Phương trình vi phân mô tả một hệ điều khiển tuyến tính có dạng chung [4]:
... ( 1) ... , 1 ) ( 0 1 1 ) ( 0y a y a y b g bg b g a m m m n n n + − + + = + − + + (2.12) Trong đó, y=y(t) - đại lượng đầu ra; g = g(t) – tác động đầu vào; t - biến thời gian; a0,…,am, b0,…,bm – các hằng số.
Sự thay đổi đáp ứng đầu ra của hệ thống được xác định là nghiệm tổng quát của phương trình (2.12), bao gồm hai thành phần:
y(t) = y0(t) + yr(t) (2.13) trong đó, y0(t) - nghiệm chung của phương trình (2.12), đặc trưng cho thành phần chuyển động tự do của đáp ứng ra, do bản chất động học của hệ thống quyết định; yr(t) - nghiệm riêng của (2.12), đặc trưng cho thành phần chuyển động xác lập của đáp ứng ra, xảy ra và phụ thuộc vào tác động kích thích g(t).
Giả sử hệ thống đang ở trạng thái xác lập nào đó, tức trạng thái chuyển động không có kích động (ban đầu). Nếu xuất hiện tín hiệu kích thích g(t) ≠0, hệ thống sẽ chuyển dần sang quỹ đạo chuyển động xác lập mới.
Nếu sau đó, triệt bỏ tiến hiệu kích thích: g(t) =0, thì thành phần chuyển động cưỡng bức cũng triệt tiêu: yr=0. Như vậy, hiển nhiên để cho hệ thống có thể quay về trạng thái ban đầu, tức là:
lim 0()=0
∞ → y t
t (2.14) Hệ thống thảo mãn điều kiện (2.14) gọi là hệ ổn định. Đó là định nghĩa về sự ổn định tiệm cận do Liapunov nêu ra từ cuối thế kỷ XIX. Theo định nghĩa này, để biết rằng hệ thống có ổn định hay không, ta chỉ cần xét nghiệm chung của phương
LÊ PHẤN DŨNG – KHÓA 2009 LỚP KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH 34/85 trình vi phân (2.12), hay nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất không vế phải tương ứng: () 01( ) ... 0() 0 1 1 0 0 + − − + +a y t = dt t y d a dt t y d a n n n n n (2.15) Theo ơle, ta có phương trình đặc tính tương ứng:
a0sn + a1sn-1 +…+an = 0. (2.16) Từ đó, có thể viết nghiệm của phương trình (2.4) dưới dạng:
=∑ st iei c t
y0() (2.17)
Trong đó, ci - hệ số; si (i=1,n) - nghiệm của phương trình đặc tính (2.16).
Các nghiệm si có thể là số thực hoặc số phức, trong đó, các nghiệm phức luôn luôn liên hợp với nhau từng đôi một. Hằng số ci là số thực nếu si là nghiệm thực, và ci là hằng số phức nếu si là nghiệm phức.
Giả sử phương trình đặc tính có các nghiệm phân biệt, trong đó, các nghiệm thực si = βi (i=1,p) và các cặp nghiệm phức si = α ± jωi (i=1,q), hiển nhiên p + 2q = n. Nếu biểu diễn các nghiệm trên mặt phẳng phức (hình 2.3) ta thấy các nghiệm phức nằm ngoài trục thực nhưng đối xứng nhau từng cặp qua trực thực. Những nghiệm có phần thực âm thì nằm bên trái trục ảo, còn những nghiệm có phần thực dương thì nằm bên phải trục ảo.
Về sau, các nghiệm của phương trình đặc tính gọi đơn giản là nghiệm đặc tính.
LÊ PHẤN DŨNG – KHÓA 2009 LỚP KỸ THUẬT NHIỆT - LẠNH 35/85 Từ đây, ta có định lý về ổn định:
Điều kiện cần và đủ để một hệ động học tuyến tính ổn định là tất cả các nghiệm đặc tính của hệ thống có phần thực âm, tức chúng phải nằm bên trái trục ảo của hệ toạđộ phức [4].
Hệ thống sẽ nằm ở biên giới ổn định, nếu có ít nhất một nghiệm nằm trên trục ảo còn các nghiệm khác nằm bên trái trục ảo.