trũn (I) tiếp xỳc với hai cạnh của gúc xOy tại A và B. Từ C trờn cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với ủường trũn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Xỏc ủịnh vị trớ của C trờn cung nhỏ AB ủể MN cú ủộ dài nhỏ nhất.
Ta cú MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP.
Do ủú MN nhỏ nhất ⇔ MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài toỏn 1.1) ta cú ủược C là ủiểm chớnh giữa cung nhỏ AB.
Nếu vẫn tiếp tục khai thỏc bài toỏn ban ủầu ta cú thể ủưa ra một số bài toỏn cho học sinh tự làm, coi như bài tập về nhà ủể học sinh tự giải quyết.
Q
A B
Ta hóy ủưa bài toỏn về bài toỏn quen thuộc bằng cỏch qua I kẻ ủường thẳng song song với AB cắt Ox, Oy thứ tự ở P và Q. Ta cú ∆AOB cõn nờn ∆POQ cõn ở O, I∈PQ mà MN là tiếp tuyến của (I). Áp dụng bài toỏn trờn 4 . 2 PQ QN PM = ⇒ .
Lại do ∆AOB,∆POQ cõn chung ủỉnh O
⇒ AP = BQ (khụng ủổi)
C N
O M
P I
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch ủều AB, AC do ủú O thuộc tia phõn giỏc của gúc Ạ Lại cú
∆ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A ủồng thời là trung tuyến mà O∈BC nờn O là trung ủiểm cạnh BC.
(⇒): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra ủược
Giải: Vỡ (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC nờn O cỏch ủều AB, AC do ủú O thuộc tia phõn giỏc của gúc Ạ Lại cú
∆ABC cõn nờn phõn giỏc gúc A ủồng thời là trung tuyến mà O∈BC nờn O là trung ủiểm cạnh BC.
(⇒): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). Nối OM, ON.
Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), NP, NC cũng là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), sử dụng tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra ủược
P C F B E A O HD Giải:
1) Kẻ OH vuụng gúc với BC. do tam giỏc ABC cõn ở B nờn OH = OK do ủú H nằm trờn (O), lại cú OH ⊥BC tại H nờn BC là tiếp tuyến của (O).
2) a) Ta cú Aˆ=Cˆ=700, tương tự bài toỏn trờn ta suy ra gúc AEF = 2(1100-α), gúc CFE = 2α.
b) ∆AEO ủồng dạng với ∆COF (c.g.c) c) Tương tự lời giải bài ý 1.1 ta suy ra E, F là trung ủiểm của BA, BC⇔ α =700
Bài toỏn 1.6: Cho ∆ABC cõn ở Ạ Lấy M, N trờn cạnh AB, AC sao cho 4 . 2 BC CN
BM = . Tỡm vị trớ của M, N sao cho ∆AMN cú diện tớch lớn nhất.
Bài toỏn 1.7: Cho M, M' trờn tia AB và tia ủối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia ủối của tia CẠ Chứng minh rằng:
1) Nếu MB.NC = M'B.N'C =
4
2
BC thỡ tứ giỏc MM'N'N ngoại tiếp ủược một ủường trũn;
2)Phõn giỏc tạo bởi MN và MM' ủi qua một ủiểm cố ủịnh.
Bài toỏn 1.8:
1) Cho ∆ABC. Dựng hai ủiểm P, Q thứ tự trờn AB và AC sao cho AP = AQ và BP.CQ =
4
2
PQ ;
2) Cho hỡnh vuụng ABCD, lấy ủiểm F thuộc CD, G thuộc BC sao cho EG//AF (với E là trung ủiểm của AB). Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của ủường trũn nội tiếp hỡnh vuụng.
Bài toỏn 1.9: Cho tam giỏc ABC cõn ở Ạ ðường trũn cú tõm O là trung ủiểm của BC tiếp xỳc với AB, AC thứ tự ở H và K. Lấy P thuộc ủoạn AB, Q thuộc ủoạn AC sao cho PQ là tiếp tuyến của (O). Tỡm quĩ tớch tõm ể của ủường trũn ngoại tiếp tam giỏc OPQ.
Với cỏch làm tương tự trờn, bằng phương phỏp ủặc biệt hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, tương tự và thao tỏc tư duy thuận ủảo ta cũng hỡnh thành cho học sinh tư duy lụgớc, tư duy sỏng tạo, tớnh ủộc ủỏo trong toỏn học. Chẳng hạn ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2: Cho ủường trũn (O) ủường kớnh CD. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với ủường trũn. Từ một ủiểm E nằm trờn ủường trũn, kẻ tiếp tuyến với ủường trũn ủú cắt Cx tại A và Dy tại B. Chứng minh gúc AOB = 900.
Phõn tớch bài toỏn: J K E B A y x
ðể chứng minh gúc AOB = 900, ta cú thể làm bằng nhiều cỏch khỏc nhaụ Chẳng hạn:
- Ta chứng minh OA, OB là hai tia phõn giỏc của cặp gúc kề bự; - Ta chứng minh gúc AOB = gúc CED, mà gúc CED = 900 nờn gúcAOB = 900.
