3. Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8
3.3. Về các tổ chức toán họ c
Trong phần này, chúng tôi phân tích những ví dụ, bài tập được đưa vào M8 và
E8. Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra các tổ chức toán học hiện diện trong sách giáo khoa.
3.3.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1 (tính diện tích của một đa giác)
T1. Tính diện tích của một đa giác
Đây chính là kiểu nhiệm vụđầu tiên, T1v, mà Valentina đã đề cập đến khi phân tích các sách giáo khoa của Ý và Pháp. Nếu cần phân biệt một cách rạch ròi kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này, chúng ta có thể dựa vào đặc trưng của đa giác cần tính diện tích.
* Đa giác đã có công thức tính diện tích (đa giác đơn giản):
Ví dụ: Bài tập 14 (M8, tr. 119)
“Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m. Hãy tính diện tích đám đất đó...
Giải:
Diện tích: S =700 400 280000´ = (m2)” + Kỹ thuật giải t1:
– Xác định các độ dài cần thiết
– Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có.
+ Yếu tố công nghệ q1: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản.
Đối với dạng này, các hình vẽ ít có ý nghĩa, thậm chí không cần đến sự xuất hiện của hình vẽ.
* Đa giác chưa có công thức tính diện tích:
Ví dụ: Bài tập 37 (M8, tr. 130)
“Thực hiện các phép đo cần thiết (chính xác đến mm) để tính diện tích hình ABCDE
” Hướng dẫn giải:
“Đa giác ABCDE được chia thành tam giác ABC, hai tam giác vuông AHE, DKC và hình thang vuông HKDE.
Cần đo các đoạn thẳng (mm): BG, AC, AH, HK, KC, EH, KD.
Tính riêng SABC,SAHE, SDKC, SHKDE, rồi lấy tổng bốn diện tích trên.” (G8, tr. 179) + Kỹ thuật giải t1bs:
– Phân chia đa giác cần tính diện tích về các đa giác đơn giản – Xác định các độ dài cần thiết
– Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có.
Đoạn “có thể chia đa giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác nào đó có chứa đa giác”, “trong một số trường hợp [...] ta có thể chia đa giác thành nhiều tam giác vuông và hình thang vuông”... (M8, tr. 129) có thể xem như lời hướng dẫn, giải thích cho học sinh cách phân chia.
+ Yếu tố công nghệq1bs: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản, các tính chất của diện tích.
+ Yếu tố lý thuyết Q1: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)...
Trong toàn bộ hệ thống bài tập, chỉ có duy nhất một câu ở bài 41b (M8, tr. 132), hình cần tính diện tích là một hình thang - có sẵn công thức tính - nhưng kỹ thuật giải lại dựa vào việc đưa về tính diện tích hai tam giác rồi sử dụng tính chất diện tích, thực hiện phép trừđể tìm diện tích hình thang ấy. Tuy nhiên, chúng ta cần chú ý rằng, trong trường hợp này, sách giáo khoa đã “quên” đi hình đấy là hình thang mà chỉ sử dụng câu lệnh “tính diện tích tứ giác EHIK”.
Ở đây, chúng tôi tìm thấy vết của tổ chức toán học OM1 được xây dựng từ kiểu nhiệm vụ Ttính. Như bảng 1.1 đã chỉ ra, có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Hiển nhiên, kỹ thuật dùng tích phân phải chờđến lớp 12 mới xuất hiện.
3.3.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2 (so sánh diện tích các đa giác)
Trong M8, chúng tôi cũng tìm thấy những nhiệm vụ thuộc kiểu T2v mà Valentina đã chỉ ra khi nghiên cứu sách giáo khoa Ý và Pháp. Đó là “so sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ phận của nó”. Kỹ thuật giải là sử dụng công thức tính, chuyển sang so sánh trong phạm vi số. Ngoài ra, phân tích hệ thống bài tập, chúng tôi nhận thấy có những bài về so sánh diện tích hai đa giác thuộc kiểu nhiệm vụ Tss, chẳng hạn:
“Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm. [...]. So sánh diện tích hình chữ nhật với hình vuông có cùng chu vi...” , (M8, tr. 119, bài tập 15)
Lời giải được đưa ra trong G8 là: “SABCD = 15cm2.
Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật là (3 5).2 4 4
+ =
(cm). Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (cm2)
Vậy Shình chữ nhật < Shình vuông.” (G8, tr. 166) + Kỹ thuật giải t2:
– Sử dụng công thức để tính diện tích mỗi hình; – So sánh các kết quả thu được và kết luận.
+ Yếu tố công nghệq2 là các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản đã được trình bày ở phần lý thuyết.
+ Yếu tố lý thuyết Q2: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)...
Từ T2, sách giáo khoa đã xây dựng một tổ chức toán học với các yếu tố công nghệ, lý thuyết mà chúng tôi nêu trên. Đó chính là vết của OM2. Đối chiếu với bảng 1.2, ta thấy sách giáo khoa cũng chỉ sử dụng kỹ thuật tĐS, kỹ thuật tHH không được khai thác.
3.3.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3 (Chứng minh tỉ số diện tích của hai đa giác bằng một số cho trước)
Từ T3, M8 đã xây dựng một tổ chức toán học là vết của OM3. Liên quan đến T3, khi phân tích các sách giáo khoa Ý, Pháp, Valentina đưa ra kiểu nhiệm vụ T3v, “chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ phận của nó bằng một số cho trước”. Những bài tập như thế cũng có trong sách giáo khoa Việt Nam. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi còn tìm thấy những bài tập dạng chứng minh hai đa giác có cùng diện tích, nghĩa là tỉ số diện tích giữa hai đa giác bằng 1 mà kỹ thuật giải có khác, nhưng vẫn nằm trong phạm vi hình học.
* Kiểu nhiệm vụ con T3a: chứng minh hai đa giác có cùng diện tích. Ví dụ: Bài tập 13 (M8, tr. 119)
“ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC, FG // AD và HK // AB. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.
” Lời giải được đề nghị: “Ta thấy:
SABC = SADC
SAFE = SAHE
SEKC = SEGC
Suy ra: SABC – SAFE – SEKC = SADC – SAHE – SEGC
hay SEFBK = SEGDH” (G8, tr. 165)
Kỹ thuật giải t3a: chia mỗi đa giác ban đầu sao cho có các cặp đa giác, tam giác bằng nhau; hoặc thêm/bớt các đa giác có cùng diện tích...
* Kiểu nhiệm vụ con T3b (tỉ số khác 1) Ví dụ: Bài tập 34
“Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. [...] So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.” (M8, tr. 128) “Dễ dàng thấy rằng 1 1 1 . . 2 2 2 MNPQ ABCD S = S = AB BC = MP NQ” (G8, tr. 177) G8 xem tỉ số giữa diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật bằng 1 2 là “dễ dàng” đối với học sinh. Học sinh có thể nhận thấy:
· Hình thoi MNPQ được chia thành 4 tam giác: MNI, NIP, PIQ, QIM.
· Hình chữ nhật ABCD được chia thành 8 tam giác: MNI, NIP, PIQ, QIM, AMN, NBP, PCQ, MDQ.
· Các tam giác trên bằng nhau. Do đó, 1 2
MNPQ ABCD
S = S .
Trong trường hợp này, sự bằng nhau về diện tích của hai tam giác bằng nhau được thừa nhận ở tính chất đầu tiên của diện tích.
Kỹ thuật giải t3b (phạm vi hình học): chia mỗi đa giác ban đầu thành các tam giác có cùng diện tích.
Hai kiểu nhiệm vụ T3a, T3b có cùng yếu tố công nghệ q3, đó là các mệnh đề về sự bằng nhau của diện tích hai tam giác.
Phần lý thuyết chỉ đưa vào tính chất hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích, thiếu đi trường hợp hai tam giác không bằng nhau nhưng vẫn cùng diện tích. Hệ quả là các công thức sẽđược sử dụng để giải thích cho sựđẳng diện của hai tam giác.
