Chứng minh rằng: 2 OK.OA = R

d) Xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng d để tOHK có diện tích lớn nhất.

Lời giải

2) Ta có: AM OA(gt)

⇒∆OAM vuông tại A⇒∆OAM nội tiếp đường tròn đường kính OM ⇒O,A,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM

OF MF(MF là tiếp tuyến của (O) ⇒∆OFM vuông tại F ∆OFM nội tiếp đường tròn đường kính OM

⇒O,F,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM Vậy O,M,A,F cùng thuộc đường tròn đường kính OM

3) Chứng minh rằng : 2 OK.OA = R OK.OA = R OHK  đồng dạng ∆OAM  OK OA. OH OM. OEM: 2 2 . OH OM OE R  2 OK.OA = R 4) Xác định vị trí của điểm M

HQ,HI lần lượt là đường cao và trung tuyến OHK, 1 . 2 OHK S  HQ QK Ta có 2 OK HQHI  mà OK R2 OA

 không đổi nên max 2 4 OHK OK S  2 max 4 OHK OK

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 37 PHONE 0983.265.289

Bài 37 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O)

a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AOBC.

b) Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm M bất kì M B M, C M, AO. Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh: Chu vi ADE bằng 2AB.

c) Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng

minh: 2 4 PD.QE = PQ Lời giải Q N E K P D M O C B A

Theo tính chất của hai tiếp tuyến của đường tròn, ta có;

1 1

,

2 2

DOM  BOM MOE MOC

Cộng vế theo vế, ta được: 1

2

DOE BOC

Mà 1

2BOCAOC OQE (vì AOC và OQE cùng phụ với QAO) Nên DOEOQE

Xét ODE và QOE ta có: DOEOQE (cmt)

OEDOEQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó ODE  QOE (g.g)

Chứng minh tương tự: ODE  PDO Suy ra QOE  PDO (tính chất bắc cầu)

2. . . . . . 2 2 4 QO QE PQ PQ PQ PD QE PO QO PD PO       2 4PD QE. PQ  

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 38 PHONE 0983.265.289

Bài 38 Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC của (O). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F.

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh:OI.OM = OA2

c) Chứng minh: FC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải I F E C B A O M a) - Vẽ hình đúng đến câu a

- Chỉ ra được OAM= 900 (đủ căn cứ)  Ađường tròn đường kính OM - Chỉ ra được OBM= 900 (đủ căn cứ)  Bđường tròn đường kính OM Kết luận: A, O, B, M nằm trên 1 đ.tròn b) Chứng minh được: OIAB

Tam giác OAM có: OAM= 900; AIOM OA2 = OI.OM

c) Chứng minh được: OE.OF = OI.OM Mà OI.OM = OC2 ( vì OC2 = OA2) Suy ra: OE.OF = OC2

Chứng minh: ΔOCE ΔOFC (c.g.c)

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 39 PHONE 0983.265.289

Bài 39 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đườngg tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB , AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F ( E nằm giữa A, F). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Đường thẳng qua O và vuông góc với EF cắt BC tại S. Đường thẳng SF cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại P và Q, đường thẳng OF cắt BC tại điểm K.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn ; b) Chứng minh 2

.

OH OAOE ;

c) Chứng minh SF là tiếp tuyến của đườngg tròn (O).

d) Chứng mình rằng: đường thẳng AK đi qua trung điểm của PQ

Lời giải B P E G H K D I N M Q S A O C F

c) Chứng minh SF là tiếp tuyến của đườngg tròn (O). Gọi D là giao điểm của OS và EF OHS ODA  OH.OA = OD.OS = OF2 .  OD.OS = OF2  OD OF

OF  OS

ODF OFS  0

90

 

ODF OFS SF là tiếp tuyến của đườngg tròn (O).

d) Gọi M là trung điểm của PQ, Gọi K' là giao điểm của AM và BC

Từ K' kẻ đường thẳng song song với PQ cắt AB, AC tại G và N  GN // PQ

' ' ' ' '

GK AK NK GK NK

MP AM MQ

      K' là trung điểm của NG

Từ G kẻ đường thẳng // BC cắt AC tại I  BGIC là hình thang cân  BG = CI GNI có K' là trung điểm của CN

Mà IG // BC  CK' // IG  C là trung điểm IN  CN = CI BOG = CON  OG = ON  ONG cân tại O (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

 OK' là trung tuyến đồng thời là đường cao  OK'  GN Mà OK  GN ( vì GN // PQ)  K trùng với K'  ĐPCM

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 40 PHONE 0983.265.289

Bài 40 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa

đường tròn lấy điểm C (C khác A và B). Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O và I là trung điểm của AD. Từ C kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), BI cắt CH tại K.

a) Chứng minh BC.BD = 4R2.

b) Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O. c) Chứng minh K là trung điểm của CH.

Lời giải K H I D C O B A a) Xét ABC có OA = OB =OC = 1 2 AB  ABC vuông tại C AC BC

Ta có AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O nên AD  AB. Trong ABD vuông tại A có AC BD  BC. BD =AB2 Mà AB = 2R nên BC. BD = 4R2.

b) Tam giác ACD vuông tại C có I là trung điểm của AD AI = DI = CI = 1

2AD

AOI = COI  IAO = ICO Mà IAO = 900 nên ICO = 900 Mà IAO = 900 nên ICO = 900

Hay IC OC IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O. c) Ta có AD//CH (cùng vuông góc với AB)

Trong tam giác BAI có KH// AI  KH

AI = BK

BI

Trong tam giác BDI có CK//DI  CK

DI = BK

BI

Suy ra KH

AI = CK

DI

TRƯỜNG THCS YÊN PHONG - Ý YÊN 41 PHONE 0983.265.289

Bài 41 Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H, trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HC = HB.

a) Chứng minh C thuộc đường tròn (O, R) và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R). b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K. Chứng minh OH.OA = OI.OK = R2.

c) Chứng minh khi A thay đổi trên đường thẳng d thì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải H K I B C O A

a) +) Chứng minh BHO =CHO  OB = OC

OC = R

C thuộc (O, R).

+) Chứng minhABO =ACO

ABO ACO (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

   

Mà AB là tiếp tuyến của (O, R) nên AB BO 0 0

90 90

ABO ACO

     AC CO AC CO

AC là tiếp tuyến của (O, R).