*Định luật Fourier
Vectơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ: Biểu thức vectơ:
Dạng vô hướng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W]
Khi dS có vị trí bất kỳ thì q = - λ gradT Hay dạng vectơ dòng nhiệt là q r = - λ gradT r
*Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Là phương trình cân bằng nhiệt cho một phân tố dv bên trong vật.
Luật cân bằng nhiệt cho dV € V là:
[Lượng nhiệt phát sinh trong dV] - [Thông lượng nhiệt qua dV]= [Biến thiên entanpy của dV].
Cho trước (qv, ρ, cp, λ) ∈dV, có thể viết phương trình trên ở dạng:
Hay
trong đó dòng nhiệt qua dV là:
do đó:
Vậy phương trình có dạng:
Do
nên phương trình vi phân dẫn nhiệt sau khi đặt a =
Cp λ ρ , sẽ là: Với: Là tích vô hướng của của 2 véc tơ 2t t
∇ = ∆ là toán tử Laplace của nhiệt độ, có dạng:
*Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân dẫn nhiệt
Vật rắn có λ = const với mọi xyz phương trình là:
Vật rắn có λ = const , ổn định nhiệt ∂τ/∂t= 0, phương trình là:
Nếu không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì ∇2t = 0.
*Các loại điều kiện biên
Tại mỗi miền Wi của mặt biên kín W = ΣWi, tuỳ theo cách phân bố t hoặc cách trao đổi nhiệt, ta có thể cho biết các loại ĐKB sau đây:
ĐKB loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ t tại mọi điểm M1 ∈ W1 ở mọi thời điểm:
ĐKB loại 2: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua biên:
Tức cho biết:
Khi
tức biên W2 được cách nhiệt tuyệt đối hoặc là biên đối xứng, lúc này t đạt cực trị tại W2, và đường cong t(M) có tiếp tuyến nằm ngang.
ĐKB loại 3: Cho biết biên W3 tiếp xúc chất lỏng có tf, α và toả nhiệt ra chất lỏng theo luật: -λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tức cho biết
ĐKB loại 4: Cho biết luật CBN khi biên W4 tiếp xúc vật rắn khác, có nhiệt
độ t4 và λ4, tại M4 € W4, phương trình cân bằng nhiệt có dạng :
ĐKB loại 5: Cho biết luật cân bằng nhiệt trên biên W5 di động, do có sự
chuyển pha, trao đổi chất (khối lượng thay đổi) hoặc đang biến dạng:
với rc = nhiệt chuyển pha; dτ/dx5 = vận tốc biên