Mô hình toán học của một bài toán dẫn nhiệt là một hệ phương trình vi phân (t), gồm phương trình vi phân DN và các phương trình mô tả các ĐKĐT như sau:
*Phương pháp toán tử laplace
Phương pháp toán tử là phương pháp giải một hệ phương trình vi phân bằng cách:
Chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ phương trình toán tử nhờ một phép biến đổi nào đó, ví dụ phép biến đổi Laplace. Hệ phương trình vi phân của toán tử
này có bậc thấp hơn phương trình vi phân ban đầu (thường là hệ phương trình vi phân thường hoặc phương trình đại số).
Tìm nghiệm toán tử và dùng phép biến đổi ngược xác định nghiệm gốc của bài toán đã cho.
*Phép biến đổi Laplace thuận
Định nghĩa: Phép biến đổi Laplace thuận là phép biến đổi hàm số f(t) thành hàm fˆ (s), theo quan hệ:
Hàm fˆ (s) gọi là ảnh (hoặc toán tử) Laplace của hàm gốc f(t), ký hiệu là L
[f(t)] = fˆ (s) Ví dụ:
*Tính chất của phép biến đổi Laplace:
Từđịnh nghĩa trên suy ra các tính chất:
*Biến đổi Laplace của hàm nhiều biến
Ảnh Laplace của hàm f(x,y) có thể nhận được bằng cách tích phân theo x hoặc theo y:
*Phép biến đổi Laplace ngược
Là phép biến đổi ảnh fˆ (s) cho trước ra hàm gốc f(t) của nó. Phép tính này có thể tìm f(t) theo công thức:
trong đó s là biến phức có cận giữa 2 số phức liên hợp s = x - iωđến s = x + iω với Res = x > 0 Hoặc có thể phân tích fˆ (s) ra các phân thức hữu tỷ dạng fˆ (s) = và dùng bảng tìm các gốc tương ứng rồi cộng lại. Tính chất phép biến đổi Laplace ngược (định lý tính chập): Nếu biết f(t), g(t) là gốc của ảnh fˆ(s), gˆ (s) thì gốc của tích các ảnh:
*Các bước của phương pháp Laplace giải một hệ phương trình vi phân
Chuyển hệ phương trình (T) đã cho thành hệ phương trình toán tử (Tˆ ) bằng cách nhân cả hai vế của các phương trình (T) với e−sf rồi tích phân theo F từ 0 đến
Tìm nghiệm toán tửTˆ (x;s) của hệ (Tˆ ).
Biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc T(x,τ) như là nghiệm của phương trình đã cho.
Phạm vi sử dụng phương pháp này chủ yếu phụ thuộc vào khả năng thực hiện phép biến đổi ngược Laplace.
*Mô hình bài toán
*Phát biểu bài toán
Cho vật bán vô hạn x ≥ 0 có nhiệt độđầu phân bốđều t(x,0) =to và biên loại 1 tại x = 0 là :
t(0, τ)= t1, ∀ τ > 0. Tìm t(x, τ) trong vật.
* Giải bằng phương pháp toán tử
Chuyển hệ (T) thành hệ (Tˆ ):
Vậy hệ (Tˆ ) có dạng:
Tìm nghiệm Tˆ (x,s):
Xác định nghiệm gốc T(x,τ): Tra bảng có:
Vậy nghiệm bài toán đã cho là:
Hay:
trong đó, erfc(x) là hàm sai số bù Gauss, Gauss' complementary errow function, xác
định bởi:
Hàm erfc(x) liên hệ với hàm sai số Gauss, Gauss’ errow function,là:
theo biểu thức erf(x) + erfc(x) = 1. Do đó có nghiệm:
Gọi:
Ta có: