Mục đích của phần này là chỉ ra sự tồn tại của các nghịch đảo phải của bài toán divergence trong không gian Sobolev có hàm trọng. Xét phương trình Stokes
u = 0 trên Ω
Với miền bị chặn Ω là Lipschitz, nếu f∈−1(Ω) thì tồn tại nghiệm duy nhất
(u, ) ∈ 01(Ω) ×2 0(Ω)
Hơn nữa, đánh giá tiên nghiệm sau chỉ ra rằng
‖u‖ 1(Ω) + ‖ ‖ 2(Ω) ≤ ‖f‖ −1(Ω),
với hằng số phụ thuộc vào miền Ω.
Phát biểu yếu hơn của (4.5) có thể viết như sau
(u, v) = ∫ u : v Ω
và
(v, ) = ∫ Ω div v, với
v ∈ 1(Ω) , vlà ma trận vi phân củav, cho hai ma trận = ( ) và = ( ) trong ℝ × , ∶ = ∑ , =1.
Sự tồn tại và duy nhất của (4.6) khi và là các chuẩn song tuyến tính liên
tục, là coercive trên nhân của toán tử ∶ →′ liên hợp với , và thỏa mãn điều kiện inf-sup
inf sub (v, ) > 0.
0≠ ∈ 0≠v∈ ‖ ‖ ‖v‖
Trong trường hợp bài toán Stokes, nếu ta chọn không gian= 01(Ω) và = 20(Ω), tính
sinh ra bởi bất đẳng thức Schwarz và Poincare. Vì vậy, bài toán đưa về chứng minh điều kiện inf-sup cho xác định như sau
inf
0≠ ∈ 2
0
Ngoài ra điều kiện này tương đương với sự tồn tại nghiệm của div v= , với
các miền có các đỉnh bên ngoài.
Với các miền mà (4.7) không đúng, ta sẽ thay thế điều kiện này bằng một điều kiện yếu hơn. Do đó ta sẽ làm việc với các chuẩn trọng.
Xét không gian2(Ω, −1) ⊂ 1(Ω) với ∈ 1(Ω) và ∫Ω = 0 với ∈ 2(Ω, ). Do đó ta có thể xác định không
gian 2
,0(Ω, ) = { ∈ 2(Ω, ) ∶ ∫Ω = 0}.
Định lí 4.3 ([7])Cho∈1(Ω)là mộthàmtrọng dương. Giảsửrằng với bấtkỳ ∈ 20(Ω, −1) tồn tại u ∈ 01(Ω) sao cho divu =
và ‖u‖1
(Ω) ≤ 1‖ ‖2(Ω, −1),
với hằng số 1 phụ thuộc Ω và . Khi đó, với bất kỳ f∈−1(Ω) tồn tại duy nhất nghiệm (u, ) ∈01(Ω) ×2 ,0(Ω, ) của bài toán Stokes (4.5). Hơn nữa,
‖u‖1(Ω) + ‖ ‖2(Ω, ) ≤ 2‖f‖−1(Ω),
với 2 phụthuộc 1và Ω.
Chứng minh.
Xét về áp suất ta xét không gian = 2
,0(Ω, ) với chuẩn ‖ ‖ =
‖ ‖2(Ω, ).
36
= {v ∈ 01(Ω) ∶div u∈ 2(Ω, −1)}
với ‖v‖2= ‖v‖21(Ω)+ ‖div v‖22(Ω, −1).
Vì ‖v‖1(Ω)≤ ‖v‖ , sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta có tính liên tục của trong × . Ngoài ra, từ định nghĩa của các không gian dễ dàng thấy rằng liên tục trong × .
Mặt khác, coercivity của theo chuẩn của trên nhân của toán tử sinh ra từ bất đẳng thức Poincare bởi vì nhân này chứa các trường vecto tự do phân kỳ.
Ta chứng minh
inf sub
0≠ ∈ 0≠v∈ ‖ ‖ ‖v‖
Thật vậy, cho ∈ ‖ .tồn tạiu ∈ 01(Ω)sao chodivu = và ‖u‖ 1(Ω) ≤ 1‖ ‖ 2(Ω, −1) = 1‖
Hơn nữa, vì ‖div u‖2(Ω, −1)= ‖ ‖ ta có
‖u‖ ≤ ‖ ‖ ,
với chỉ phụ thuộc vào 1.
Khi đó,
‖ ‖ =
38
KẾT LUẬN
Luận văn này đã khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình dạng Divergence trên các không gian hàm có trọng. Cụ thể, khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình divu = trên miền Holder− với lớp hàm trọng là lớp hàm lũy thừa của khoảng cách hoặc lớp hàm trọng Muckenhoupt . Kết quả chính là các định lí 2.1, định lí 2.6, định lí 2.9, định lí 2.10, định lí 3.1.
Kết quả này ứng dụng vào để chứng minh bất đẳng thức Korn với tính chính quy nghiệm của phương trình Stokes. Kết quả này được trình bày trong định lí 4.3.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] G. Acosta, R.G. Duran and A. Lombardi, Weighted Poincare and Korn
inequalities for Holder- domains, Math. Meth. Appl. Sci. 29 (2006) 387-
400.
[2] G. Acosta, R.G. Duran and F. Lopez Garcia, Korn inequality and
divergence operator: Counterexamples and optimality of weighted
estimates, Proceedings of the American Mathematical Society 141
(2013), 217-232.
[3] G. Acosta R.G. Duran and M. A. Muschietti, Solutions of the divergence
operator on John Domains, Advances in Mathematics 206 (2006) 373-
401.
[4] R. Duran and F. Lopez Garcia, Solutions of the divergence and analysis
of the Stokes equations in planar domains, Math. Mod. Meth. Appl. Sci.
20 (1) (2010) 95-120.
[5] R. Duran and F. Lopez Garcia, Solutions of the divergence and Korn
inequalities on domains with an external cusp, Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. 35 (2010), 421-438.
[6] R.G. Duran and M. A. Muschietti, An explicit right inverse of the
divergence operator which is continuous in weighted norms, Studia
Math. 148 (2001) 207-219.
[7] G. P. Galdi, An introduction to the Mathematical theory of the Navier-