Trong mục này ta xét trường hợp đặc biệt của miền Holder- xác định như
sau
Ω = {( , ) ∈ ℝ2 ∶ 0 < < 1,0 < | | < 1/ },
18
Chúng ta sẽ chỉ ra trong trường hợp đặc biệt của Định lí 2.8 tương đương với điều kiện yếu hơn, cụ thể, nghiệm của bài toán divergence thu được trong định lí có thể thay đổi bằng cách thêm một trường vecto không đổi để thu được một nghiệm bằng không trên biên.
Ta xét trường hợp đặc biệt của Định lí 2.8 với = và = 1. Sự mở rộng của các đối số trong trường hợp khác có thể khả thi nhưng nó phức tạp .
Định lí 2.9 ([5])ChoΩ ⊂ ℝ2là một miền được định nghĩa trong (2.25) và1 < < ∞. Nếu 1 − 1 < ≤ 1 thì, cho ∈ 0(Ω, ( − 1)) tồn tạiu
∈ 01, (Ω)2sao cho div u= và ‖u‖ 01, (Ω) ≤ ‖ ‖ (Ω, ( −1)), với hằng số chỉ phụ thuộc Ω, , và .
Chứng minh. Ta thấy rằngΩthỏa mãn các giảthiết của Định lí 2.8. Do đó tồn
tại u∈ 1, (Ω)2thỏa (2.26).
Ta sẽ chứng minh với bất kỳ ∈ 1, (Ω) tồn tại hằng số 0∈ ℝ sao cho − 0 ∈ 01, (Ω) ∶= 0∞(Ω).
Do đó, u có thể thay đổi bằng cách thêm một hằng số vào mỗi thành phần của
nó để thu được nghiệm mong muốn. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Poincare vào (2.22) ta có (2.27).
Cho ∈ 1, (Ω), ta sẽchỉra là hằng số trên Ω. Từ định nghĩa của
1, (Ω) ta có
∫curlΩ ∙ ∇ = 0 ∀ ∈ 1, (Ω).
0 = ∫ curl
Ω
với là đạo hàm tiếp tuyến của .
Vì thế = 0 theo hướng phân phối trên ⋂ Ω, vì Ω − (0,0) là một tập liên thông nên tồn tại một hằng số 0= 0. Do đó ∈01,
(Ω).
Cho ∈≡ 1 ∞(ℝ+)sao cho
trong [0,1] ≡ 0 trong ℝ+(0,2) 0≤ ≤1.
Ta phân tích như sau
( , ) = (3 ) ( , ) + (1 − (3 )) ( , ) =: 1 + 2. Dễ thấy rằng 2∈01, (Ω2) với Ω2 là miền Lipschitz
1 Ω2 ∶= Ω⋂ { > 3}.
Do đó, ta có thể giả sử =1. Bây giờ cho ∈∞(Ω) là một dãy thỏa mãn → trong 01, (Ω) và cho ∶= 1/ .
Dễ dàng kiểm tra rằng, với| ( , − )| ≤ | ∈ (0,1),( , )| + ∫ | ( , − )| .
0
Lấy tích phân và sử dụng bất đẳng thức Holder ta có 1
∫
Sử dụng tính liên tục của vết trong miền Lipschitz Ω ∩ ( >) ta có
1
20 1 ≤ lim (∫ | ( , )| →∞ + −1 ∫1∫ |( , − )| ) 0 = −1 ∫1 ∫0 |
Bây giờ ta sẽ chỉ ra dãyxác định bởi ( , ) ≔ ( , )(1
với ( ) ≔ ( ), hội tụ tới trong 1, (Ω). Ngoài ra, dễ dàng thấy rằng supp ⊂ Ω. Bằng phép đối xứng ta có thể giả sử rằng Ω = Ω⋂{ > 0}. Sử dụng định lí
hội tụ trội ta thu được
→∞ Mà và khi đó, ∫ | − Ω = : + .
Sử dụng lại sự hội tụ trội, ta kiểm tra rằng → 0. Vì vậy, chỉ còn lại .
≤∫ 0 ≤∫ 0 ≤( ≤ ∫ | Ω Tương tự chứng minh rằng Do đó, ta kết luận chứng minh bằng cách nhận xét rằng
22
Chương 3. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY
Nhắc lại rằng, nếu Ω ⊂ ℝ là miền hình sao ứng với quả cầu thì tồn tại một nghịch đảo phải của toán tử divergence liên tục từ 0(Ω) đến 01, (Ω) .
Trong mục đầu tiên, ta sẽ nói về lớp hàm Muckenhoupt . Trong mục thứ hai, ta sẽ áp dụng để thu được tính giải được của (div) , trên miền hình sao ứng với quả cầu.