Nghiên cứu sách giáo viên, chúng tôi nhận thấy có những bài toán được gợi ý là nên dùng để tìm hiểu cách chứng minh khác về định lý, công thức tính diện tích (G8, tr. 169-174), nghĩa là cần giải quyết những bài toán ấy trong phạm vi hình học, từ đó đưa vào công thức tính diện tích của hình. Tuy nhiên, hướng dẫn giải sau đấy lại thiên về cách áp dụng công thức. Cũng như thế, trong hệ thống bài tập, đối với những bài có thể giải trong phạm vi hình học hoặc thực hiện bước chuyển sang phạm vi đại số thì sách giáo khoa lại ưu tiên cho kỹ thuật đại số (dùng công thức).
Thực nghiệm này được xây dựng để tìm hiểu quan niệm về diện tích được ưu tiên dạy trong thực tế, và những kỹ thuật giải toán được giáo viên mong đợi ở học sinh.
Đối tượng thực nghiệm là những giáo viên đang giảng dạy toán ở một số trường trung học cơ sở trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh.
Hình thức thực nghiệm: chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với giáo viên thông qua các “phiếu tham khảo ý kiến của giáo viên”. Giáo viên nhận phiếu, trả lời 5 câu hỏi bằng cách lựa chọn hoặc viết thêm vào phần chừa trống.
Số phiếu phát ra tương đối nhiều, nhưng trong khả năng cho phép, chúng tôi chỉ thu về được 22 phiếu của giáo viên các trường THCS Thăng Long (Quận 3), THCS Khánh Hội A (Quận 4), THCS Lam Sơn, THCS Nguyễn Văn Luông (Quận 6), THCS Bình Trị Đông (Bình Tân).
1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi
1.1.1. Câu 1
“Theo ý kiến của Thầy Cô, nên giải thích cho học sinh hiểu thế nào về diện tích một hình phẳng?”
Câu hỏi 1 được đưa ra nhằm tìm hiểu quan điểm của giáo viên trong việc dạy khái niệm diện tích cho học sinh.
Sách giáo khoa không đưa ra một định nghĩa tường minh nào cho khái niệm diện tích. Các tính chất được thừa nhận và nội dung chủ yếu là xây dựng các công thức tính.
Những câu trả lời có thể: những câu trả lời thu được có thể xếp vào hai nhóm chính, tương ứng với hai quan niệm về diện tích như sau:
– Quan niệm hình học: diện tích là bề mặt hình, phần mặt phẳng bị chiếm đóng. – Quan niệm số: diện tích là sốđo... (tính được bằng cách dùng công thức)
1.1.2. Câu 2
Liên quan đến việc dạy học “diện tích” ở bậc trung học cơ sở, theo ý kiến của Thầy Cô:
Không quan trọng Ít quan trọng Quan trọng Rất quan trọng 2a. Cung cấp cho HS định nghĩa về diện tích
2b. Chứng minh các công thức tính diện tích
2c. Cho HS làm nhiều bài tập về diện tích với cách giải không cần dùng đến công thức
2d. Yêu cầu HS thuộc công thức và ưu tiên dùng công thức để giải toán về diện tích
Dựa vào câu trả lời được giáo viên lựa chọn, chúng tôi có thể hiểu được thêm quan điểm của họ về mục đích của dạy học “diện tích” ở bậc trung học cơ sở.
1.1.3. Câu 3
“Có ý kiến cho rằng “có thể đưa ra một cách chứng minh khác về diện tích hình bình hành” thông qua việc trả lời câu hỏi ở bài tập 27 (SGK 8, tr. 125): “Vì sao hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF lại có cùng diện tích?”.
D C F E
Đối với bài tập này, Thầy Cô mong đợi ở học sinh câu trả lời nào sau đây?
Lời giải 1. DBCE = DADF (c-g-c) Þ SBCE = SADF
Þ SABED – SBCE = SABED – SADF Þ SABCD = SABEF.
Lời giải 2. Hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF có đáy chung là AB và có chiều cao bằng nhau, vậy chúng có diện tích bằng nhau.
Lời giải khác: ...”
Đây là một bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ Tss. Chúng ta biết rằng, đối với kiểu nhiệm vụ này, có thể sử dụng một trong hai kỹ thuật tĐS hoặc tHH. Hai lời giải chúng tôi đưa ra tương ứng với hai chiến lược khác nhau, mỗi chiến lược ứng với một trong hai quan điểm: quan điểm hình và quan điểm số về diện tích.
– Chiến lược hình học SHH: lời giải 1, không dùng công thức. – Chiến lược đại số SĐS: lời giải 2 (có sử dụng công thức).
Mục tiêu của các câu 3, 4, 5 trong phiếu thực nghiệm giáo viên là tìm hiểu chiến lược được ưu tiên đối với các bài toán có nhiều chiến lược giải.
1.1.4. Câu 4 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
“Gọi O là điểm nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác ABO và CDO bằng tổng diện tích của hai tam giác BCO và DAO.” (Bài tập 44, SGK 8, tr. 133)
Thầy Cô ưu tiên trình bày lời giải nào?
Lời giải 1. Qua O, kẻ hai đường thẳng song song với các cạnh, các giao điểm là M, N, P, Q (như hình vẽ). Ta có:
DOBM = DOBN, DOCN = DOCP,
DODP = DODQ, DOAQ = DOAM (g-c-g)
Suy ra: SOBM = SOBN, SOCP = SOCN, SODP = SODQ, SOAM = SOAQ Do đó: SOBM + SOAM + SOCP + SODP = SOBN + SOAQ + SOCN + SODQ Vậy SABO + SCDO = SBCO + SDAO.
Lời giải 2 Gọi khoảng cách từ O đến AB là x, khoảng cách từ O đến CD là y. Thế thì x + y = h. Ta có: OAB 1 . . 2 S = a x ; ODC 1 . . 2 S = a y
Suy ra, OAB ODC 1 . 1 ABCD
. .( ) .
2 2 2
a h
S +S = a x y+ = = S
Tương tự: OAD OBC 1 ABCD . 2 S +S = S A a B D C x O y A M B D P C Q O N
Vậy SABO + SCDO = SBCO + SDAO.
Lời giải khác: ...
Ø Các chiến lược - các câu trả lời có thể: hai lời giải được đề xuất tương ứng với câu trả lời có thể của hai chiến lược:
– Chiến lược hình học SHH: lời giải 1, không dùng công thức. – Chiến lược đại số SĐS: lời giải 2 (có sử dụng công thức).
1.1.5. Câu 5
“Trong hình vẽ bên, ABCD, CEFG là những hình vuông và ta chưa biết độ dài bất kỳ đoạn nào. Hãy đưa ra công thức tính SDAEG
sao cho số đoạn cần đo là ít nhất.” Với bài toán trên (học sinh có thể lấy thêm điểm, kẻ thêm đường, nếu cần), Thầy Cô mong đợi học sinh tìm SDAEG theo cách nào?
Yêu cầu “sốđoạn cần đo là ít nhất” được đặt ra nhằm hạn chế việc sử dụng các công thức có sẵn trong sách giáo khoa. Đối tượng thực nghiệm sẽ phải xem xét nhiều lời giải khác nhau và đưa ra lời giải có sốđoạn cần đo là ít nhất. Đối với bài toán này, để tính SDAEG, đoạn duy nhất cần đo là cạnh hình vuông CEFG.
Ø Các chiến lược - các câu trả lời có thể
– Chiến lược SCT: Vẽđường cao GH. Sử dụng công thức 1 . . 2
AEG
S = GH AE.
Câu trả lời theo chiến lược SCT cho thấy yêu cầu “số đoạn cần đo là ít nhất” bị xem nhẹ, người làm chỉ quan tâm đến yếu cầu “tính SDAEG” và nghĩ ngay đến công thức tính có sẵn. Họ sẽ không thể nào đưa ra được công thức tính SDAEGchỉ dùng sốđo một đoạn thẳng.
– Chiến lược SHH-CT: sử dụng các đường vuông góc có sẵn. Do đó, cần phân chia hình vẽ và sử dụng các tính chất của diện tích. + Lời giải 1, 1 HH CT S - : Gọi M là giao điểm của CD và AE. Ta có: 1 1 1 . . ( ) 2 2 2 1 . 2
AEG AMG EMG
S S S AD MG EC MG AD EC MG BE MG = + = + = + = A D G F B C E
Ta có: DEMC :DEAB (g-g), suy ra EC CM EC CM GM BE AB BE AB CE - = = = - 2 . EC GM BE Þ = Do đó, 1 2 2 AEG S = EC + Lời giải 2, 2 HH CT S - : 1 1 1 . . . . 2 2 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
AEG ABCD CEFG ABE EFG AGD
S S S S S S AB BC CE EF AB BE EF FG AD DG = + - - - = + - - - 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 AB CE AB AB CE EF AD CD CG = + - + - - - 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 AB CE AB AB CE CE AB AB CE CE = + - + - - - = + Lời giải 3, 3 HH CT S - : Gọi a là độ dài mỗi cạnh của hình vuông ABCD, b là độ dài mỗi cạnh của hình vuông CEFG. Diện tích hình thang ABCG: . . 2 2 ABCG AB CG a b S = + BC= + a
Diện tích hình tam giác ABE:
. ( ).
2 2
ABE ABCG
BE AB a b a S = = + =S
Do đó: SAMG =SMCE (cùng bớt đi diện tích tứ giác ABCM), và 2
1 2
AEG CEG
S =S = CE (cùng thêm vào diện tích tam giác EGM).
Nhìn chung, các lời giải theo chiến lược SHH-CT đều có thểđưa đến câu trả lời chúng tôi mong đợi: diện tích tam giác AEG bằng nửa diện tích hình vuông CEFG. Tuy nhiên, nếu không khéo léo trong việc xử lý tỷ lệ thức thì lời giải 1
HH CT S - cũng chỉ dừng lại ở công thức 1 . 2 AEG S = BE MG. Lời giải 3 HH CT S - đơn giản, gọn nhất nếu theo chiến lược SHH-CT, nhưng nó ít có cơ hội xuất hiện. Đề bài yêu cầu tính SDAEG thì nhiều khả năng, người ta sẽ nghĩ ngay đến các lời giải xuất hiện tên DAEG từđầu, trong khi
đó, 3
HH CT
S - lại xuất phát từ công thức tính diện tích hình thang ABCG, tam giác ABE. Như thế, lời giải 2
HH CT
S - có nhiều khả năng xuất hiện nhất, dù nó đòi hỏi triển khai và rút gọn công thức khá cồng kềnh.
– Chiến lược STCHH:
Dễ dàng kiểm tra được AC // GE, do đó: 1 2 2
AEG CEG
S =S = CE .
Chiến lược STCHH sử dụng một tính chất hình học về diện tích “hai tam giác có cùng đáy và đỉnh thuộc cùng đường thẳng song song với đáy thì có cùng diện tích” để cho kết quả. Chiến lược này có nhiều cơ hội xuất hiện hơn nếu người trả lời đã biết tính chất trên và nắm vững đặc điểm của mỗi loại đa giác. Lời giải theo chiến lược STCHH là lời giải tối ưu, nhưng ít khả năng xuất hiện, đặc biệt là khi việc tính diện tích luôn gắn liền với các công thức tính.
1.2. Phân tích a-posteriori
1.2.1. Câu 1. Câu hỏi đầu tiên nhắm hỏi quan niệm diện tích được ưu tiên giảng dạy. Có 06 giáo viên trả lời nhầm sang tiến trình dạy khái niệm diện tích. Kết quả thống kê câu trả lời thể hiện quan niệm về diện tích của 16 giáo viên còn lại cho thấy 12 người trả lời theo phương án “diện tích là số đo....” (quan niệm số), 04 người quan niệm diện tích đa giác như bề mặt đa giác (phần mặt phẳng bị chiếm đóng). Kết quả này cho thấy quan niệm số nổi trội hơn quan niệm hình học.
1.2.2. Câu 2. Chúng tôi có bảng thống kê kết quả các ý kiến của giáo viên
Không quan trọng Ít quan trọng Quan trọng Rất quan trọng 2a. Cung cấp cho HS định nghĩa về diện tích 2 9 3 8
2b. Chứng minh các công thức tính diện tích 1 5 14 1
2c. Cho HS làm nhiều bài tập về diện tích
với cách giải không cần dùng đến công thức 3 10 9 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2d. Yêu cầu HS thuộc công thức và ưu tiên
dùng công thức để giải toán về diện tích 0 0 11 11 Qua bảng trên, chúng tôi nhận giáo viên đặt nặng việc “học sinh thuộc công thức và ưu tiên dùng công thức để giải toán diện tích”. Trong khi đó, các dạng bài tập về diện tích với cách giải không dùng đến công thức (giải trong phạm vi hình học) ít được quan tâm. Như thế, các mệnh đề giữ vai trò yếu tố công nghệ, cho phép so sánh, tìm tỉ số diện tích của hai hình trong phạm vi hình học cũng sẽ ít được coi trọng.
1.2.3. Câu 3. Theo G8 (tr. 174), bài toán ở câu 3 này có thể dùng để tìm hiểu cách chứng minh khác về diện tích hình bình hành (phạm vi hình học). Tuy nhiên, lời giải
được đề nghị lại thiên về ứng dụng công thức diện tích hình bình hành (phạm vi đại số). Ý kiến của 22 giáo viên thu được như sau:
– 18/22 giáo viên mong đợi lời giải 2 trong phạm vi đại số; – 04/22 giáo viên mong đợi lời giải 1 trong phạm vi hình học.
Một bài toán có nhiều cách giải và phần lớn giáo viên mong đợi cách giải trong phạm vi đại số, có ứng dụng công thức. Việc sử dụng công thức có thể giúp lời giải đơn giản, dễ hiểu hơn và đồng thời gắn kết chặt hơn diện tích với các công thức, quan niệm số...
1.2.4. Câu 4. Nghiên cứu những lời giải của các giáo viên tham gia thực nghiệm, chúng tôi thấy:
– 17/22 giáo viên mong đợi lời giải 2 trong phạm vi đại số; – 05/22 giáo viên mong đợi lời giải 1 trong phạm vi hình học.
Hầu hết giáo viên vẫn mong đợi lời giải trong phạm vi đại số. Các công thức được xem như chìa khóa để giải toán diện tích.
Kết quả thu được từ câu 3, 4 trong bài thực nghiệm cho phép xác nhận kết quả lựa chọn của giáo viên ở câu 2: luôn ưu tiên dùng công thức để giải toán diện tích.
1.2.5. Câu 5. Có 06 giáo viên không đưa ra đến lời giải cho câu 3. Lời giải của 16 giáo viên còn lại được thống kê theo các nhóm chiến lược giải dưới đây:
– Chỉ 01 giáo viên đưa ra lời giải theo chiến lược STCHH, không cần thực hiện các phép biến đổi đại số phức tạp để đưa ra kết quả mà chúng tôi mong đợi.
– 15 giáo viên đưa ra lời giải theo chiến lược SHH-CT. Các giáo viên này có chú ý đến việc phân chia hình để tận dụng các đường vuông góc có sẵn. Có 02 giáo viên chia hình cần tính diện tích và sử dụng tam giác đồng dạng, định lý Thalès để thiết lập mối quan hệ giữa hai công thức diện tích ( 1
HH CT
S - ). 13 giáo viên chọn phương án ghép thêm vào hình cần tính diện tích và thực hiện khai triển, rút gọn các biểu thức đại số ( 2
HH CT
S - ) để tìm được công thức mong đợi. Như vậy, yêu cầu đưa ra công thức tính
diện tíchsao cho số đoạn cần đo là ít nhất và các đường vuông góc có sẵn trong hình sẽ cản trở việc sử dụng ngay công thức tính diện tích tam giác đối với AEG.
1.3. Kết luận
Kết quả thực nghiệm đối với giáo viên cho thấy:
– Ở bậc trung học cơ sở, khái niệm diện tích được dạy thiên về quan niệm số. – Giáo viên mong đợi học sinh thuộc các công thức và ưu tiên sử dụng các chiến lược giải toán có dùng công thức.
2. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH 2.1.THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT
Ø Mục tiêu thực nghiệm: kiểm tra giả thuyết H2 đã rút ra từ phân tích sách giáo khoa.
Ø Đối tượng thực nghiệm: học sinh đã học xong chương Diện tích (thực nghiệm vào cuối học kỳ II lớp 8, đầu học kỳ I lớp 9) của các trường THCS Khánh Hội A và ở Gò Vấp.
2.1.1. Phân tích a-priori
2.1.1.1. Câu 1
“Bạn An thắc mắc “thế nào là diện tích của một hình?”. Em hãy viết tiếp vào phần chừa trống để giải thích cho An và nếu cần thì em có thể cho ví dụ minh họa.
* Diện tích của một hình là ...”
Với câu hỏi 1, chúng tôi muốn tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm diện tích. Những câu trả lời thu được có thể xếp vào hai nhóm chính, tương ứng với hai quan niệm về diện tích như sau:
– Quan niệm hình học: diện tích là bề mặt hình, phần mặt phẳng bị chiếm đóng. – Quan niệm số: diện tích là sốđo... (tính được bằng cách dùng công thức) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.1.1.2. Câu 2
“Cho tam giác ABC; M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm giá trị n sao cho ta có đẳng thức: SABC = n.SMNP
Trình bày tất cả các cách làm mà em tìm được.”
Đây là một bài toán mà Valentina từng sử dụng trong thực nghiệm thực hiện trên học sinh Pháp và Ý. Trong đó, lời giải lời giải bài toán được xếp vào thành các nhóm sau:
– Dùng công thức tính; – Dùng tam giác bằng nhau; – Dùng phép biến hình hình học; – Dùng các tam giác đồng dạng.
Chúng tôi đã sử dụng lại bài toán này của Valentina với mục đích tìm hiểu