HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi DH là đường cao của tứ diện ABCD và O là trung điểm DH.

a. Tính thể tích tứ diện ABCD.

b. Chứng minh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

2. [Dự bị - Khối D – 2006]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài đáy là a, SH là đường cao và khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) là b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b.

3. Cho hình chóp S.ABCD và có SAx, tất cả các cạnh còn lại bằng a. Chứng minh BD(SAC) và tìm x sao cho thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 2 6 a .

4. [Cao đẳng – Khối A, B, D 2010]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông với đáy, SA = SB, góc giữa SC và đáy bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB)(ABCD) và SAD đều cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và

Trang 47 (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và . Tìm

 để thểtích đó lớn nhất.

6. [Khối B – 2008]. Cho hình chóp SACD có đáy ABCD là hình vuông cạnh là 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính theo a thể tích khổi chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên d lấy điểm S mà

3 2

a

SI  . Tính khoảng cách từC đến mặt phẳng (SAD).

8. [Dự bị - Khối A – 2007]. Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC là các tam giác đều cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Tính d(B, (SAC)).

9. [Khối B – 2004]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy là a, góc giữa cạnh bên và đáy là  (0090 )0 . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo  và thể tích hình chóp S.ABCD theo ,a.

10. [Dự bị - Khối B – 2003]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a, mặt bên tạo với đáy góc  (0090 )0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (SBC).

11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt đáy một gosv 450 và tạo với (SAB) góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có d(A, (SBC)) = 2a. Gọi  là góc giữa mặt bên và đáy. Tìm  để thể tích S.ABCD nhỏ nhất.

13. [Dự bị - Khối A – 2002]. Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và ba góc ởA đều bằng 600. Tính thể tích tứ diện ABCD.

14. [Khối D – 2006]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = 2a, SA(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCMN.

15. Cho tứ diện ABCD có cách cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = BC = CD = a. Gọi C’, D’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của B trên AC, AD . Tính thể tích tứ diện ABC’D’.

16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi B’, D’ tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích S.AB’C’D’.

17. [Dự bị - Khối A – 2006]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy góc 600.

Trên cạnh SA lấy điểm M mà 3 3

a

AM  . Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM

18. [ĐHTS – 2001]. Cho tứ diện SPQR có ba góc phẳng ởđỉnh S vuông và SP = a, SQ = b, SR = c. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh PQ, QR, RP.

a. Chứng minh các mặt của hình chóp S.ABC là các tam giác bằng nhau. b. Tính thể tích tứ diện S.ABC.

19. [Cao đẳng – Khối A, B, D – 2009]. Cho hình chóp tứgiác đều S.ABCD có độ dài các cạnh AB = a, SA = a 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, CD. Chứng mình MNSP và tính thể tích tứ diện AMNP theo a.

Trang 48 20. [Khối A – 2010]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và H là giao điểm của CN với S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM, SC theo a. 21. [Khối B – 2010]. Cho hình lăng trụtam giác đều ABC. A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là 600. Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụđã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC

22. [Dự bị - Khối D – 2007]. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = a 2. Gọi P, Q lần là trung điểm của AA’ và BB’. Chứng minh PQ là đường vuông chung của AA’ và BC’. Tính thể tích hình chóp PA’BC’.

23. [Dự bị - Khối D – 2007]. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh MBB C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, B’C.

24. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC có vuông cân với cạnh huyền AB 2, mặt phẳng (A’AB) vuông góc với đáy, AA' 3, góc

'

A AB nhọn và góc giữa mặt phẳng (A’AC) với đáy bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ.

25. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều,

AB = a, độ dài đoạn vuông góc chung giữa AA’ và BC là 3 4

a

. Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.

26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b. AA’ = c và 3 góc ở A đều bằng 600. Hãy tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

27. [Khối B – 2009]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a. góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và  0

60

BAC . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt

phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

28. [Khối A – 2008]. Cho hình lăng trụABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, ACa 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.

29. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyển AB = 2a. Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với (ABC) lấy điểm S cho (SBC) tạo với (ABC) góc 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếng hình chóp S.ABC.

30. Cho hình chóp tứgiác đều S.ABCD có SA = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

31. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC cùng tạo với (ABC) góc 600, tam giác ABC cân với AB = AC = a 3, BC2a.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

b. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

32. Cho hình chóp S.ABC có ba góc ở S vuông và các cạnh bên SA = a, SB = b, SC = c.

a. Tình tâm I và bán kính R ngoại tiếp hình chóp S.ABC

b. Gọi G là trọng tâm ABC. Chứng minh rằng S, G, I thẳng hàng.

33. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 300. Một mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại A và tiếp xúc với tia BS tại H. Hãy xét vịtrí tương đối giữa các điểm S, B, H và tính diện tích mặt cầu đã cho.

Trang 49 34. Một hình trụ có bán kính đáy là R, chiều cao là a. Gọi A, B là hai điểm

trên hai đường tròn đáy mà AB = 2a. Tính góc và khoảng cách giữa đường thẳng AB với trục hình trụ.

35. [Khối A – 2006]. Cho hình trụcó các đáy hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB.