2.2.1. Cấu trỳc :
- Lệnh sym cho phộp xõy dựng cỏc biến và biểu thức symbolic. Vớ dụ:
>> x = sym(‘x’); y = sym(‘y’) % lệnh này tạo ra x,y là cỏc biến symbolic.
- Tạo cỏc biến thực:
>> x = sym(„x‟, „real‟);y =sym(„y‟,‟real‟) %x,y là biến kiểu thực symbolics hoặc
>> x = sym(„x‟,‟ real‟) % x là biến kiểu thực
>> y = sym(„y‟) %y là biến bất kỳ kiểu symbolic
Để xoỏ đặc tớnh “real” của cỏc biến x, y ta dựng lệnh sau: syms x y unreal hay:
>>x = sym(„x‟, „unreal‟) >> syms t
>> Q = sym(„Q(t)‟); % t biến symbolic và Q là hàm symbolic.
2.2.2 Biến symbolic mặc định
Khi vận dụng cỏc hàm toỏn học, việc chọn biến độc lập thƣờng là rừ ràng từ ngữ cảnh. Vớ dụ, ta xem xột biểu thức toỏn học f = sin(ạt + b) đƣợc biểu diễn trong Matlab nhƣ sau: f =. Nếu ta cần tớnh đạo hàm của biểu thức này mà khụng xỏc định biến độc lập thỡ theo quy ƣớc toỏn học ta nhận đƣợc f‟ = ạcos(ạt + b). Giả thiết rằng biến độc lập trong biểu thức này là t thỡ cỏc biến cũn lại a, b đƣợc xem nhƣ cỏc hằng số hoặc
30
tham số. Theo quy ƣớc toỏn học thỡ biến độc lập thƣờng là cỏc chữ in thƣờng nằm ở cuối bảng chữ cỏi (vớ dụ: x, y, z, t, u, v,…).
>>syms a b t >>f = sin(a*t + b);
>>diff(f) %Lệnh này tớnh đạo hàm của biểu thức symbolic f.
trong cõu lệnh diff(f), ta khụng xỏc định là đạo hàm biểu thức f theo biến nào (a, b hay x). Làm thế nào Matlab xỏc định đƣợc ta muốn đạo hàm theo biến t mà khụng phải là a hoặc b. Trong symbolic math toolbox sử dụng một biến symbolic để xỏc định biến độc lập mặc định trong trƣờng hợp chỳng ta khụng xỏc định biến độc lập, đú
là một hàm tiện ớch findsym. Biến symbolic mặc định đƣợc sử dụng trong cỏc phộp
toỏn tớnh toỏn, đơn giản hoỏ biểu thức, giải phƣơng trỡnh và cỏc phộp biến đổị >>findsym(f,1)
ans = t
ở đõy, đối số thứ hai trong hàm findsym biểu thị số biến symbolic mà ta muốn tỡm trong biểu thức f. Nếu khụng xỏc định đối số thứ hai thỡ findsym sẽ trả về một danh sỏch liệt kờ tất cả cỏc biến trong biểu thức. Vớ dụ:
>> findsym(f) ans =
a, b, t
Luật findsym: Biến độc lập trong một biểu thức symbolic là một chữ cỏi gần chữ x nhất trong bảng chữ cỏị Nếu cú hai chữ gần chữ x thỡ chữ sau x trong bảng chữ cỏi được chọn.
vớ dụ: >>findsym(a+c-v*y,1) ans=
y
2.2.3. Phộp đạo hàm
Để tớnh đạo hàm của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm diff()
+ diff(S): Đạo hàm biểu thức symbolic S với biến tự do đƣợc xỏc định bởi hàm findsym(S)
+ diff(S,v) hay diff(S,sym(„v‟)): Đạo hàm biểu thức symbolic S với biến lấy đạo hàm là biến symbolic v nghĩa là thực hiện phộp toỏn dS/dv
+ diff(S,n) : Đạo hàm cấp n biểu thức S, n là số nguyờn dƣơng Vớ dụ:
31
>>syms x t >> y = sin(x^2); >>z = diff(y);
z = 2*cos(x^2)*x
>>pretty(z) %hiển thị dạng quen thuộc 2.cos2x.x
>>y = diff(t^6,6) % đạo hàm bậc 6 của hàm t6 . y = 720
>>syms u v
>>y = u^2*v - u*v^3;
>> y2u = diff(y,u,2) %dao ham cap 2 theo u
y2u = 2*v
>> y3u = diff(y,v,3) %dao ham cap 3 theo v y3u = -6*u
2.2.4. Phộp tớch phõn
Để tớnh tớch phõn của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm int()
+ int(S) : tớch phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến mặc định xỏc định bởi findsym.
+ int(S, v): Tớch phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến tớch phõn v.
+ int(S,a,b): Tớch phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến tự do và cận lấy tớch phõn từ [a,b].
+ int(S,v,a,b): Tớch phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến tớch phõn v và cận lấy tớch phõn từ [a,b]. Vidụ: >>syms x t z alpha >>int(-2*x/(1+x^2)^2) ans = 1/(1+x^2) >>int(x/(1+z^2),z) ans = x*atan(z) >>int(x*log(1+x),0,1)
32
ans = 1/4
>>int(-2*x/(1+x^2)^2)
ans = 1/(1+x^2)
>> int([exp(t),exp(alpha*t)])
ans = [ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)] Vớdụ: Tớnh tớch phõn I = e (sx)2dx
>>Syms x s real >>f = exp(-(s*x)^2);
>>I = int(f,x,-inf,inf)% inf - Infinity là vụ cựng lớn I =
Signum(s)/s*pi^(1/2)
Hàm signum chớnh là hàm sign (hàm dấu), nghĩa là sign(s) cho ta: sign(s) = 1 khi s>0; sign(s) = 0 khi s =0; sign(s) = -1 khi s<0;
2.2.5. Tỡm giới hạn
Để tỡm giới hạn của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm limit() + limit(F, x, a) : Tỡm giới hạn của biểu thức F khi x ạ
+ limit(F, a) : Tỡm giới hạn của biểu thức F với biến độc lập. + limit(F) : Tỡm giới hạn của biểu thức F khi a = 0.
+ limit(F, x, a, „right‟) hoặc Lim it(F, x, a, „left‟) : Tỡm giới hạn phải hoặc bờn trỏi Vớ dụ: >>syms x a t h >>limit(sin(x)/x) ans = 1 >>limit(1/x,x,0,‟right‟) ans = inf >>limit(1/x,x,0,‟left‟) ans = -inf >>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) ans = cos(x) >>v = [(1+a/x)^x,exp(-x)];
33
>>limit(v,x,inf,‟left‟) ans = [exp(a),0]
2.2.6. Tớnh tổng của dóy số symbolic
Để tớnh tổng của một biểu thức symbolic ta sử dụng hàm symsum()
+ symsum(S): Tổng của biểu thức symbolic theo biến symbolic k , k đƣợc xỏc
định bằng lệnh findsym từ 0 k -1.
+ symsum(S,v): Tổng của biểu thức symbolic S theo biến symbolic v,v đƣợc xỏc định từ 0 k - 1.
+ symsum(S,a,b), symsum(S,v,a,b): Tổng của biểu thức symbolic S theo symbolic v, v đƣợc xỏc định từ v = s đến v = b. Vớ dụ: >>syms k n x >>symsum(k^2) ans = 1/3*k^3-1/2*k^2+1/6*k >>symsum(k) ans = 1/2*k^2-1/2*k >>symsum(sin(k*pi)/k,0,n) ans = -1/2*sin(k*(n+1))/k+1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1))- 1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1) >>symsum(k^2,0,10) ans = 385 >>symsum(x^k/sym(„k!‟), k, 0,inf) ans = exp(x)
Vi dụ: Cho tổng của 2 dóy S1 = 1 + 2 2 3 1 2 1 …. S2 = 1 + x + x2 +….. >>syms x k >>s1 = symsum(1/k^2,1,inf) %inf là vụ cựng. s1 = 1/6*pi^2 >>s2 = symsum(x^k,k,0,inf)
34
s2 = -1/(x-1)
2.2.7. Tỏch tử số và mẫu số của một biểu thức symbolic
[n,d] = numden(A): biến đổi mỗi phần tử của A thành dạng hữu tỷ trong đú tử số và mẫu số là cỏc đa thức (tƣơng đối) nguyờn tố với cỏc hệ số nguyờn
Vớ dụ: >>syms x y a b >>A= (4-x)/5; >>[n,d] = numden(A) n = 4-x d = 5 >>[n,d] = numden(x/y + y/x) n = x^2+y^2 d = y*x >>A = [a, 1/b] >>[n,d] = numden(A) n = [a, 1] d = [1, b] 2.2.8 Thay thế
Ta cú thể thay thế cỏc biến trong biểu thức bằng cỏc biến hay cỏc số thuộc kiểu khỏc bởi lệnh subs hoặc lệnh subexpr.
Lệnh subs cú cỏc dạng sau:
+ subs(S): Thay thế tất cả cỏc biến symbolic trong biểu thức bằng cỏc giỏ trị cú đƣợc từ việc gọi hàm hoặc từ Workspace của Matlab.
+ subs(S, new): Thay thế biến symbolic tự do trong S bằng new.
+ subs(S, old, new): Thay thế old bằng new trong biểu thức S. Old là một biến symbolic, một sõu đại diện cho một tờn biến, hoặc một biểu thức sõu ký tự. New cú thể là một biến, một biểu thức symbolic, biến số hoặc biểu thức số.
Vớ dụ:
>>subs(a+b,a,4) ans = 4+b
35
giả thiết trong Workspace tồn tại a = 980 và C = 3, cõu lệnh y=dsolve(„Dy = - a*y‟) trả về y = exp(-a*t)*C, khi đú cõu lệnh:
>>subs(y)
ans = 3*exp(-980*t)
Ta cú thể thay thế nhiều biến một lỳc bằng cỏch sử dụng cỳ phỏp sau: + subs(S, {old1, old2, …,oldn}, {new1, new2,…, newn})
vớ dụ: >> subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('x'),2}) ans = cos(x)+sin(2)
Hàm (S) viết lại biểu thức S theo cỏc biểu thức con chung:
[Y,SIGMA] = subexpr(X,SIGMA) hoặc [Y,SIGMA] =
subexpr(X,'SIGMÁ) viết lại biểu thức X theo biểu thức con chung của nú.
2.2.9 Biểu diễn biểu thức symbolic dƣới dạng toỏn học
Sử dụng hàm pretty(S) để hiển thị S dƣới dạng dễ đọc hơn nhƣ trong quy ƣớc toỏn học thụng thƣờng. Vớ dụ: >>s=2*cos(x)^2-sin(x)^2 s = 2*cos(x)^2-sin(x)^2 >>pretty(s) 2 2 2 cos(x) - sin(x) >>syms x a >>s=solve(x^3+a*x+1); >>pretty(s)
36
2.2.10. Giải phƣơng trỡnh đại số
Sử dụng lệnh solve để giải hệ phƣơng trỡnh đại số. Giả sử S là một biểu thức symbolic. Lệnh solve(S) sẽ cú gắng tỡm cỏc giỏ trị của biến symbolic trong S (đƣợc xỏc định bởi findsym(S)) làm cho S bằng khụng. Lệnh solve( ) cú cỏc cỳ phỏp nhƣ sau:
+ solve(„PT1‟, „PT2‟, …, „PTn‟)
+ solve(„PT1‟, „PT2‟, …, „PTn‟, „v1, v2,…, vn‟)
+ solve(„PT1‟, „PT2‟, …, „PTn‟, „v1‟, „v2‟,…, „vn‟) trong đú PT là phƣơng trỡnh, v1, v2,…,vn là cỏc biến hay ẩn. Cỏc biến symbolic khụng đƣợc liệt kờ trong danh sỏch đối số đƣợc coi là cỏc tham số.
2.2.11. Phƣơng trỡnh vi phõn
Hàm dsolve tớnh toỏn lời giải symbolic cho cỏc phƣơng trỡnh vi phõn thƣờng. Cỏc phƣơng trỡnh đƣợc xỏc định bởi biểu thức symbolic chứa chữ D để biểu diễn ký hiệu vi phõn d/dt. Cỏc ký hiệu D2, D3,…, Dn tƣơng ứng với đạo hàm bậc 2, 3,…, n.
Vỡ võy, D2y tƣơng đƣơng với d2
y/dt2. Trong lời giải dsolve thỡ biến độc lập mặc định là t. Lƣu ý rằng tờn của biến symbolic khụng đƣợc chứa ký tự D.
Điều kiện đầu cú thể đƣợc xỏc định bằng cỏch bổ xung thờm cỏc phƣơng trỡnh. Nếu điều kiện đầu khụng đƣợc xỏc định thỡ lời giải sẽ chứa cỏc hằng số tớch phõn C1, C2,...
Cỳ phỏp của lệnh dsolve: dsolve(„PT1‟, „PT2‟,…, „PTn‟) Vớ dụ:
37
>>y = dsolve('(D2y) =1','y(0) = 1') y = 1/2*t^2+C1*t+1
>>[x,y] = dsolve('Dx = ý, 'Dy = -x') x= cos(t)*C1+sin(t)*C2 y = -sin(t)*C1+cos(t)*C2
2.2.12 Biến đổi laplace và laplace ngƣợc
Phộp biến đổi laplace của hàm f(t) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
dt e t f
L[f](s) ( ) ts và phộp biến đổi laplace ngƣợc là:
i c st 1 - ds e s f j 2 1 [f](t) L ( )
+ L = laplace(F): Biến đổi Laplace của hàm F với biến độc lập mặc định là t. Kết quả trả về là một hàm của s. Nếu F = F(s) thỡ Laplace trả về một hàm của t: L = L(t). Theo định nghĩa, L(s) = int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) và phộp tớch phõn đƣợc thực hiện với t
+ L = laplace(F,t): L là một hàmcủa t thay thế biến mặc định s
TểM TẮT NỘI DUNG CỐT LếI
- Áp dụng matlab trong tớnh toỏn mạch điện, giải mạch điện nhanh chúng tiện lợi- ỏp dụng giải phƣơng trỡnhvà hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh.
- Giải cỏc phƣơng trỡnh phi tuyến và PT tham số. - Giải hệ PT vi phõn. BÀI TẬP ỨNG DỤNG, LIấN HỆ THỰC TẾ 1. Bài tập ứng dụng, liờn hệ thực tế 1. Cho hàm số : d x x b ae y ) (sin
ạ Hóy nhập hàm y vào trong một file Matlab từ cửa sổ soạn thảọ
b. Hiện thị hàm y sau khi đó nhập cỏc hệ số. 2. Bài tập ứng dụng, liờn hệ thực tế 2. Dựng Matlab để tớnh cỏc phộp toỏn sau:
a) 1 0 dx a I x b) x b a I x x lim khi x 0.
38
c ) Giải hệ phƣơng trỡnh sau :
HƢỚNG DẪN TỰ Ở NHÀ Xem trƣớc phần Ma trận 0 3 4 3 2 2 2 x x y xy x
39
CHƢƠNG 3:MA TRẬN VÀ MẢNG TRONG MATLAB
MỤC TIấU CỦA CHƢƠNG
- Hiểu rừ khỏi niệm về ma trận và mảng trong Matlab - Vận dụng đƣợc cỏc lệnh vào việc giải cỏc bài toỏn
- Về thỏi độ: Học sinh, Sinh : nắm đƣợc cỏc cõu lờnh và vận dụng giải cỏc bài toỏn
NỘI DUNG BÀI GIẢNG Lí THUYẾT 3.1 Nhập ma trận trong Matlab
3.1.1 Cỏc Cỏch nhập matrận trong Matlab
Matlab cung cấp một vài phƣơng tiện cho ngƣời sử dụng để tạo ra một matrận, mỗi phƣơng tiện cú những ƣu điểm của nú và đƣợc sử dụng tuỳ theo từng yờu cầu bài toỏn.Núi chung Matlab cung cấp ba phƣơng tiện.
Nhập Matrận trực tiếp từ cửa sổ command Window. Nhập Matrận từ một file( sử dụng M-file hoặc load) Nhập matrận từ những hàm cú sẵn trong Matlab.
ạ Nhập Matrận trực tiếp từ cửa sổ command Window
Trong mụn học toỏn cao cấp chỳng ta đó biết nhập một matrận nhƣ sau A=
Đõy là một ma trận cú số hàng m = 3 và số cột n= 3
Để nhập matrận trờn trong Matlab ta nhập trực tiếp nhƣ sau Từ dũng nhắc lệnh trong cửa sổ command Window >> ta nhập >> A=[ 1,2,3 ; 4 5 ,6;7 8 9]; hoặc >>A=[ 1 2 3
4 5 6 7 8 9];
Cỏc hàng đƣợc cỏch nhau bằng một dấu chấm phẩy (;) nhƣ trờn,cỏc phần tử trong một hàng đƣợc cỏch nhau bằng dấu cỏch(thanh space) hoặc dấu phẩy(,) . Kết thỳc dũng lệnh cú hoặc khụng cú dấu ;
Nếu khụng cú dấu chấm phẩy ở cuối dũng thỡ Matlab sẽ in ra kết quả matrận vừa nhập
Nhƣ vớ dụ trờn:
>> A=[ 1,2,3 ; 4 5 ,6;7 8 9] nhấn Enter sẽ cho kết quả là A= 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9
40
Trong trƣờng hợp số phần tử trờn một hàng quỏ dài ta cú thể xuống dũng bằng dấu ba chấm ...
Vớ dụ >> b=[1,2,3,4,...
5 6 7 8 9] % đõy matrận 9 hàng và một cột
Lƣu ý rằng trong một số trƣờng hợp matrận hoặc mảng dữ liệu dài thỡ việc khụng thờm dấu chấm phẩy sau cõu lệnh nhập, Matlab sẽ in ra số liệu dài trong cửa sổ command Window, gõy khú nhỡn cho ngƣời dựng
b. Nhập Matrận từ M-file
Ta cú thể nhập một matrận bằng cửa sổ soạn thảo M-file, mở cửa sổ này bằng cỏch vào File- New- M-filẹ Một cửa sổ soạn thảo sẽ đƣợc hiện ra cho phộp bạn soạn thảo dƣới dạng text, do là cửa sổ soạn thảo dạng text cho nờn bạn cú thể soạn thảo từ file word sau đú copy vào cửa sổ M-filẹĐể nhập matrận ta soạn thảo tƣơng tự nhƣ trong cửa sổ command window sau đú lƣu vào file nhƣ sau:
Vớ dụ:
A=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7, 8,9];% khụng cú dấu chấm phẩy sẽ in ra kết quả
Cũng tƣơng tự nhƣ trờn nếu số phần tử trờn một hàng quỏ nhiều thỡ ta cú thể xuống dũng
A=[1 2 3 4 ... 5 6 7 8 9 10];
Sau khi kết thỳc soạn thảo ta lƣu vào tờn_file .
Để thực thi cỏc lệnh nhập trong M-file ta dựng lệnh sau trong command window nhƣ sau: >> ten_file ;
c. Nhập matrận từ cỏc hàm cú sẵn
Matlab cú một thƣ viện cỏc hàm cho phộp tạo ma trận.Sau đõy là một số hàm
ones(m,n) tạo ma trận m hàng và n cột ,với cỏc phần tử đều bằng 1, ones(m) tạo ma trận vuụng cấp m, với cỏc phần tử đều là 1.
zeros(m,n) tạo ma trận kớch thƣớc m x n, với cỏc phần tử đều bằng 0, zeros(m) tạo ma trận vuụng cấp m.
eyes(m,n) tạo ma trận kớch thƣớc m xn với cỏc phần tử đều bằng 1, eyes(m) tạo ma trận vuụng cấp m . vớ dụ: ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 eyes(2,3)
41 ans= 1 0 0 0 1 0 zeros(2,3) ans= 0 0 0 0 0 0 3.2 Ma trận số phức
Số phức trong matlab đƣợc viết nhƣ sau: Vớ dụ số phức 3+4*i dựng i để chỉ số ảo >> a=3+ 4*i
a=
3+ 4*i
Nếu muốn ii để chỉ số ảo Ta định nghĩa ii= sqrt(-1) Sau đú bạn viết:
>> a=3+ 4*ii a=
3+ 4*i
>>A=[ 1+2*i , 3+4*i ; 5+6*i, 4+5*i ] A=[ 1+2*i 3+ 4*i
5+6*i 4+5*i ]
3.3 Tạo vec tơ
Khi ta cần khảo sỏt đặc tớnh của đồ thị nào đú trong một khoảng xỏc định, khoảng xỏc định này đƣợc biểu diễn dƣới dạng vectơ
Vớ dụ khảo sỏt đặc tớnh đồ thị trong khoảng x=1 đờn 100 >> x= 1:100; % x lấy giỏ trị từ 1 đờn100, bƣớc tăng của x là 1 >>t=0: 0.1 : 10;% bƣớc nhảy là của t là 0.1
Cụng thức chung tạo vec tơ là X=Xmin : bƣớc_tăng: Xmax
3.4 Truy nhập cỏc phần tử của ma trận
Đờ truy nhập cỏc phần tử của ma trận ta làm nhƣ sau: Giả sử ma trận A= Thỡ >> Ăi,j) ; sẽ truy nhập đến phần tử hàng thứ i và cột thứ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42
Vớ dụ để truy nhập đến phần tử thứ nhất ta : >> Ă1,1)
ans= 1
Đặc biệt để gọi toàn bộ số hàng hoặc toàn bộ số cột dựng toỏn tử (:) >> Ă:,1) % gọi toàn bộ số hàng tƣơng ứng với cột 1
ans= 1 4 7
>>Ă1,:) % gọi toàn bộ số cột tƣơng ứng hàng 1 ans=
2 3
>> Ă1:2,1) % gọi hàng 1 đến hàng 2 tƣơng ứng với cột thứ nhất ans=
1 4
>>Ă1:2,:) % gọi hàng 1 đến hàng 2 tƣơng ứng với tất cả cỏc cột ans=
1 2 3 4 5 6
3.5 Phộp tớnh ma trận và mảng ạ Phộp tớnh ma trận ạ Phộp tớnh ma trận
Phộp tớnh cộng , phộp tớnh trừ :Điều kiện hai ma trận A và B phải cú cựng kớch thƣớc hoặc một trong hai là số vụ hƣớng
vớ dụ: >>a=[1 2 3 ;4 5 6; 7 8 9]; >>b=[2 3 4; 5 6 7; 8 9 10]; >>a+b; ans= 5 7 9 11 13 15 17 19 Nhõn hai ma trận
43
A*B lƣu ý rằng số cột của ma trận A phải bằng số cột của ma trận B, ngoại trừ một trong hai là số vụ hƣớng
Chia trỏi ma trận (\)
X=A\B tƣơng đƣơng với việc giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh A*X=B, gần tƣơng đƣơng với X=inv(A)*B
Chia phải ma trận(/)
X=B/A tƣơng đƣơng với việc giải phƣơng trỡnh tuyến tớnh X*A=B gần tƣơng đƣơng với X= B*inv(A)
b. Phộp tớnh dẫy
Cho hai mảng sau: >>x=[1 2 3]; >>y=[2 3 4];
Phộp tớnh cộng , trừ giống nhƣ phộp tớnh đối với ma trận >>x+y ans= 5 7 Phộp tớnh nhõn(.*) >>x.*y ans= 2 6 12 Phộp tớnh chiặ/ hoặc .\) >> x./y ans= 0.5 0.66 0.75 >>x .\y ans= 2 1.5 0.75
3.6 Giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh
3.6.1 Hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh :
Xột hệ phƣơng trỡnh sau:
a11*x1 + a12*x2+ . . . +a1n*xn=b1 a21*x2 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 .
.
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm
44
3.6.2 Hệ Phƣơng trỡnh tuyến tớnh khụng đồng nhất
Phƣơng trỡnh nhƣ sau gọi là phƣơng trỡnh tuyến tớnh KĐN a1*x1 + a2*x2 + . . . + an*xn = b
b đứng độc lập (nú khụng nhõn với biến nào cả) Xột hệ thống sau: