P– phép nhúng của không gian paracompact

Bổ đề 2.5.1. Lấy X là không gian p – phép nhúng trong không gian Y và Y là không gian compact nhị nguyên. Thì số Souslin ( )c X của không gian X là đếm được và cl XY là G - tập con của Y.

Chứng minh

Cố định một điểm xX . Thì tồn tại là II – dãy U x nn :   của tập con mở của không gian Ysao cho xH x( ) Un:n và ( )F x H x( ) Y X . Do đó Vn UnY n:   là II – dãy của không gian Y và xF x( ) V nn:   . Bởi vì không gian Y là giả compact, tập F x( ) là trù mật trong H x( ). Do đó

 ( )  ( ) 0

c Y x c H x  . Từ đó sẽ tồn tại một tập con A đếm được của X sao cho tập H  H x x( ) : A là trù mật trong H x x( ) : X và cl HY là G - tập con của Y. Vì vậy, tập F x x( ) : A là trù mật trong không gian X và

Y

cl X là G- tập con của Y. Rõ ràng, c X( )0.

Định lí 2.5.2. Cho X là BD - không gian p-phép nhúng trong A(II)-không gian. Thì X là một ( )A k - không gian. Hơn nữa, nếu X là không gian paracompact, thì

Định lí 2.5.3. Cho X là không gian paracompact p-phép nhúng trong không gian

Y và Y là không gian nhị nguyên. Thì X là p-không gian Lindelof. Hơn nữa,

X là p - phép nhúng trong không gian Y.

Hệ quả 2.5.4. Cho X là không gian paracompact p - phép nhúng trong không gian giả compact Mal’cev Y. Thì X là p - không gian. Hơn nữa, X là p - phép nhúng trong không gian Y .

Gần đây A.V.Arhangel’skill đã đưa ra các vấn đề sau:

Vấn đề 2.5.5. Cho X là không gian paracompact p - phép nhúng trong không gian giả compact Y. Liệu X có phải là không gian con đóng p - phép nhúng của không gian giả compact?

KẾT LUẬN

Các không gian metric hóa được và các không gian compact là lớp các không gian quan trọng thường được quan tâm khi nghiên cứu về không gian tôpô. Một trong các tính chất được quan tâm nhiều nhất trong những năm gần đây là tính chất giả compact.

Trọng tâm của luận văn là tìm hiểu về không gian mà có thể thực hiện phép nhúng đặc biệt trong không gian giả compact. Từ hệ quả 2.3.2, ta có được một không gian paracompact là Cech đầy đủ với điều kiện nó là G- tập con của một không gian Y bởi vì sự compact hóa Stone – Cech là không gian toán tử.

Ở đây, tồn tại một không gian giả compact Y và không gian con paracompact như là không gian đóng mà nó không là k – không gian. Không gian con đó không tồn tại trong nhóm giả compact và trong Mal’cev giả compact. Một không gian paracompact là một G - không gian con của một vài không gian giả compact.

Do điều kiện nghiên cứu luận văn còn ngắn nên chưa đi sâu vào những vấn đề liên quan xung quanh không gian giả compact. Hy vọng trong thời gian tới tôi có nhiều thời gian tìm hiểu kĩ hơn về không gian giả compact.

Trong quá trình hoàn thiện luận văn, Ts. Nguyễn Trọng Hòa và mọi người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Về mặt kiến thức vẫn còn hạn chế nên vẫn còn thiếu sót trong quá trình hoàn thành luận văn, mong quí thầy cô và các bạn góp ý để tôi hoàn thiện nó tốt hơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. A.V. Arhangel’skii, M.M. Choban, Completeness type properties of

semitopological groups, and the theorems of Montgomery and Ellis, Topol.

Proc. 37 (2011) 33-66.

2. A.V. Arhangel’skii, M.M. Choban, Some generalizations of the concept of a

p – space, Topol. Appl. 158 (2011) 1381-1389.

3. A.V. Arhangel’skii, M.M. Choban, Spaces with sharp bases and with other

special bases of countable order, Topol. Appl. 159 (2012) 1578-1590.

4. A.V. Arhangel’skii, M.M. Choban, P.S Kenderov, Topological games and

continuity of group operations, Topol. Appl. 157 (2010) 2542-2552.

5. A.V. Arhangel’skii, M.G. Tkachenko, Topological Groups and Related

Structures, Atlantis Press, Amsterdam – Paris, 2008.

6. Mitrofan M. Choban, On paracompact G - subspaces of pseudocompact

spaces, Topol. Appl. 179 (2015) 62-73.

7. R. Engelking, General Topology, PWN, Warszawa, 1977.

8. R. Engelking, A. Pelczynski, Remarks on dyadic spaces, Collect, Math. 11 (1963) 55-63.

9. M. Henriksen, M.C Rayburn, On nearly pseudocompact spaces, Topol. Appl. 11 (1980) 161-172.

10. N. Noble, Countable compact and pseudocompact products, Czechoslov. Math. J. 19 (1969) 390-397.

11. A. Okuyama, On metrizablity of M - spaces, Proc. Jpn. Acad. 40 (1964) 176- 179.