Cho Y là không gian con của X . Ta nói không gian con Y là - compact ( compact dãy ) trong X nếu với mọi tập con L hữu hạn của Y thì tồn tại một tập con hữu hạn M L sao cho tập cl MX là compact ( là compact metric hóa được ).
Một không gian X được gọi là giả - compact ( giả compact dãy ) nếu không gian con Y trù mật của X là - compact ( là compact dãy ) trong X .
Bất kì không gian giả - compact là compact yếu. Đặc biệt, bất kì không gian giả - compact chính qui đầy đủ là giả compact.
Cho họ các không gian giả - compact X :A và
:
X X A . Thì:
- Không gian X là compact yếu.
- Nếu tập A là đếm được, thì không gian X là giả - compact.
Hơn nữa, nếu X là không gian giả - compact và Y là không gian compact yếu, thì không gian XY là compact yếu.
Bổ đề 2.4.1 Cho X là G- không gian con của không gian Z và :g X Y là ánh xạ liên tục của không gian X vào không gian Y. Giả thiết rằng ( )g X là G- không gian con của không gian Y và ( )g X là không gian với G- đường chéo. Thì Gr g( )( , ( )) :x g x xX là G- không gian con của không gian Z Y . Chứng minh
Bởi vì X g X( ) là G- không gian con của không gian Z Y , ta có thể giá thiết rằng X Z và ( )g X Y. Tồn tại dãy phủ mở n:n của không gian Y sao cho n( ) :y n y với mọi y Y .
Với mỗi điểm xX và bất kì n , ta cố định tập mở V xn n và tập mở
n
U x của X sao cho x U x g x n , ( )V xn và g U x( n )V xn . Ta đặt
:
n n n
W U x V x xX . Thì W nn: là một dãy tập con mở của không
gian XYvà Gr g( ) W nn: .
Bổ đề 2.4.2. Cho X là không gian con của không gian Z, g X: Y là ánh xạ liên tục của không gian X vào không gian Y và tập ( )g X là đóng trong không gian Y. Giả thiết rằng với mỗi cặp điểm yg X( ) và zZ g\ 1( )y thì tồn tại tập con mở V của Y sao cho y V và zZ cl g\ Z 1( )V . Thì Gr g( ) là không gian con đóng của không gian Z Y .
Chứng minh
Bởi vì ( )g X là không gian con đóng của không gian Y, ta có thể giả thiết rằng ( )g X Y . Cố định một điểm ( , )a b Z Y Gr g\ ( ). Thì 1
( )
ag b và tồn tại tập con mở V của Y sao cho b V và a U Z cl g\ Z 1( )V . Thì W U V
là tập con mở của Z Y , ( , )a b W và W Gr g( ) . Như vậy ta đã chứng minh xong.
Theo như hai kết quả tiếp theo, điều kiện rằng Y như là không gian đóng và lindelof là cần thiết trong điều kiện của định lí 2.2.1 và hệ quả 2.2.5.
Định lí 2.4.3. Với không gian paracompact X , các khẳng định sau đây là tương đương:
1. X là không gian paracompact Cech đầy đủ.
2. X là p – không gian và là G- không gian con đóng của không gian giả - compact chính qui đầy đủ nào đó.
3. X là p – không gian và là G- không gian con của không gian fan – đầy đủ nào đó.
4. X là BD – không gian và là G- không gian con của không gian fan – đầy đủ nào đó.
Định lí 2.4.4. Cho Y là không gian metric hóa đầy đủ, dim Y = 0, là bản số vô hạn, 0 và ( )w U w Y( ) với mọi không gian con mở khác rỗng U của Y
. Thì Y là không gian con như là không gian con đóng của không gian giả compact dãy X của lực lượng . Nếu 20 , thì X là không gian Moore tách.
Trong quá trình chứng minh định lí 2.4.3. và 2.4.4 thì sự kéo theo của 2 sang 3 trong định lí 2.4.3. là rõ ràng và sự kéo theo 3 sang 4 sang 1 là từ hệ quả 2.2.3. của định lí 2.2.2.
Lấy Dm là không gian rời rạc của lực lượng m và Dn là không gian rời rạc của lực lượng với bất kì n . Khi đó ( )B m Dm là không gian Baire của lực lượng m [7]. Trong điều kiện của định lí 2.4.4, không gian Y và ( )B là đồng phôi.
Giả thiết rằng Y B( ) .
Ta đặt C( ) Dn :n . Định nghĩa họ max A ss: M của tập con đếm được hữu hạn của tập ( )C với các tính chất sau:
- M m.
- M C( ) .
- Nếu sS, thì hoặc là As Dn với một vài n , hoặc là AsDn là tập hữu hạn với bất kì n .
- Giao của As Ar là tập hữu hạn với bất kì hai phần tử ,s rM .
Việc xây dựng họ như trên của dãy với bất kì lực lượng vô hạn như là
0
( ) n :
B D n có lực lượng , hoặc ngược lại. Do đó, tồn tại một ánh xạ : ( ) ( )
g C B sao cho tập ( ( ))g C là trù mật trong ( )B và ảnh của hai phần tử riêng biệt là riêng biệt. Với mỗi điểm sB( ) cố định một dãy
( , ) ( ) :
s
A b n s C n sao cho lim ( ( , ))
n g b n s s
. Ta có thể giả thiết rằng ( )
B M và họ A ss: M là max tương ứng với các tính chất được nói đến. Rõ ràng, M 0 .
Cho As b n s n( , ) : và U sn s b i s i( , ) : n với bất kì sM và
n .
Trên ( ) C( ) MZ , ta xem xét tôpô thông thường với cơ sở mở
: ( ) n : ,
B x x C U s sM n . Họ B chứa cơ sở đầy đủ sắp thứ tự đếm
được [3]. Khái niệm cơ sở của sắp thự tự đếm được đã được giới thiệu trước đó. Bằng cách xây dựng, tập Zn clZ( ) Dn là không gian con mở và mở của không gian ( )Z . Lấy M M \ Zn :n . Rõ ràng, M . Ta có thể giả thiết rằng D M. Bằng cách xây dựng, D là không gian con đóng rời rạc của không gian compact địa phương giả – dãy – compact. Hàm : ( )f Z I , với
1 (0)
f M D và f1(n1)Zn với mỗi n , là liên tục. Do đó, M D
là tập không của không gian ( )Z .
Bây giờ , ta đặt ( ) Z( )X . Thì ( )X là không gian giả – dãy – compact chính qui đầy đủ với cơ sở đầy đủ của sắp thứ tự đếm được và ( ) DB là tập không của không gian ( )X . Bởi vì Y B( ) X( ) , ta có thể xem xét rằng Y là tập không của không gian ( )X m .
Vì vậy, định lí 2.4.4 đã được chứng minh. Ta tiếp tục chứng minh định lí 2.4.3.
Lấy ( )L I Z( ) và F clL( ) ( 0 D) . Đặt ( )S là không gian chứa tập con đóng đồng nhất tới một điểm của không gian ( )L . Lấy : ( ) L S( )
là phép chiếu tự nhiên. Ta đặt K( ) (IZ( )) . Thì không gian con ( ) ( ( ))
H I D là đồng phôi tới không gian J( ) của . Giả thiết rằng H( )
J . Bằng cách xây dựng, J là tập không của không gian giả – dãy – compact chính qui đầy đủ K( ) .
Bất kì không gian metric hóa được đầy đủ của lực lượng là được nhúng đóng trong J . Vì vậy sự kéo theo 1 sang 2 đã được chứng minh với không gian metric hóa được.
Lấy X là không gian paracompact Cechđầy đủ và f X: X1 là ánh xạ hoàn chỉnh lên không gian metric hóa được đầy đủ của lực lượng m. Khi đó, vì theo bổ đề 4.2, X Gr g( ) là không gian con đóng của X K( ) . Sự kéo theo của 1 sang 2 đã được chứng minh.
Như vậy, ta đã chứng minh xong định lí 2.4.3 và 2.4.4
Nếu X là không gian non - compact metric tách biệt, thì, vì theo hệ quả 2.3.2, không gian X có thể không cho phép phép chiếu vào không gian giả compact như là tập con như là tập con đóng. Vì vậy, định lí 2.4.4 là không đúng với bất kì bản số .
Hệ quả 2.4.5. Cho không gian Lindelof Y, các khẳng định sau là tương đương: 1. Y là không gian Cech đầy đủ.
2. Y là G- không gian con đóng của không gian giả compact X . 3. Y là G- không gian con của không gian giả compact X .
4. Tồn tại một không gian X và dãy bị chặn Un:n của tập con mở của không gian Y sao cho Y Un:n .
Sự khẳng định của định lí 4.3 và 4.4 đã được chứng minh đối với không gian 0 chiều. Tổng quát, nó được chứng minh rằng với bất kì không gian paracompact
Cech đầy đủ là G- không gian con đóng của không gian compact yếu.
Định lí 2.4.6. Cho là bản số không đếm được. Thì tồn tại một không gian Y giả
- compact chính qui đầy đủ Y và không gian con X của nó có các tính chất sau:
1. X là tập con như là tập con đóng của không gian Y. Đặc biệt, X là G- tập con đóng của không gian Y.
2. X có một điểm cô lập duy nhất bX .
3. Không gian X là paracompact. Đặc biệt, không gian Y không là p - không gian và không là Cech đầy đủ.
4. Nếu L X và L , thì tập L là đóng trong X và Y. Đặc biệt, mỗi tập con đếm được của X là đóng trong Y.
5. Không gian Z Y \ b là compact địa phương và giả - compact. 6. Không gian \Y X là - compact và ind Y = 0.
Chứng minh
Cố định bản số vô hạn 0 và không gian E rời rạc của lực lượng . Trong E ta cố định một dãy En: n tập rời rạc từng đôi một của lực lượng /sao cho
n:
E E n . Lấy E là Stone - Cech compact hóa của không gian E và
n E n
Z cl E với mỗi n .
Tồn tại họ A :M tập con đếm được hữu hạn của E với tính chất sau: - Nếu , M và thì tập A En là hữu hạn.
- A En là tập một điểm hoặc tập rỗng với mỗi n ,M .
- Nếu A là tập con hữu hạn của không gian E, thì hoặc là tập A En là hữu hạn với một vài n , hoặc là tập A En là hữu hạn với một vài M .
Với cách xây dựng họ như trên của dãy đối với bản số như là trong chứng minh của định lí 2.4.3. và 2.4.4.
Bởi vì 0 0, ta có M .
Ta xem xét không gian Z( ) M Zn:n với tôpô sau đây: - Mỗi Zn là không gian con compact mở và đóng của không gian ( )Z .
- Họ các điểm M trong ( )Z có dạng A \F, với F là tập hữu hạn. Bằng cách xây dựng, ( )Z là không gian không chiều compact địa phương của trù mật và không gian Z( ) có cơ sở đếm được tại bất kì điểm M . Cũng bằng cách xây dựng, ( )Z là không gian giả - compact và M, E là không gian con rời rạc của ( )Z .
Tồn tại ánh xạ liên tục g:E Z( ) sao cho ( )g x x với mỗi xE. Bằng cách xây dựng:
- Nếu Yn cl EE n, thì 1
( n) E n n
g Z cl E Y và hạn chế g Y| n là đồng phôi của Yn
lên Zn với mỗi n .
- g1( ) cl AE \ A là tập con đóng và mở của tập compact hiệu RE E\ . Bây giờ, ta đặt Pcl ME .
Lấy LM là tập con của bản số L . Ta đặt L E( ) A :L và \ ( ) cLE L E . Thì L E( ) ,cL và cl Z( )Lcl Z( )cL . Do đó tập Z( ) : , K P cl cL LM L là khác rỗng và đóng trong Z( ). Bằng cách xây dựng, KP\ cl Z( )L L: M L, . Cố định bK. Bằng cách xây dựng, b cl Z( )M M\ .
Lấy X( ) M b và Y( ) Z X Z b là không gian con của không gian Z( ) .
Không gian ( )Y và không gian con X( ) của nó có các tính chất sau: Tính chất 1: Không gian ( )Y là giả - compact và Z( ) Y( ) \ b là không gian giả - compact địa phương.
Bằng cách xây dựng, không gian ( )Z là giả - compact. Bởi vì không gian ( )Z là trù mật trong ( )Y , không gian ( )Y cũng là giả - compact.
Tính chất 2: Tập ( ) \ ( )Y X là một không gian con - compact, X( ) là tập con như là tập con đóng và G- tập con đóng của không gian ( )Y .
Bằng cách xây dựng, ta có Y( ) \ X( ) Zn:n .
Tính chất 3: Không gian ( )X có duy nhất điểm cô lập bX , là di truyền tính paracompact và mỗi tập con của ( )X của lực lượng . Đặc biệt, không gian X( ) không là p – không gian và không là Cech đầy đủ.
Lấy H X( ) và H . Tập H là đóng trong X( ) nếu bH. Nếu
bH , thì bK cl\ Z( )H và tập H là đóng trong ( )Z .
Do đó ( ), ( ), ( )X Z Y là không gian với tính chất phải đó. Như vậy ta đã chứng minh xong.
Chú ý: Lấy X là G- không gian con paracompact hoàn chỉnh của một vài không gian giả compact hoặc một vài A(II) - không gian Y. Thì X là đếm được thứ nhất và mỗi tập con compact của không gian X có tính đặc trưng đếm được trong Y. Đặc biệt, X là không gian của dạng đếm được.
Chú ý: Lấy X là G- không gian con của không gian Y fan – đầy đủ. Thì
X có tính chất Baire.
Định lí 2.4.7: LấyX Un:n , với Un:n là dãy của tập con mở của không gian Y. Bởi vì X là không gian paracompact, tồn tại dãy họ
- W V X là tập con như là tập con đóng của không gian X đối với Mn
và mỗi n .
- X V :Mn cl VY :MnUn với mỗi n .
- n W :Mn là phủ hữu hạn địa phương của không gian X với mỗi n
.
Cố định họ f :Y 0,1 :M nn, của hàm liên tục của không gian
Y với:
- Y V\ f1(0) với mỗi Mn:n
- f( ) :x Mn2n với tất cả xX và n .
Thì d x y( , ) f( )x f( ) :y M nn, là giả compact liên tục trên X .
Tồn tại một không gian metric X d1, 1 và ánh xạ liên tục g X: X1 sao cho
1
( , ) ( ), ( )
d x y d g x g y với tất cả ,x yX . Bằng cách xây dựng, không gian
metric X d, 1là đầy đủ. By virtue của định lí 4.3,X1 là G - không gian con đóng của một vài giả - compact không gian Y1 . Thì Z Y Y1 là không gian giả compact.
Ta lấy xX với điểm x g x, ( )Z . Trong trường hợp này, by virtue của bổ đề 2.4.1,X Gr g( )là G - không gian con của không gian Z.
Lấy aY b, X1và ( , )a b Gr g( )Z. Tồn tại cX sao cho ( )g c b. Nếu aX hoặc bY1\ X1 thì tồn tại tập con mở U của Z sao cho ( , )a b Uvà
U X . Giả sử rằng aX. Cố định n sao cho aUn. Bằng cách xây dựng, tồn tại 0 sao cho xX d c x: ( , ) Vn:c V . Nếu
n:
\ Y
aH Y cl U . Do đó, theo bổ đề 4.2, X Gr g( )là G- không gian con của không gian giả compact Z.
Chú ý: Lấy X là G- không gian con paracompact của không gian