Phộp biến đổi laplace của hàm f(t) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
dt e t f
L[f](s) ( ) ts và phộp biến đổi laplace ngƣợc là:
i c st 1 - ds e s f j 2 1 [f](t) L ( )
+ L = laplace(F): Biến đổi Laplace của hàm F với biến độc lập mặc định là t. Kết quả trả về là một hàm của s. Nếu F = F(s) thỡ Laplace trả về một hàm của t: L = L(t). Theo định nghĩa, L(s) = int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) và phộp tớch phõn đƣợc thực hiện với t
+ L = laplace(F,t): L là một hàmcủa t thay thế biến mặc định s
TểM TẮT NỘI DUNG CỐT LếI
- Áp dụng matlab trong tớnh toỏn mạch điện, giải mạch điện nhanh chúng tiện lợi- ỏp dụng giải phƣơng trỡnhvà hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh.
- Giải cỏc phƣơng trỡnh phi tuyến và PT tham số. - Giải hệ PT vi phõn. BÀI TẬP ỨNG DỤNG, LIấN HỆ THỰC TẾ 1. Bài tập ứng dụng, liờn hệ thực tế 1. Cho hàm số : d x x b ae y ) (sin
ạ Hóy nhập hàm y vào trong một file Matlab từ cửa sổ soạn thảọ
b. Hiện thị hàm y sau khi đó nhập cỏc hệ số. 2. Bài tập ứng dụng, liờn hệ thực tế 2. Dựng Matlab để tớnh cỏc phộp toỏn sau:
a) 1 0 dx a I x b) x b a I x x lim khi x 0.
38
c ) Giải hệ phƣơng trỡnh sau :
HƢỚNG DẪN TỰ Ở NHÀ Xem trƣớc phần Ma trận 0 3 4 3 2 2 2 x x y xy x
39
CHƢƠNG 3:MA TRẬN VÀ MẢNG TRONG MATLAB
MỤC TIấU CỦA CHƢƠNG
- Hiểu rừ khỏi niệm về ma trận và mảng trong Matlab - Vận dụng đƣợc cỏc lệnh vào việc giải cỏc bài toỏn
- Về thỏi độ: Học sinh, Sinh : nắm đƣợc cỏc cõu lờnh và vận dụng giải cỏc bài toỏn
NỘI DUNG BÀI GIẢNG Lí THUYẾT 3.1 Nhập ma trận trong Matlab
3.1.1 Cỏc Cỏch nhập matrận trong Matlab
Matlab cung cấp một vài phƣơng tiện cho ngƣời sử dụng để tạo ra một matrận, mỗi phƣơng tiện cú những ƣu điểm của nú và đƣợc sử dụng tuỳ theo từng yờu cầu bài toỏn.Núi chung Matlab cung cấp ba phƣơng tiện.
Nhập Matrận trực tiếp từ cửa sổ command Window. Nhập Matrận từ một file( sử dụng M-file hoặc load) Nhập matrận từ những hàm cú sẵn trong Matlab.
ạ Nhập Matrận trực tiếp từ cửa sổ command Window
Trong mụn học toỏn cao cấp chỳng ta đó biết nhập một matrận nhƣ sau A=
Đõy là một ma trận cú số hàng m = 3 và số cột n= 3
Để nhập matrận trờn trong Matlab ta nhập trực tiếp nhƣ sau Từ dũng nhắc lệnh trong cửa sổ command Window >> ta nhập >> A=[ 1,2,3 ; 4 5 ,6;7 8 9]; hoặc >>A=[ 1 2 3
4 5 6 7 8 9];
Cỏc hàng đƣợc cỏch nhau bằng một dấu chấm phẩy (;) nhƣ trờn,cỏc phần tử trong một hàng đƣợc cỏch nhau bằng dấu cỏch(thanh space) hoặc dấu phẩy(,) . Kết thỳc dũng lệnh cú hoặc khụng cú dấu ;
Nếu khụng cú dấu chấm phẩy ở cuối dũng thỡ Matlab sẽ in ra kết quả matrận vừa nhập
Nhƣ vớ dụ trờn:
>> A=[ 1,2,3 ; 4 5 ,6;7 8 9] nhấn Enter sẽ cho kết quả là A= 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9
40
Trong trƣờng hợp số phần tử trờn một hàng quỏ dài ta cú thể xuống dũng bằng dấu ba chấm ...
Vớ dụ >> b=[1,2,3,4,...
5 6 7 8 9] % đõy matrận 9 hàng và một cột
Lƣu ý rằng trong một số trƣờng hợp matrận hoặc mảng dữ liệu dài thỡ việc khụng thờm dấu chấm phẩy sau cõu lệnh nhập, Matlab sẽ in ra số liệu dài trong cửa sổ command Window, gõy khú nhỡn cho ngƣời dựng
b. Nhập Matrận từ M-file
Ta cú thể nhập một matrận bằng cửa sổ soạn thảo M-file, mở cửa sổ này bằng cỏch vào File- New- M-filẹ Một cửa sổ soạn thảo sẽ đƣợc hiện ra cho phộp bạn soạn thảo dƣới dạng text, do là cửa sổ soạn thảo dạng text cho nờn bạn cú thể soạn thảo từ file word sau đú copy vào cửa sổ M-filẹĐể nhập matrận ta soạn thảo tƣơng tự nhƣ trong cửa sổ command window sau đú lƣu vào file nhƣ sau:
Vớ dụ:
A=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7, 8,9];% khụng cú dấu chấm phẩy sẽ in ra kết quả
Cũng tƣơng tự nhƣ trờn nếu số phần tử trờn một hàng quỏ nhiều thỡ ta cú thể xuống dũng
A=[1 2 3 4 ... 5 6 7 8 9 10];
Sau khi kết thỳc soạn thảo ta lƣu vào tờn_file .
Để thực thi cỏc lệnh nhập trong M-file ta dựng lệnh sau trong command window nhƣ sau: >> ten_file ;
c. Nhập matrận từ cỏc hàm cú sẵn
Matlab cú một thƣ viện cỏc hàm cho phộp tạo ma trận.Sau đõy là một số hàm
ones(m,n) tạo ma trận m hàng và n cột ,với cỏc phần tử đều bằng 1, ones(m) tạo ma trận vuụng cấp m, với cỏc phần tử đều là 1.
zeros(m,n) tạo ma trận kớch thƣớc m x n, với cỏc phần tử đều bằng 0, zeros(m) tạo ma trận vuụng cấp m.
eyes(m,n) tạo ma trận kớch thƣớc m xn với cỏc phần tử đều bằng 1, eyes(m) tạo ma trận vuụng cấp m . vớ dụ: ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 eyes(2,3)
41 ans= 1 0 0 0 1 0 zeros(2,3) ans= 0 0 0 0 0 0 3.2 Ma trận số phức
Số phức trong matlab đƣợc viết nhƣ sau: Vớ dụ số phức 3+4*i dựng i để chỉ số ảo >> a=3+ 4*i
a=
3+ 4*i
Nếu muốn ii để chỉ số ảo Ta định nghĩa ii= sqrt(-1) Sau đú bạn viết:
>> a=3+ 4*ii a=
3+ 4*i
>>A=[ 1+2*i , 3+4*i ; 5+6*i, 4+5*i ] A=[ 1+2*i 3+ 4*i
5+6*i 4+5*i ]
3.3 Tạo vec tơ
Khi ta cần khảo sỏt đặc tớnh của đồ thị nào đú trong một khoảng xỏc định, khoảng xỏc định này đƣợc biểu diễn dƣới dạng vectơ
Vớ dụ khảo sỏt đặc tớnh đồ thị trong khoảng x=1 đờn 100 >> x= 1:100; % x lấy giỏ trị từ 1 đờn100, bƣớc tăng của x là 1 >>t=0: 0.1 : 10;% bƣớc nhảy là của t là 0.1
Cụng thức chung tạo vec tơ là X=Xmin : bƣớc_tăng: Xmax
3.4 Truy nhập cỏc phần tử của ma trận
Đờ truy nhập cỏc phần tử của ma trận ta làm nhƣ sau: Giả sử ma trận A= Thỡ >> Ăi,j) ; sẽ truy nhập đến phần tử hàng thứ i và cột thứ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42
Vớ dụ để truy nhập đến phần tử thứ nhất ta : >> Ă1,1)
ans= 1
Đặc biệt để gọi toàn bộ số hàng hoặc toàn bộ số cột dựng toỏn tử (:) >> Ă:,1) % gọi toàn bộ số hàng tƣơng ứng với cột 1
ans= 1 4 7
>>Ă1,:) % gọi toàn bộ số cột tƣơng ứng hàng 1 ans=
2 3
>> Ă1:2,1) % gọi hàng 1 đến hàng 2 tƣơng ứng với cột thứ nhất ans=
1 4
>>Ă1:2,:) % gọi hàng 1 đến hàng 2 tƣơng ứng với tất cả cỏc cột ans=
1 2 3 4 5 6
3.5 Phộp tớnh ma trận và mảng ạ Phộp tớnh ma trận ạ Phộp tớnh ma trận
Phộp tớnh cộng , phộp tớnh trừ :Điều kiện hai ma trận A và B phải cú cựng kớch thƣớc hoặc một trong hai là số vụ hƣớng
vớ dụ: >>a=[1 2 3 ;4 5 6; 7 8 9]; >>b=[2 3 4; 5 6 7; 8 9 10]; >>a+b; ans= 5 7 9 11 13 15 17 19 Nhõn hai ma trận
43
A*B lƣu ý rằng số cột của ma trận A phải bằng số cột của ma trận B, ngoại trừ một trong hai là số vụ hƣớng
Chia trỏi ma trận (\)
X=A\B tƣơng đƣơng với việc giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh A*X=B, gần tƣơng đƣơng với X=inv(A)*B
Chia phải ma trận(/)
X=B/A tƣơng đƣơng với việc giải phƣơng trỡnh tuyến tớnh X*A=B gần tƣơng đƣơng với X= B*inv(A)
b. Phộp tớnh dẫy
Cho hai mảng sau: >>x=[1 2 3]; >>y=[2 3 4];
Phộp tớnh cộng , trừ giống nhƣ phộp tớnh đối với ma trận >>x+y ans= 5 7 Phộp tớnh nhõn(.*) >>x.*y ans= 2 6 12 Phộp tớnh chiặ/ hoặc .\) >> x./y ans= 0.5 0.66 0.75 >>x .\y ans= 2 1.5 0.75
3.6 Giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh
3.6.1 Hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh :
Xột hệ phƣơng trỡnh sau:
a11*x1 + a12*x2+ . . . +a1n*xn=b1 a21*x2 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 .
.
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm
44
3.6.2 Hệ Phƣơng trỡnh tuyến tớnh khụng đồng nhất
Phƣơng trỡnh nhƣ sau gọi là phƣơng trỡnh tuyến tớnh KĐN a1*x1 + a2*x2 + . . . + an*xn = b
b đứng độc lập (nú khụng nhõn với biến nào cả) Xột hệ thống sau:
a11*x1 + a12*x2+ . . . +a1n*xn=b1 a21*x2 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 .
.
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm
Viết theo ma trận A= [a11 a12...a1n; a21 a22...a2n,....am1 am2...amn] X=[x1 x2.... xn]; B=[b1 b2 ... bn];
Trong đú A đƣợc gọi là ma trận hệ số, X là vector kết quả 3.6.2.1 Giải hệ phƣơng trỡnh bằng hàm nghịch đảo inv
Nếu m=n thỡ A là ma trận vuụng, và nếu det(A) là khỏc 0 thỡ tồn tại A-1
và vector kết quả X đƣợc cho bởi :
A-1*A*X=X=A-1*B Vớ dụ Giải hệ sau: 2*x1 - x2 = 2 x1 + x2 = 5 Matlab command >> A=[ 2 -1 ; 1 1 ]; >> B=[ 2 ; 5]; >> X= inv(A)*B >> X= 2.3333 2.667 >> X= rats(X) X= 7/3 8/3
Tuy nhiờn chỳng ta khụng thể ỏp dụng phƣơng phỏp trờn cho 2*x1 - x2 = 2
2*x1 - x2 = 0 Ma trận hệ số A=[ 2 -1 ; 2 -1];
45
3.6.3 Hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh đồng nhất
Biểu diễn dƣới dạng ma trận nhƣ sau A*x=0
Nếu det(A)#0 hệ cú nghiệm duy nhất là X=0 Vớ dụ xột hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh sau
2*x1 - x2=0 x1+ x2=0
ở đõy det(A)= 3 cho nghiệm x1=0 , x2=0
Đối với hệ phƣơng trỡnh thuần nhất cú det(A)=0 thỡ hệ này cú vụ số nghiệm Vớ dụ Xột hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh sau
-6* x1 + 3*x2 = 0 2* x1 - x2 = 0
Ma trận hệ số A= [ -6 3 ; 2 -1] , det(A)= 0 biểu diễn trờn đồ thị thấy rằng hai đƣờng này trựng nhau do vậy hệ trờn cú vụ số nghiệm
Trƣờng hợp số biến n< số phƣơng trỡnh m Vớ dụ nhƣ sau: 3*x1 + 4*x2 - 2*x3= 0 -2*x1 + 3*x2 - 4*x3= 0 5*x1 + x2 + 2*x3= 0 -9*x1 + 5*x2 - 10*x3= 0 Ma trận hệ số là ma trận 4 x 3 ,định thức lớn nhất cú thể đƣợc xõy dựng từ ma trận A là định thức ma trận 3 x 3, nhƣng định thức của ma trận kớch thƣớc 3 by 3 =0 ( A1=[ 3 4 - 2; -2 3 - 4 ; 5 1 2]=> det(A1)=0 ) Do đú ta xỏc định tiếp ma trận 2 x 2 Vớ dụ nhƣ sau
A2=[ 3 4; -2 3] và det(A) # 0 ta núi rằng hạng của ma trận Ăma trận hệ số) là bằng 2 đồng nghĩa với việc ta chỉ giải hai phƣơng trỡnh bất kỳ trong số tất cả cỏc phƣơng trỡnh trờn, và số biến chỳng ta gỏn giỏ trị tuỳ ý là = n- r ( trong đú n là số biến cũn r là hạng của ma trận A)
Giải hai phƣơng trỡnh :
3*x1 + 4*x2 - 2*x3= 0 -2*x1 + 3*x2 - 4*x3= 0
Kết quả : x1= (-10/17)*x3 và x2=(16/17)*x3 , với x3 lấy giỏ trị tuỳ ý
3.6.4 Giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh bằng Matlab(Dựng toỏn tử \)
2*x1 - x2 = 2 x1 + x2 = 5
46
>> A=[ 2 -1 ; 1 1]; >> B=[2 ; 5]; >>X=A\B
Phƣơng phỏp giải này gọi là phƣơng phỏp Gaussian elimination
Toỏn tử (\) thụng thường cung cấp một kết quả trong Matlab , trong một số trƣờng hợp nú là phƣơng phỏp giải riờng
3.7 Điều kiện cú nghiệm
Theo Kronecker-Capelli thỡ
Một hệ phƣơng trỡnh cú một lời giải khi và chỉ khi ma trận hệ số A và ma trận [A B] cú cựng hạng.
Giả sử hạng của hai ma trận đều là r thỡ xảy ra cỏc trƣờng hợp sau đõy r=n Hệ phƣơng trỡnh cú nghiệm duy nhất,
r< n Hệ phƣơng trỡnh cú vụ số nghiệm, chỳng ta cú thể giải cho r biến nhƣ là hàm của n-r biến khỏc ,cỏc biến khỏc này cú thể lấy giỏ trị tuỳ ý
Vớ dụ trờn
rank(a)= rank([a b]) = n cho nờn hệ nghiệm duy nhất >> rank(A), rank([A B]) ans= 2 ans= 2 Chỳng ta xem xột vớ dụ sau: 2* x1 + 3* x2 + 4*x3 = 4 x1 + x2 + x3 = 5 >> A=[ 2 3 4 ; 1 1 1]; >>B=[ 4 ; 5]; >>rank(A), rank([A B]) ans= 2 ans= 2 >> X= A\B X= 8 0 3
47
Hạng của hai ma trận A và [A B] bằng nhau và bằng 2 cho nờn hệ cú một lời giải , nhƣng do rank(A) < n cho nờn ta chỉ giải cho hai biến nhƣ là hàm của biến cũn lạị Kết quả Matlab cho trờn chỉ là một trƣờng hợp riờng (n-r biến đƣợc gỏn =0)
Xột hệ sau
x1 + 2 *x2 + 3 *x3 = 12 3* x1 + 2 *x2 + x3 = 15 3*x1 + 4 *x2 + 7 *x3 = 13 10*x1 + 9 *x2 + 8 *x3 = 17 Tớnh toỏn bằng Matlab nhƣ sau
>> A=[1 2 3 ; 3 2 1 ; 3 4 7; 10 9 8]; >>B= [12 ; 15; 13 ; 17 ]; >>rank(A), rank([A B]) ans= 3 ans= 4 >> X= A\B ans= 1.0887 -0.2527 1.5349 Khi thử lại nhƣ sau >> A* ans ans= 5.1882 4.2957 13.0000 20.8925 Kết quả khụng bằng B
Hệ phƣơng trỡnh trờn vụ nghiệm ,tuy nhiờn Matlab vẫn cho nghiệm ,nghiệm này khụng phải nghiệm đỳng mà là nghiệm xấp xỉ giải theo tiờu chuẩn bỡnh phƣơng tối thiểu( ta khụng đề cập tới)
3.8 Hệ điều kiện yếu
Chỳng ta núi rằng một vấn đề đƣợc coi là điều kiện yếu nếu một sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu sẽ dẫn đến thay đổi lớn trong kết quả. Điều này là rất nguy hiểm đối với cỏc kỹ sƣ làm việc với cỏc thiết bị , sai số ở cỏc thiết bị , sai số do làm trũn (điều này chắc
48
chắn xảy ra) Nếu dữ liệu này là đầu vào đối với vấn đề trờn thỡ kết quả thu đƣợc sẽ khủng khiếp Vấn đề chỳng ta bàn tới là Điều kiện yếu của hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh Ma trận yếu điển hỡnh là ma trận Hibert cú dạng nhƣ sau:
A=[ 1 1/2 1/3...1/n;1/2 1/3 ...1/(n+1) 1/3 1/4 1/5.... 1/(n+2) 1/n .. 1/(2n)]
Vớ dụ sau đõy: Giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh cú ma trận hệ số sau A=[1 1; 1 1.01] B=[2 ; 2.01];
>> X= A\B X= 1.0000 1.0000
Một sai số nhỏ đƣợc thể hiện trong long format >> format long; X= A\B
X=
1.000000000002 0.999999999998
Nếu ta thay đổi một phần tử của A vớ dụ Ă1, 2)=1.005 >> Ă1,2)=1.005 ; X= A\B
X=
-0.0000000099991 1.9999999999991
Thay đổi Ă1,2) =1.005 so với giỏ trị cũ là 1 tức là tăng 0.5% tƣơng ứng với giỏ trị x(1) giảm 101%, và tăng x(2) tăng 100%
Cỏch giải hệ phƣơng trỡnh điều kiện yếu A*X=B
Nếu A là ma trận Hillbert sử dụng hàm tớnh nghịch đảo invhilb(n) trong đú n là kớch thƣớc của ma trận đú
Vớ dụ >>A= [ 1/1 1/2 ; 1/2 1/3]; >> B=[1 ;1/2]
>>X= invhilb(2)* b
Nếu A khụng phải là ma trận hilbert thỡ sử dụng hàm symbolic Vớ dụ A= [ 1 1.01; 0.5 1.02];
A=sym( [1 1.01 ; 0.5 1.02] ); B=[ 1.1; 1.2];
49
3 .9 Lệnh cond Tớnh điều kiện của ma trận
Cấu trỳc:
>> cond(A) % A là ma trận kết quả trả lại dạng nhƣ sau: a* 10k
; 0 < a < 9
k là số digits khụng tin cậy trong kết quả giải hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh và trong việc nghịch đảo ma trận. Nếu k xấp xỉ 1 thỡ đúlà ma trận cú well -condition
Vớ dụ >>A=[1/2 1/3 1/4 ; 1/3 1/4 1/5; 1/4 1/5 1/6]; >> cond(A)
ans=
1.3533e+003
Ta thấy rằng k= 3 tức là cú 3 số khụng đỏng tin cậy Tổng kết
Định nghĩa :Hạng ma trận
Ar là một ma trận r hàng r cột đƣợc xõy dựng từ A , khụng nhất thiết theo thứ tự trong ma trận A và det(Ar)#0 .Nếu bất kỳ ma trận Ar+1 nào đƣợc xõy dựng từ r+1 hàng và r+1 cột của A, det(Ar+1)=0 thỡ chỳng ta núi rằng Matrận A cú hạng bằng r
Một hệ thống m phƣơng trỡnh tuyến tớnh trong n biến (chƣa biết) a11*x1 + a12*x2+ . . . +a1n*xn=b1
a21*x1 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 . .
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm Cú thể viết dƣới dạng form ma trận AX=B
Trong đú A là ma trận hệ số và X là vector kết quả
Điều kiện cú nghiệm Matrận [A B] đƣợc gọi là ma trận mở rộng của hệ. Theo Kronecker- Capelli thỡ hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh cú nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ xung
Nếu r= n thỡ nghiệm trờn là duy nhất
Nếu r<n thỡ hệ trờn khụng xỏc định và r biến cú thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng hàm của n-r biến khỏc ,cỏc biến khỏc này cú thể cho giỏ trị bất kỳ( núi cỏch khỏc hệ vụ số nghiệm)
Nghiệm của hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh đƣợc tớnh trong Matlab bằng toỏn tử ( \ ) .Nếu hệ cú nghiệm duy nhất Matlab sẽ cung cấp cho nú , nếu hệ là khụng xỏc định(r<n) thỡ toỏn tử ( \ ) sẽ cung cấp cho chỳng ta một nghiệm riờng trong đú n-r biến sẽ đƣợc đặt =0.
Một nghiệm , nghiệm này làm thoả món tổng bỡnh phƣơng của cỏc nghiệm bộ nhất Dựng lệnh X= pinv(A)*B
50
Nếu hạng của A # hạng matrận mở rộng thỡ toỏn tử ( \ ) cung cấp một kết quả nhƣng kết quả này khụng phải là nghiệm của hệ
Hệ thuần nhất khi vector B=0. Một hệ thuần nhất cú một nghiệm tầm thƣờng khi det(A) # 0.Nếu det(A)=0 hệ cú nhiều hơn một nghiệm trong trƣờng hợp này Matlab sẽ cảnh bỏo ngƣời dựng :
TểM TẮT NỘI DUNG CỐT LếI
- Áp dụng matlab trong tớnh toỏn mạch điện, giải mạch điện nhanh chúng tiện lợi- ỏp dụng giải phƣơng trỡnhvà hệ phƣơng trỡnh tuyến tớnh.
- Giải cỏc phƣơng trỡnh phi tuyến và PT tham số. - Giải hệ PT vi phõn.
BÀI TẬP ỨNG DỤNG, LIấN HỆ THỰC TẾ Cõu hỏi ụn tập
1. Cỏc cỏch nhập một ma trận ?
2. Điều kiện cú nghiệm của hệ phƣơng trỡnh đại số tuyến tớnh , cỏch tớnh