Trong phần này ta nhắc lại nghịch đảo phải explicit của toán tử divergence được giới thiệu bởi Bogovskii trong các miền có hình sao ứng với quả cầu và toán tử này liên tục trong không gian Sobolev có hàm trọng trong .
Ta trình bày công thức của Bogovskii. Cho ⊂ ℝ là một miền có hình sao bị chặn ứng với quả cầu ⊂ và ∈ 0∞( ) sao cho ∫ ( ) = 1.
Do đó, chogiới thiệu là ∈ 1( ) có giá trị trung bình tích phânbằngkhông, với 1 < < ∞, nghiệm của phương trình divergence được Bogovskii
( ) = ∫ G( , ) ( ) , ∈ ℝ ,
với G( ,)= ( 1, … , ) được cho bởi
1
G( ,)=∫
0
Ta nhắc lại vì sao hàm số này thỏa mãn div u= trong . Ta có
− ∫ u ( ) ∙ ∇ ( ) = ∫ ( ) ( ) , với mọi ∈ 0∞( ). ( ) ̅ − = ̅ Vì vậy, nếu là ∫ ∫ ( ( ) − ( )) ( )d 1 d = ∫ ∫ − d ( + ( − )) ( )d d 0 1 = ∫ ∫ −( − ) ∙ ∇ ( + ( − )) ( )d d . 0
Đổi biến = + ( − ) ta thu được
Do đó, khi lấy giá trị trung bình phép lấy tích phân để
∫()() =∫()(()−
= − ∫ u ( ) ∙ ( ) .
Nếu ∈ ta có
|G( , )| ≤
Điều kiện bắt buộc trên miềnlà dùng để thu được nghiệm u triệt tiêu trên . Thật vậy, cho ∉ ta chỉ ra ( , ) = 0 với mọi ∈ . Giả sử rằng + ( − ) −1thuộc ( ) ⊂ thì
=(1− ) + ( +
Do đó, ( + ( − )−1) = 0 với mọi ∈ (0,1) và ∈ . Vì vậy, ( , ) = 0 với mọi ∈ , suy ra ( ) = 0.
Trước khi chứng minh mục tính liên tục của toán tử Bogovskii trong không gian Sobolev có hàm trọng trong , ta nhắc lại kết quả sau.
Cho là toán tử bị chặn từ 2(ℝ ) vào chính nó có dạng
với nhân thỏa mãn
và được gọi là điều kiện Hormander, cụ thể, | ( , ) − ( ′, )| ≤
≥2| − ′|, và
| ( , ) − ( ′, )| ≤
≥2| − ′|.
Khi đó, liên tục từ 2(ℝ ) vào chính nó với mọi 1 < < ∞ và là một hàm trọng trong lớp .
Định lí 3.1 ([6])Cho ∈ và 1 < < ∞ công thức của Bogovskii được định nghĩa trong (3.4) thỏa mãn
‖u‖ 1, (ℝ , ) ≤ ‖ ‖ ( , ).
Chứng minh. Ta có( , )chứa trong1( ). Do đó, nghiệmuđược xácđịnh.
Với là hằng số chung phụ thuộc vào , , , , nó độc lập với và u và đường kính của là .
Đầu tiên ta thấy rằng u∈ (ℝ , ) . Từ(3.5) ta có
=0 ∞
≤ ∑ ∫
≤ ∑ 2−
với là hàm cực đại Hardy-Littlewood của . Vì ∈ là toán tử cực đại bị chặn trong (ℝ , ) nên
Để chỉ ra đạo hàm của các thành phần u sử dụng khai triển sau:
vớilà hàm bị chặn bởi một hằng số chỉ phụ thuộc vào và
∗
26
Ta có tính liên tục của ∗ trong ( )mởrộng tới các hàm trong (ℝ ).
Tuy nhiên, nó không liên tục trong ( , ) với ∈. Do đó, ta sẽ mở
rộng toán tử ∗ tới (ℝ ) theo cách khác để đảm bảo tính liên tục trong
không gian có hàm trọng.
Cho là toán tử tích phân kỳ dị được xác định bởi ( ) = lim ∫
→0 | − |> ⏟
với ∈ ∞( ) thỏa mãn ( ) = 1 với bất kỳ ∈ và ( ) ⊂ ∗
trong hình cầu ∗ có đường kính và tâm giống mà ta sẽ giả sử tâm tại
không. Ta có
G
trong đóbiểu thị ký hiệu Kronecker.
Bây giờ, cho ∈ ℝ và ∈ ∗ ta có thể thấy rằng
thì
Do đó
( , ) = ( ) ∫
Vì liên tục tuần hoàn từ 2(ℝ ) vào chính nó nên để chứng minh tính liên tục trong (ℝ , ) vào chính nó ta sẽ chứng minh điều kiện (3.6), (3.7), và (3.8).
Do đó, với, ( ) = ( ( ) − ( ′)) ∫ ( ) = ( ) = ( ) =
Biểu thức giữa các dấu ngoặc trong ( ), ( ) và ( ) bị chặn bởi | − ′|. Do
| − |
28
Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Trong phần đầu ta chỉ ra rằng đối với các miền phẳng liên thông đơn giản, bất đẳng thức Korn có hàm trọng tương đương với sự tồn tại trong không gian Sobolev có hàm trọng của bài toán Divergence. Tiếp theo chúng ta sử dụng tính giải được của bài toán Divergence để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình Stokes trong không gian Hilbert thích hợp.