3. Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8
3.1.Về định nghĩa, tính chất của diện tích
M8 xem diện tích là một khái niệm quen thuộc đối với học sinh và hướng học sinh hiểu “diện tích cũng là một số đo” (tr. 116):
“Xét các hình A, B, C, D, E vẽ trên lưới kẻ ô vuông, mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích.
a) Kiểm tra xem có phải diện tích hình A là diện tích 9 ô vuông, diện tích hình B cũng là diện tích 9 ô vuông hay không?
Ta nói: diện tích hình A bằng diện tích hình B.
b) Vì sao ta nói: diện tích hình D gấp 4 lần diện tích hình C? c) So sánh diện tích hình C với diện tích hình E.” (M8, tr. 116)
“Diện tích hình A là diện tích 9 ô vuông”. Như vậy, diện tích của một hình mang nghĩa số ô vuông đơn vị cần phủ kín hình ấy.
Sau hoạt động vừa nêu, M8 đưa ra nhận xét (tr. 117):
· Sốđo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác
đó.
· Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.
Chúng tôi nhận thấy, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm diện tích theo tinh thần của lý thuyết độđo. Hai nhận xét ở trên thừa nhận sự tồn tại của một ánh xạ m đi từ tập hợp các đa giác vào tập hợp các số thực dương ¡+, và sốđo ( )m P được gọi là diện tích của đa giác P. Vấn đề là ánh xạ m ấy có những tính chất gì, và tìm số đo
( )P
m của đa giác P ra sao?
Các tính chất đặc trưng của diện tích đa giác được thừa nhận ở trang 117: 1. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
2. Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
3. Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1 cm, 1 dm, 1 m, ... làm đơn vịđo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là 1 cm2, 1 dm2, 1 m2, ...
Tính chất (2) là tính chất cộng tính. Tính chất (1) là tính bất biến qua phép đẳng cự (dời hình). Tính chất này được đề cập trong toán học với trường hợp “đa giác”, còn trong sách giáo khoa được trình bày với trường hợp “tam giác”. Tam giác là một trường hợp đặc biệt của đa giác. Hơn nữa, mọi đa giác đều có thể phân hoạch thành các tam giác và nhờ tính cộng tính, tính chất (1) trong sách giáo khoa mở rộng đến trường hợp đa giác.
Như vậy, ánh xạ diện tích m được ngầm nhắc đến thỏa các tính chất của hàm độ đo. Theo cách tiếp cận này, phải chăng sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơn cho quan điểm số về diện tích?
Sự tồn tại và thỏa các tính chất cần thiết của ánh xạ diện tích m đã được thừa nhận. Hình vuông đơn vị Cđược chọn làm đơn vị đo diện tích ( ( ) 1m C = ). Vấn đề tìm sốđo SP =m( )P tương ứng với mỗi đa giác Pđược giải quyết bằng cách đưa vào các công thức tính diện tích.
3.2. Về các công thức tính diện tích
– Hình đầu tiên được đưa vào công thức tính diện tích ở bậc trung học cơ sở cũng là hình chữ nhật. Công thức được thừa nhận, không chứng minh:
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S = a.b
(M8, tr. 117)
Chúng tôi nhắc lại rằng, trong tình huống thiết lập quy tắc tính diện tích hình chữ nhật ở tiểu học, sốđo các cạnh là số tự nhiên. Sau đó, ngầm mở rộng cho trường hợp sốđo các cạnh là phân số, số thập phân. Vì lý do sư phạm và chứng minh chặt chẽ đòi hỏi các kiến thức về giới hạn, sách giáo khoa lớp 8 thừa nhận, không chứng minh định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật. Ở thời điểm đưa vào công thức, học sinh đã hoàn thiện tập hợp số hữu tỷ và cũng đã học những số vô tỷ. Như thế, chúng ta có thể xem công thức được thừa nhận cho trường hợp sốđo cạnh là số thực dương.
– Với quan điểm “hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật, tam giác vuông là nửa hình chữ nhật” (tr. 117), M8 đưa vào:
· Công thức tính diện tích hình vuông: 2
S =a .
· Công thức tính diện tích hình tam giác vuông: 1. . 2
S = a b
– Công thức tính diện tích tam giác 1. . 2
S = a h được chứng minh bằng cách xét các trường hợp tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác tù. Tuy có sự chia hình, làm xuất hiện các tam giác vuông, nhưng công thức tính diện tích tam giác được ưu tiên chứng minh dựa trên các tính toán đại số thay vì đưa về hình chữ nhật tương đương. Ví dụ về trường hợp tam giác nhọn được trình bày ở trang 121: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
“Tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà:
1 . 2 BHA S = BH AH , 1 . 2 CHA S = HC AH Vậy 1 1 ( ). . 2 2 ABC S = BH HC AH+ = BC AH”
– Với các tứ giác đơn giản khác (hình thang, hình bình hành, hình có hai đường chéo vuông góc/hình thoi), đa giác n cạnh, công thức tính diện tích được đưa vào bằng
b a
cách chia đa giác thành các tam giác và dựa vào tính chất cộng tính để thực hiện tính toán đại số. Để nhìn rõ sự tiến triển của chương trình, nét đặc trưng của các sách giáo khoa tiểu học và lớp 8 về diện tích đa giác phẳng, chúng tôi lập bảng so sánh sau:
Tiểu học Trung học cơ sở
Trình tự đưa vào công thức
1. Diện tích của hình chữ nhật 2. Diện tích hình vuông 3. Diện tích hình bình hành 4. Diện tích hình thoi 5. Diện tích hình tam giác 6. Diện tích hình thang 1. Diện tích hình chữ nhật
2. Diện tích hình vuông/tam giác vuông 3. Diện tích hình tam giác
4. Diện tích hình thang/hình bình hành 5. Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc/hình thoi 6. Diện tích đa giác bất kỳ
Kỹ thuật chủ yếu được dùng khi đưa vào công thức mới
Cắt - ghép hình để có hình chữ nhật tương đương - cùng diện tích (phạm vi hình học)
Phân chia hình thành các tam giác và thực hiện tính toán đại số trên các công thức (phạm vi đại số)
Bảng 2.1. Công thức tính diện tích trong chương trình tiểu học, trung học cơ sở
Giống như bậc tiểu học, ở lớp 8, việc xây dựng các công thức tính diện tích đa giác cũng bắt đầu từđịnh nghĩa diện tích hình vuông đơn vị, tiếp theo, sách giáo khoa đưa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật. Sau đấy thì có khác biệt. Chẳng hạn, công thức tính diện tích tam giác được đưa vào sau hình bình hành ở bậc tiểu học, nhưng ở bậc trung học cơ sở, trình tự có đảo ngược.
Theo chúng tôi, kỹ thuật được sử dụng thiết lập công thức tính cũng là một trong những yếu tố tác động đến trình tựđưa vào các công thức. Bậc tiểu học sử dụng phương pháp cắt - ghép, tạo hình chữ nhật cùng diện tích. Bậc trung học cơ sở sử dụng kỹ thuật “phân chia đa giác đó thành các tam giác” và tính toán trong phạm vi đại số để thiết lập công thức, tìm ra sốđo tương ứng với đa giác đó. Đưa vào các công thức tính diện tích các tứ giác đơn giản, dường như sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc tính toán, chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số. Ngoài ra, phần lý thuyết chỉ có tính chất “hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích”, thiếu vắng các mệnh đề cho phép so sánh diện tích của hai hình không bằng nhau trong phạm vi hình học.