Tế bào và G không gian con của A(II) – không gian

Định lí 2.3.1. Cho X là một G- không gian con của một A(II) - không gian Y. Giả thiết rằng X là không gian giả compact và với bất kì dãy bị chặn Hn:n 

của tập con mở của Y, với cl HY n1 Hn với bất kì n , tập Hn:n  là compact hoặc có tế bào đếm được. Thì X là p – không gian. Hơn nữa, nếu Y là fan – đầy đủ, thì X là Cech đầy đủ.

Chứng minh

Lấy  n U :An:n  là dãy họ mở của Y, và lấy

 n:An 1 A nn : 

      là dãy ánh xạ với (Đk1) – (Đk3). Giả thiết rằng

 n: 

X  V n , với V nn:   là dãy tập con mở của Y.

Bây giờ ta có thể xây dựng một dãy n W:Mn:n  hệ thống mở của không gian Y, một dãy qqn:Mn1 Mn:n  là dãy ánh xạ và dãy rr Mn: n An: n  là dãy các ánh xạ sao cho:

- X  W:MnVn với mỗi n .

- n( )x n( )x với mỗi n và với mỗi xX .

- Nếu  nMn:n là c – dãy, thì r( ) rn(n) :n  là c – dãy.

-  1   1 

: n ( ) Y : n ( )

X W  W q   cl W q  W với tất cả Mn và

Cố định m – dãy nMn:n  . Lấy  n rn(n)An: n  . Thì  là một m – dãy,  :  n U n là dãy bị chặn và  :  n W n là dãy bị chặn của các tập con mở của Y.

Ta đặt: ( )  : 

nn

H   W  .

Tập H( ) là compact hoặc có tế bào đếm được. Bởi vì H( ) X H, ( ) là không gian con Lindelof của Y. Theo như của định lí 2.1, tập ( )H  là compact.

Khi đó, với mỗi tập con mở W của Y mà chứa H( ) thì tồn tại n sao cho

n

W W . Do đó X là A(k) – không gian.

Giả thiết rằng không gian Y là fan – đầy đủ và dãy  và  có tính chất (Đk4). Thì dãy  và q cũng có tính chất (Đk4). Vì vậy, X là fan – đầy đủ và sàng – đầy đủ.

Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.3.2. Cho X là G- không gian con paracompact của không gian chính qui đầy đủ Y và Y là không gian hai ngôi. Thì X là không gian Cechđầy đủ Lindelof. Hơn nữa, X là một G- tập con của không gian Y.

Chứng minh

Bởi vì Ylà không gian compact hai ngôi, Y là không gian giả compact. Do đó Y là không fan – đầy đủ [7,8].

Lấy Hn:n  là dãy tập con mở khác rỗng của Y và Y \Hn và Hn1 tạo thành một cặp tập có chức năng riêng biệt trong Y với mỗi n . Do đó

Hn:n  là II – dãy của các tập con mở khác rỗng của Y.

Ở đây tồn tại một dãy fn:Y [0,1]:n  hàm liên tục trên Ysao cho Y H\ n  fn1(1) và Hn1 fn1(0) với mỗi n . Ta đặt H  Hn:n 

và  1 

(0) :

n

như là tập con đóng của Y. Bởi vì Y là giả compact, cl HY F. Không gian F như là G- tập con đóng của không gian hai ngôi thì là không gian hai ngôi. Do đó tế bào của không gian H là đếm được. Bởi vì H là không gian con trù mật của không gian F , tế bào của H là đếm được. Theo như định lí 3.1, X là không gian Cech đầy đủ paracompact.

Bởi vì X là G- tập con của không gian con cl XY , thì tồn tại dãy

O nn:   tập con mở của Y sao cho X  Oncl X nY :  

On Y n: 

   . Lấy L O nn:  . Thì X L và X  L Y . Giả thiết rằng bY Y\ và bL cl X\ Y . Do đó, K  On \cl X nY :   là G- tập con của Y và b K Y Y\ , mâu thuẫn với giả compact của Y. Vì vậy,

X  L là G- tập con của Y .

Lấy D 0,1 là nhóm rời rạc và m là trọng số của không gian Y. Thì tồn tại một ánh xạ liên tục :g Dm Y lên không gian compact hai ngôi Y . A.V. Arhangel’skill nói rằng kể từ sau đó số Souslin của G- tập con của nhóm tôpô compact là đếm được. Vì vậy, G- tập con của nhóm tôpô compact là không gian lindelof. Do đó tế bào của bất kì G- tập con của không gian Dm là đếm được và , đặc biệt, tế bào của không gian con 1

( )

g X là đếm được. Bởi vì X là không

gian paracompact của tế bào, X là không gian Lindelof. Như vậy ta đã chứng minh xong.

Một không gian X được gọi là không gian Mal’cev nếu tồn tại một ánh xạ liên tục 3

:X X

  sao cho ( , , ) x x y ( , , )y x x  y với mỗi ,x yX . Nếu X

là không gian Mal’cev giả compact, thì X cũng là không gian Mal’cev. Bất kì không gian Mal’cev compact đều là không gian Dugundji và, đặc biệt, là một không gian hai ngôi. Vì vậy, ta có hệ quả 2.3.3 như sau:

Hệ quả 2.3.3. Cho X là G- không gian con paracompact của không gian Mal’cev giả compact Y. Thì Y là không gian Cech đầy đủ Lindelof. Hơn thế nữa, X là G- tập con của không gianY.

Bất kì nhóm tôpô nào cũng là không gian Mal’cev. Vì theo định lí 2.4.6, giả thiêt trong hệ quả 2.3.2 rằng Y là không gian nhị nguyên và giả thiết trong hệ quả 2.3.3 rằng Y là không Mal’cev là cần thiết.