Do +) ∆AOB ủồng dạng với ∆CED (g.g) nờn gúc AOB = gúc CED, mà gúc CED = 900 vậy gúc AOB = 900.
+) Tứ giỏc OKEJ là hỡnh chữ nhật ( cú ba gúc vuụng) nờn gúc AOB = 900.
Tiếp tục tư duy chỳng ta cũn tỡm ủược thờm một vài cỏch giải khỏc nữạ Sau ủõy ta xột một trong cỏc cỏch giải ủú:
Ta cú gúc ACO = gúcAEO = 900 (tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra gúcACO + gúc AEO = 1800 suy ra tứ giỏc ACOE nội tiếp Do ủú ta cú gúcEAO = gúcECO (hai gúc cựng chắn một cung OE)
Tương tự ta cũng cú gúcEBO = gúcEDO, mà gúcECO + gúcEDO = 900 (vỡ gúcCEO = 900-gúc nội tiếp chắn nửa ủường trũn). Nờn gúcEAO + gúcEBO = 900. Từ ủú suy ra gúcAOB = 900. (ðpcm).
Khai thỏc bài toỏn:
- Nếu ta thay ủổi một vài ủiều kiện của bài toỏn, chẳng hạn vị trớ của ủiểm O thay bằng ủiểm M bất kỡ trờn CD. Khi ủú ủường thẳng vuụng gúc với ME tại E khụng cũn là tiếp tuyến nữa mà trở thành cỏt tuyến với (O). Thế thỡ yờu cầu của bài toỏn chứng minh gúcAMB = 900 cũn ủỳng nữa hay khụng?. ðiều này vẫn cũn ủỳng, từ ủú ta cú bài toỏn khỏc như sau:
Bài toỏn 2.1: Cho ủường trũn (O) ủường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dỵ Một ủiểm E bất kỳ nằm trờn ủường trũn, ủiểm M bất kỳ nằm trờn CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ ủường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
-)Tại sao ta lại ủặt vấn ủề M khỏc C, D, Ọ
- Vỡ nếu M ≡ O thỡ trở lại bài toỏn trờn. - Cũn nếu M ≡ C thỡ ủường thẳng ⊥ME cắt Cx tại A, cắt Dy tại B ≡ D. Khi ủú ta cú gúc AMB = 900.
Nếu M ≡ D thỡ tương tự trờn.
Ta trở lại bài toỏn: Như vậy tương tự bài toỏn trờn ta cũng cú: gúcMAB = gúcECM (do tứ giỏc ACME nội tiếp)
gúcEBM = gúcEDM (do tứ giỏc BDME nội tiếp)
mà gúcECM + gúc EDM = 900 (do gúcCED = 900). Nờn gúcAMB = 900.
-) Ta tiếp tục khai thỏc và mở rộng bài toỏn, chẳng hạn ủiểm M khụng nằm trong ủoạn CD mà nằm trờn ủường thẳng CD và giữ nguyờn cỏc ủiều kiện của bài toỏn 2.1 thỡ saỏ từ ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.2: Cho ủường trũn (O) ủường kớnh CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dỵ Một ủiểm E bất kỳ nằm trờn ủường trũn, ủiểm M bất kỳ nằm trờn ủường thẳng CD (M khụng trựng với C, D, O). Qua E kẻ ủường thẳng vuụng gúc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gúcAMB = 900.
x y E D≡B M≡C A O M O D C E B A y x A y x
- Muốn chứng minh gúc AMB = 900 ta dựa vào cỏch chứng minh bài toỏn trờn. Ta chứng minh gúcMAB + gúcMBA = 900.
Muống chứng minh gúcMAB + gúc MBA = 900 ta chứng minh gúcMAB + gúcMBA = gúcCDE + gúcDCE = 900
ðể chứng minh ủiều này ta cần chứng minh gúcMAB = gúcECD,
gúcMBA = gúcMDẸ Như vậy ta cần phải chứng minh cỏc tứ giỏc AMCE, MEDB nội tiếp.
Từ ủú ta cú lời giải sau:
Chứng minh: Ta cú gúcACM = gúcAEM = 900, do ủú tứ giỏc AMCE nội tiếp
⇒ gúcMAB = gúc ECD (cựng bự gúcMCE)
Tương tự tứ giỏc MEDB nội tiếp ⇒ gúcMAB = gúcMDE (cựng chắn một cung). Mà gúcECD + gúcEDC = 900. Do ủú gúcMBA + gúcMAB = 900.
Suy ra gúcAMB = 900.
Như vậy nhỡn lại bài toỏn trờn ta cú thể ủưa thành bài toỏn tổng quỏt hơn như sau:
Bài toỏn 2.3: (Bài toỏn tổng quỏt)
Cho ủường trũn (O) ủường kớnh CD. Một ủiểm E thuộc ủường trũn (O). M là ủiểm bất kỡ thuộc ủường thẳng CD. Kẻ ủường thẳng vuụng gúc với ME tại E cắt cỏc tiếp tuyến Cx, Dy của ủường trũn tại A và B. Chứng minh gúc AMB = 900.
Vẫn tiếp tục bài toỏn 2 ta khai thỏc theo khớa cạnh khỏc, ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.4: Cho ủường trũn (O; 2
AB), qua A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của ủường trũn. Một ủiểm M thuộc ủường trũn, qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
2) ðường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD luụn tiếp xỳc với một ủường thẳng cố ủịnh khi M thay ủổi trờn ủường trũn.
3) AD cắt BC ở H chứng minh MH // AC.
Phõn tớch bài toỏn:
1) Với phần này rất phự hợp với học sinh trung bỡnh khi học xong bài tớnh chất hai tiếp tuyến cắt nhau, Ta thấy ngay CM = CA; DM = DB
từ ủú suy ra CM + DM = CA + DB mà M nằm giữa C và D nờn CD = CA + DB.
2) Cũng tương tự bài toỏn trờn ta cú ∆COD vuụng ở Ọ Mặt khỏc gọi I là trung
ủiểm của CD thỡ O ∈ 2 ;CD I (1).
Lại cú tứ giỏc ABDC là hỡnh thang, OI là ủường trung bỡnh nờn OI // CA, mà CA ⊥
AB do ủú IO ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của ủường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD. Mà AB là ủường thẳng cố ủịnh nờn ủường trũn ngoại tiếp tam giỏc COD luụn tiếp xỳc với ủường thẳng AB cố ủịnh khi M thay ủổi trờn ủường trũn.
3) Với phần này là một bài toỏn rất hay vỡ nú ủũi hỏi học sinh phải dựng phương phỏp phõn tớch ủi lờn ủể tỡm lời giải của bài toỏn. Hơn nữa ủể tỡm ra lời giải học sinh cũn phải huy ủộng kiến thức về ủịnh lớ Talột ủảọ
K H O B A M D C y x
Giỏo viờn hướng dẫn học sinh tỡm lời giải của bài toỏn bằng sơ ủồ phõn tớch ủi lờn, như sau: MH //AC ⇑ HA DH MC DM = ⇑ HA DH AC DB = (vỡ DM=DB; MC=CA) ⇑ AC // DB (⊥AB)
Từ ủú yờu cầu học sinh lờn bảng căn cứ vào sơ ủồ trỡnh bày lời giải của bài toỏn:
Ta cú AC, BD là hai tiếp tuyến của (O) ủường kớnh AB nờn AC⊥AB, BD⊥AB do ủú AC // BD. Xột ∆ACH cú AC // BD ỏp dụng hệ quả ủịnh lớ Talột, ta cú HA DH AC DB = mà DB = DM; AC = MC nờn ta cú HA DH MC DM
= ỏp dụng ủịnh lớ Talột ủảo trong tam giỏc DAC suy ra MH // AC.
Khai thỏc bài toỏn:
-) Giỏo viờn ủặt vấn ủề cho học sinh suy nghĩ. Gọi giao ủiểm của MH và AB là K, cú nhận xột gỡ về vị trớ của H ủối với MK? Từ ủú ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 2..5: Với giả thiết của bài toỏn trờn. Chứng minh H là trung ủiểm của MK. -) Nếu gọi P là giao ủiểm của BM và Ax. Thỡ ta cũng cú kết quả C là trung ủiểm của AP.
-) Nếu giỏo viờn cho thờm ủiều kiện AC = R 3 (AB = 2R) thỡ chỳng ta lại cú bài toỏn liờn quan ủến tớnh toỏn. Từ ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.6: Cho 2 ;AB
O , từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của ủường trũn. Một ủiểm C trờn tia Ax sao cho AC = R 3. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới ủường trũn cắt By ở D. AD cắt BC ở H.
1) Tớnh số ủo gúcAOM;
2) Chứng minh trực tõm của tam giỏc ACM nằm trờn (O); 3) Tớnh MH theo R.
-) Bõy chỳng ta lại xột bài toỏn khụng tĩnh như trờn nữa, mà cho ủiểm C thay ủổi trờn tia Ax sao cho AC ≥R 3 thỡ khi ủú trực tõm của ∆ACM cũng thay ủổi theọ Từ ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.7: Cho 2 ;AB
O , từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của ủường trũn. Một ủiểm C trờn tia Ax sao cho AC ≥ R 3. Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới ủường trũn cắt By ở D.Gọi H là trực tõm của tam giỏc ACM. Tỡm quĩ tớch ủiểm H.
-) Lại nhỡn bài toỏn dưới gúc ủộ bài toỏn cực trị hỡnh học, ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.8: Cho 2 ;AB
O từ A, B kẻ cỏc tiếp tuyến Ax, By của ủường trũn. Một ủiểm M trờn ủường trũn, từ M kẻ tiếp tuyến của (O) cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Tỡm vị trớ của ủiểm M ủể:
1) CD cú ủộ dài nhỏ nhất;
2) Diện tớch tam giỏc COD nhỏ nhất.