Yếu tố lý thuyết Q3: định lý về công thức tính diện tích tam giác (phạm vi số), các định lý về các trường hợp bằng nhau của tam giác...
A N B
D Q C
Bên cạnh ba tổ chức toán học tương ứng với các tổ chức toán học T1v, T2v, T3v
mà Valentina xác định trong các sách giáo khoa Ý, Pháp, chúng tôi còn tìm thấy ở sách giáo khoa Việt Nam những tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ khác.
3.3.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T4 (tìm độ dài thỏa mãn một điều kiện về diện tích)
Kiểu nhiệm vụ T4 được chúng tôi đặt tên là “tìm độ dài thỏa điều kiện diện tích”.
Ví dụ: Bài tập 32 (E8, tr. 130-141) “Tìm x biết đa giác có diện tích là 3375m2.
Giải:
Đa giác đã cho gồm một hình thang và một tam giác
50 70 .30 1800 2 hinh thang S = + = (m2) Stam giác = 3375 – 1800 = 1575 (m2) 2.1575 45 70 h= = (m), x = 45 + 30 = 75 (m)” + Kỹ thuật giải t4: – Xác định diện tích của một hình...
– Thay số vào công thức, giải phương trình (nếu cần) để tìm độ dài. + Yếu tố công nghệ tối tiểu q4: định lý về công thức tính diện tích.
+ Yếu tố lý thuyết Q4: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)...
3.3.5. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T5 (Vẽ các đối tượng hình học thỏa mãn một điều kiện về diện tích)
Ví dụ ở trang 124, M8, là một nhiệm vụ thuộc kiểu T5 - vẽ các đối tượng hình học (điểm, hình) thỏa điều kiện diện tích.
“Cho hình chữ nhật với hai kích thước a, b. Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật đó.
Giải:
Tam giác có cạnh bằng a muốn có diện tích bằng a.b thì chiều cao ứng với cạnh a phải bằng 2b. Một trong những tam giác như thế...
+ Kỹ thuật giải t4:
– Từđiều kiện đã cho và công thức tính diện tích, tìm mối quan hệ giữa các độ dài;
– Vẽ hình từ mối quan hệ giữa các độ dài tìm được... + Yếu tố công nghệq4: công thức tính diện tích.
+ Yếu tố lý thuyết Q4: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)...
Về bản chất, tổ chức toán học mà M8 đã xây dựng từ T5 chính là vết của OM4. Lời giải trên cho thấy công thức cũng giữ một vai trò trung gian nối khớp giữa hai phạm vi hình và số.
3.3.6. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T6 (Chứng minh tỉ số độ dài nhờ diện tích)
Ví dụ: Bài tập 51 (E8, tr. 132-146)
“Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng: ' ' ' 1 ' ' ' HA HB HC AA + BB + CC = Giải:
Ta có: SHBC +SHAC +SHAB =SABC Suy ra: HBC HAC HAB 1
ABC ABC ABC
S S S S + S +S = tức là: '. '. '. 1 '. '. '. HA BC HB AC HC AB AA BC + BB AC + CC AB = hay: ' ' ' 1 ' ' ' HA HB HC AA + BB +CC = ”. + Kỹ thuật giải t6
– Sử dụng công thức, tính diện tích một hình bằng nhiều cách khác nhau, thông qua các cặp cạnh khác nhau;
– Sử dụng tính duy nhất của diện tích một hình để suy ra đẳng thức cần chứng minh.
+ Yếu tố công nghệ q6: công thức tính diện tích, tính chất của diện tích (sự tồn tại duy nhất của sốđo diện tích một hình).
+ Yếu tố lý thuyết Q6: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận)...
Nói chung, các công thức có thể giữ vai trò yếu tố công nghệ (để dễ theo dõi, chúng tôi sẽ dùng chung ký hiệu qCT) như trong các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T4, T5, T6 hoặc vai trò yếu tố lý thuyết nhưở tổ chức toán học gắn với T3. Các công thức tính diện tích (ngoại trừ trường hợp hình chữ nhật được thừa nhận) đều được hợp thức bởi các tính chất của diện tích, các định lý về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác... Các tính chất, định lý giải thích cho qCT thuộc vào các yếu tố lý thuyết QCT.
Các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T4, T5, T6 có chung yếu tố công nghệ qCT. Chúng tôi tán thành với Valentina là năm kiểu nhiệm vụ trên lập thành một tổ chức toán học. Chúng tôi gọi đó là OMCT. Trong OMCT, đặc trưng số nổi trội so với đặc trưng hình, các kỹ thuật đều sinh ra từ qCT là các công thức tính diện tích. Những công thức cần sử dụng để tích diện tích đa giác đều đã được đưa vào trong
M8. Về cơ bản, các công thức đều được M8 chứng minh, giải thích. Do đó, chúng ta có thể xem tổ chức toán học OMCT về cơ bản là đầy đủ.
Tổ chức toán học [T3i, t3i, q3, Q3] với i = a hoặc i = b, ký hiệu là OMHH, có kỹ thuật giải t3i mang đặc trưng hình học, dựa vào các mệnh đề về sựđẳng diện của hai đa giác để giải toán. Nghiên cứu các tác phẩm Cơ bản (Euclide), Cơ sở hình học (Hilbert), chúng ta thấy các mệnh đề ấy có thể chứng minh trong phạm vi hình học, không cần sử dụng công thức. Tuy nhiên, phần lý thuyết của M8 chưa nêu đủ các yếu tố công nghệ cần thiết để giải thích cho kỹ thuật trong phạm vi hình học, nói cách khác, tổ chức toán học OMHH chưa đầy đủ. Cụ thể, M8 giới thiệu tính chất đẳng diện của hai tam giác đồng nhất, không đề cập đến những trường hợp khác. Để giải thích những mệnh đềấy dưới dạng giải bài tập, học sinh cần sử dụng đến công thức.
Chúng tôi thống kê số lượng các nhiệm vụ theo mỗi kiểu nhiệm vụ trong bảng 2.2.
Dựa vào bảng 2.2, chúng ta có thể nhận thấy hầu hết các bài tập là vận dụng các công thức tính. Hơn nữa, trong số 17 nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T3 thì có 7 nhiệm vụ có dùng đến hai tam giác cùng diện tích nhưng không đồng nhất, nói cách khác là công thức ngầm xuất hiện ở vai trò yếu tố lý thuyết. Như vậy, chỉ có 10/136 nhiệm vụ được giải bằng các tính chất, không cần dùng đến công thức và 126/136 nhiệm vụ cần đến công thức.
Trong số 126 nhiệm vụ cần đến công thức, chúng tôi nhận thấy có:
· 24 nhiệm vụ (5 bài tập) sử dụng công thức để thiết lập mối quan hệ hàm số giữa độ dài và diện tích;
· 55 nhiệm vụ sử dụng công thức trong phạm vi đại số, dùng chữ thay số để tính toán, so sánh... Số lượng Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật Công nghệ Lý thuyết Ví dụ SGK SBT Tổng T1. Tính diện tích t1 qCT QCT 3 19 31 53 t1 qCT QCT 1 13 23 37 t1bs qCT+TC QCT 2 6 8 16 T2. So sánh diện tích t2 qCT QCT 18 10 28 T3.Chứng minh tỉ số diện tích 9 8 17 T3a (tỉ số bằng 1) t3a T/chất... CT+TC 6 5 11 T3b (vết của T3v) t3b T/chất... CT+TC 3 3 6 T4. Tìm độ dài t4 qCT QCT 3 16 19 T5. Vẽ hình t5 qCT QCT 2 9 4 15 T6. Chứng minh tỉ sốđộ dài nhờ diện tích t6 qCT QCT 1 3 4 Tổng 5 59 72 136
Bảng 2.2. Bảng thống kê theo kiểu nhiệm vụ
Tổ chức toán học Ví dụ SGK SBT Tổng
OMCT 5 50 64 119
OMHH 9 8 17
Tổng 5 59 72 136
Bảng 2.3. Bảng thống kê theo tổ chức toán học