2.3.1 Ước lượng dựa trờn quang phổ
Cỏc phương phỏp trỡnh bày trong phần này xõy dựng một quang phổ mà từ đú cỏc tham số định hướng của kờnh được ước lượng. Cỏc thuật toỏn được thiết kế sao cho cỏc hướng súng tới (DoA) tương ứng với cỏc đỉnh trờn quang phổ.
Beamformer thụng thường (Conventional Beamformer: Định dạng chựm tia thụng thường )
Beamformer thụng thường (Bartlett) được định nghĩa là cỏc vộc tơ trọng lượng (weight vector) nhằm tối đa cụng suất đầu ra, giả định rằng cỏc tớn hiệu nhận được chỉ là một phần, đến từ hướng .
Phổ khụng gian thu được là:
a ( ) R a( ) ( ) a ( )a( ) H y BF H P (2.3) Cỏc DoA được xỏc định là cỏc giỏ trị của tương ứng với cỏc đỉnh trong quang phổ.
Capon’s Beamformer
Một vài cải tiến đó được đề xuất để khắc phục những hạn chế của conventionl beamformer, đặc biệt là đối với độ phõn giải gúc của phổ tần khụng gian và khả năng của beamformer đến cỏc nguồn riờng biệt gần nhau. Một cỏch tiếp cận để tăng độ phõn giải quang phổ khụng gian được đưa ra bởi Capon’s Beamformer, giảm thiểu cụng suất đầu ra cho tất cả cỏc hướng, ngoại trừ hướng quan tõm. Phổ khụng gian thu được như sau :
1 1 ( ) a ( ) R a( ) CAP H y P (2.4) Capon’s beamformer sử dụng tất cả mức độ tự do cho cỏc hướng nulling khỏc hơn hướng quan tõm. Điều này dẫn đến một khả năng tốt hơn để phõn tỏch cỏc nguồn gần nhau hơn so với beamformer thụng thường.
Hỡnh dưới đõy biểu thị một vớ dụ đầu ra của Capon và Bartlett beamformers cho hai nguồn tại 80o và 110o, rừ ràng độ phõn giải cao hơn trong Capon’s beamformer.
Hỡnh 2.3: Phổ khụng gian thu được của Bartlett và Capon’s beamformers cho hai nguồn 80ovà 110o.
MUSIC
Cỏc phương phỏp khụng gian con cơ bản dựa trờn sự tỏch biệt của khụng gian con tớn hiệu và tiếng ồn, cung cấp độ phõn giải thậm chớ cũn cao hơn cho cỏc nguồn gần nhau. Kỹ thuật phõn loại tớn hiệu đa đường ( Multiple signal classification: MUSIC) là nguồn gốc của cỏc vấn đề ước lượng hướng thụng tin trong hệ thống MIMO, và được dựa trờn cấu trỳc của ma trận hiệp phương sai tớn hiệu. Tương tự như vậy đối với cỏc phương phỏp beamforming, ước lượng hướng tương ứng với đỉnh của phổ giả MUSIC, được cho bởi :
US a ( )a( ) ( ) a ( )V V a( ) H M IC H H n n P (2.5) Cỏc cột của ma trận Vnlà vộc tơ đặc trưng của khụng gian con nhiễu.
Cỏc đỉnh tương ứng với cỏc hướng thực tế do tớnh trực giao giữa khụng gian con tớn hiệu và khụng gian con nhiễu.
Hỡnh 2.4: Phổ khụng gian thu được của Bartlett và Capon’s beamformers và phổ MUSIC cho hai nguồn 80ovà 90o.
Độ phõn giải của phổ MUSIC cao hơn rất nhiều so với Capon’s beamformer như thể hiện trong hỡnh 2.4 cho hai nguồn là o
80 và 90o. Trong thực tế, độ phõn giải của ước lượng MUSIC khụng phụ thuộc vào cấu tạo mảng nhưng phụ thuộc SNR, kớch thước mẫu và độ chớnh xỏc của mụ hỡnh tớn hiệu. Tuy nhiờn, hiệu suất giảm nếu cỏc tớn hiệu tương quan cao, vớ dụ như là một kết quả của truyền lan đa đường. Trong trường hợp cỏc tớn hiệu kết hợp trong phương phỏp này khụng mang lại ước lượng phự hợp. Một số phần mở rộng của MUSIC trong nhiều tài liệu khắc phục được những hạn chế và cải thiện hiệu suất ước lượng núi chung.
2.3.2 Ước lượng dựa trờn cấu hỡnh anten cụ thể
Ước lượng trong phần này khụng dựa trờn quang phổ gúc, nhưng sử dụng cấu trỳc mảng để trực tiếp tớnh toỏn ước lượng.
Phương phỏp Root - MUSIC là một phiờn bản đa thức của MUSIC ỏp dụng cho trường hợp ULA, khai thỏc cấu trỳc Vandermonde của ma trận chỉ đạo. Nguồn gốc của đa thức Root – MUSIC gần vũng trũn đơn vị tương ứng với cỏc DoA / DoD. Khi phương phỏp Root – MUSIC khụng yờu cầu tối đa húa hàm phi tuyến (non-linear function) thỡ nú giới hạn ỏp dụng trong ULA.
Phần mở rộng của phương phỏp Root – MUSIC là cấu hỡnh non – ULA, vớ dụ như phương phỏp tiếp cận đa dạng tỏch (manifold separation approach).
ESPRIT
Phương phỏp ESPRIT khai thỏc cấu trỳc mảng theo một cỏch khỏc phương phỏp Root – MUSIC. Cỏc giả định cơ bản trong ESPRIT là mảng cú thể được chia thành hai mảng con giống nhau ngoại trừ vộc tơ chuyển vị cố định. Nguyờn lý này khụng những được ỏp dụng cho cấu hỡnh ULA mà trờn thực tế nú rất hữu ớch cho cỏc cấu hỡnh khỏc, như được minh họa trong hỡnh 2.5. Cỏc giải phỏp ESPRIT được đưa ra trong hỡnh thức đúng (closed form), do đú ứng dụng của ESPRIT khụng yờu cầu số tối ưu húa hàm chi phớ (cost function).
Hỡnh 2.5: Vớ dụ của phõn chia mảng cho ứng dụng của phương phỏp ESPRIT
2.4. Ước lượng hoàn chỉnh cỏc tham số mẫu
Ngược lại với cỏc phương phỏp được mụ tả trong phần 2.3, cỏc phương phỏp được trỡnh bày trong phần này khụng hạn chế chỉ để ước lượng hướng và được ứng dụng ước lượng cỏc tham số mụ hỡnh đơn giản. Mức độ phức tạp thường cao hơn so với phương phỏp dựa trờn quang phổ nhưng ước lượng thu được cú độ chớnh xỏc cao. Hầu hết cỏc phương phỏp giả định hoặc là một mụ hỡnh dựa trờn tương quan (mục 1.3.1) hoặc là một mụ hỡnh vật tỏn xạ hữu hạn (mục 1.3.2.1). Một ngoại lệ là phương phỏp RIMAX mụ tả tại mục 2.4.3 dựa trờn sự kết hợp của cả hai mụ hỡnh trờn cơ sở tương quan và hữu hạn phõn tỏn.
Được sử dụng phổ biến nhất là phương phỏp ước lượng tham số cho ứng dụng kờnh õm dựa trờn nguyờn tắc hợp lý cực đại (hay một số tài liệu gọi là khả năng tối đa – Maximum Likelihood), và ước lượng tương ứng với cỏc giỏ trị tham số làm tối đa hàm hợp lý (hàm likelihood) hoặc một xấp xỉ của nú. Cỏc phương phỏp mụ tả trong mục 2.4.1, 2.4.2, 2.4.1.1 và 2.4.3 đều thuộc loại này.
Nguyờn tắc cơ bản ước lượng hợp lý cực đại của cỏc tham số:
Để tớnh giỏ trị hợp lý cực đại, cần tạo ra hàm logarit của hàm likelihood thường được gọi tắt là log-likelihood), ký hiệu là L(.). Cỏc giỏ trị của tham số làm cho hàm L(.) đạt cực đại sẽ cho ta giỏ trị của ước lượng cỏc tham số của tổng thể.
Cú hai phương ỏn ước lượng L cực đại. Để tiện mụ tả, giả sử ta cú hai tham số là và .
Phương ỏn 1: Lấy đạo hàm riờng của L theo và cho nú bằng 0. Giải tỡm
sẽ cho ta ước lượng hợp lý cực đại của . Tương tự với . Phương ỏn này thường được dựng khi số lượng tham số nhỏ.
Phương ỏn 2: Khai thỏc một đặc điểm là giỏ trị của làm cực đại hàm hợp lý với là cố định, khụng phụ thuộc vào . Do đú ta cú thể tỡm được . Sau đú thay vào L(.), để cuối cựng thu được giỏ trị của làm cực đại biểu thức tỡm được. Thuật toỏn ước lượng cỏc tham số miền tần số và miền gúc với độ phức tạp giảm được trỡnh bày trong mục 3.2.3 của chương 3 phần tối ưu sử dụng kết hợp cả hai phương ỏn này.
2.4.1 Phương phỏp hợp lý cực đại tất định (DML)
Cỏc phương phỏp hợp lý cực đại tất định (Deterministic Maximum - Likelihood)giả định rằng cỏc tớn hiệu tỏc động là cỏc tớn hiệu tất định (xỏc định) với cỏc tham số chưa biết. Do đú, những kỹ thuật này rất thớch hợp để ước lượng cỏc tham số của mụ hỡnh vật tỏn xạ hữu hạn (mục 1.3.2.1). Từ giả thiết nhiễu là nhiễu Gauss, cỏc tớn hiệu nhận được cũng phõn phối Gauss. Do đú chỳng ta cú thể viết hàm log-likelihood cho MS lần quan sỏt của phộp đo vộc tơ y( )t như sau :
2 1 1 2 2 0 0 1
(y(0),...,y( 1)) log log y( ) ( , )
S M K S r S r S n k t k n L M M M M M t u t )2.6(
trong đú . là chuẩn O-clit (Euclidean norm), u t( ,k)là mảng vộc tơ đầu ra tương ứng với quan sỏt đường phản chiếu thứ k k; 0,...,K1, và klà vộc tơ tham số, bao gồm DoD/DoA, trễ, tần số Doppler, và biờn độ. Phương sai nhiễu cũng cú thể nằm trong bộ tham số. Trong trường hợp mảng phõn cực kộp, cỏc tham số phõn cực nằm trong bộ tham số.
Cỏc ước lượng khả năng tối đa là những giỏ trị tham số làm cực đại log- likelihood trong phương trỡnh (2.6).
Một tỡm kiếm đa chiều được thực hiện để tỡm ra tối đa trong phương trỡnh (2.6). Khi ước đoỏn ban đầu tốt hội tụ thường nhanh chúng. Phương phỏp dựa trờn quang phổ giống như mụ tả trong mục (2.3.1) là một ứng cử tự nhiờn cho ước lượng tham số bước đầu.
2.4.1.1 Phương phỏp SAGE – Based
Phương phỏp SAGE – based bản chất là một kỹ thuật hợp lý cực đại tất định ước lượng cỏc tham số của mụ hỡnh vật tỏn xạ hữu hạn.
SAGE (space-alternating generalized expectation-maximization) là phần mở rộng của thuật toỏn EM (expectation-maximization: tối đa kỳ vọng ). Cỏc thuật toỏn SAGE đặc biệt thớch hợp cho cỏc vấn đề nơi mà nú cú thể tuần tự cập nhật cỏc thành phần nhỏ trong vộc tơ tham số. Một kỹ thuật ước lượng tham số ứng dụng cho kờnh õm thanh đó được đề xuất dựa trờn thuật toỏn SAGE.
Phương phỏp tối đa kỳ vọng ( EM) đó được xõy dựng lặp đi lặp lại phương phỏp để giải quyết cỏc vấn đề hợp lý cực đại mà một phần cỏc quan sỏt bị thất lạc hoặc bị thiếu. Cỏc thuật toỏn EM cú thể được ỏp dụng cho vấn đề ước lượng tớn hiệu chồng lờn nhau trong nhiễu, đú là vấn đề được xem xột trong phần này.
Thuật toỏn EM dựa trờn khỏi niệm về dữ liệu hoàn chỉnh (complete data) và khụng hoàn chỉnh (incomplete data). Dữ liệu hoàn chỉnh khụng thể được quan sỏt trực tiếp, chỉ cú được bằng cỏch lập biểu đồ ‘ nhiều đến một ’ (many – to – one) từ những dữ liệu khụng hoàn chỉnh. Sự lựa chọn hoàn chỉnh hay khụng hoàn chỉnh khụng phải là duy nhất và nú ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của thuật toỏn. Trong việc ước lượng tớn hiệu chồng lờn nhau trong tiếng ồn, cỏc tớn hiệu riờng lẻ bị sai lệch đi do một phần tiếng ồn tự nhiờn được lựa chọn trong dữ liệu hoàn chỉnh. Cỏc tớn hiệu thu được y(t) được xỏc định là dữ liệu khụng hoàn chỉnh.
Một khi dữ liệu hoàn chỉnh và khụng hoàn chỉnh đó được xỏc định, thuật toỏn EM (phương phỏp tối đa húa kỳ vọng) bao gồm hai bước:
Bước 1. Kỳ vọng (expectation ): Trong bước kỳ vọng, dữ liệu khụng hoàn chỉnh và hiểu biết hiện tại của cỏc tham số được sử dụng để tớnh toỏn ước lượng hàm log-likelihood của dữ liệu hoàn chỉnh, ký hiệu là Q( ) , ở đõy là vộc tơ tham số.
Bước 2. Tối đa húa (maximization): Bước tối đa húa tinh chỉnh cỏc ước lượng tham số hiện hành bằng cỏch tối đa Q( ) đối với .
Ưu điểm của phương phỏp này bắt nguồn từ thực tế là dữ liệu hoàn chỉnh cú thể đưa ra ước lượng cỏc tham số của từng làn súng tỏc động đến độc lập. Do đú, số lượng cỏc tham số trong việc tỡm kiếm đa chiều cho việc tối đa húa Q( ) giảm bởi K, ở đõy K là số súng. Lặp đi lặp lại bước kỳ vọng và tối đa húa cho đến khi hội tụ hoặc đạt được một số lượng bước lặp tối đa.
Thuật toỏn SAGE là phần mở rộng của thuật toỏn EM. Mỗi lần lặp thuật toỏn SAGE là một lần lặp EM để ước lượng lại chỉ một tập con tham số trong khi vẫn giữ cỏc ước lượng tham số khỏc. Cỏc dữ liệu khụng đầy đủ được xỏc định như trong thuật toỏn EM, cỏc bộ dữ liệu ẩn (hidden-data) được xỏc định là tập con của tham số thiết lập. Do đú, bước tối đa húa cú thể được thay thế bằng một số tỡm kiếm một chiều cho mỗi tham số trong .
Cả thuật toỏn EM và SAGE đều cú đặc điểm quan trọng là cỏc chuỗi giỏ trị likelihood đều khụng giảm đơn điệu. Giỏ trị ban đầu tốt là cần thiết để thuật toỏn hội tụ sớm và cũng để đảm bảo rằng cỏc thuật toỏn hội tụ đến một giỏ trị gần tối ưu, cú thể thu được bằng phương phỏp hủy bỏ can nhiễu liờn tiếp hoặc bằng cỏch sử dụng thuật toỏn dựa trờn quang phổ, chẳng hạn MUSIC. Đối với hội tụ toàn cục, nhiều ước lượng ban đầu là cần thiết.
2.4.2 Phương phỏp hợp lý cực đại ngẫu nhiờn (SML)
Một thay thế cho phương phỏp tiếp cận hợp lý cực đại tất định (DML) là sử dụng một mụ hỡnh ngẫu nhiờn thu cỏc dạng súng tớn hiệu nhận được. Thụng thường, quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Gaussian trung bỡnh 0 được sử dụng như là một mụ hỡnh. Vộc tơ quan sỏt y cũng là Gaussian trung bỡnh 0 với ma trận hiệp phương sai được đưa
ra trong phương trỡnh (2.1). Cỏch tiếp cận này được gọi là hợp lý cực đại ngẫu nhiờn (stochastic maximum likelihood - SML).
Hàm log-likelihood được đưa ra trong phương trỡnh :
1 1 0 1 ( (0),..., ( 1)) log log | | ( ) ( ) = log log | | S M H S r S S y y t r S S y y y L y y M M M M R y t R y t M M M R tr R R (2.7)
Ước lượng ML là ma trận hiệp phương sai Ry nhằm tối đa húa hàm log-
likelihood trong (2.7). Cỏc thành phần của Rycú thể được ước lượng rừ ràng, nhưng khụng gian tham số nhỏ hơn, độ phức tạp tương ứng thấp hơn và ước lượng độ chớnh xỏc cao hơn nếu Rylà tham số như trong mục 1.3.1.
Như trường hợp của phương phỏp DML, ước lượng thu được bằng cỏch tỡm kiếm đa chiều để tỡm tối đa trong phương trỡnh (2.7). Một lần nữa cỏc phương phỏp được mụ tả trong mục 2.3 được chọn để cung cấp cỏc ước lượng ban đầu cho cụm cỏc gúc trung bỡnh.
2.4.3 RIMAX
2.4.3.1 Tổng quan về phương phỏp
Cỏc phương phỏp ước lượng tham số thường dựa trờn cỏc mụ hỡnh vật tỏn xạ hữu hạn được mụ tả trong chương 1, trong đú giả định rằng cỏc súng thu được từ sự phản xạ phản chiếu đúng gúp vào tớn hiệu nhận được. Tuy nhiờn, nếu cụng suất thành phần tỏn xạ khuếch tỏn (diffuse scattering component: DSC) là đỏng kể, những phương phỏp này sẽ ước lượng sự tỏn xạ khuếch tỏn như tổng hợp nhiều đợt rời rạc, do đú số lượng cỏc tham số tăng, thuật toỏn trở lờn phức tạp.
Thuật toỏn RIMAX phối hợp ước lượng cả hai thành phần: phản xạ phản chiếu và tỏn xạ khuếch tỏn. Phương phỏp thực hiện ước lượng ML đa chiều, sử dụng phương phỏp SAGE. Việc ỏp dụng phương phỏp SAGE vào RIMAX là khỏc với phương phỏp SAGE – based mụ tả trong mục 2.4.1.1. SAGE – based luõn phiờn cỏc tham số thành phần phản chiếu chớnh mỡnh, trong khi RIMAX dựa trờn quan sỏt cỏc thành phần phản chiếu và thành phần tỏn xạ khuếch tỏn được mụ tả bằng bộ tham số độc lập. Cỏc tham số của cỏc thành phần phản chiếu và tỏn xạ khuếch tỏn được ước lượng dựa trờn thuật toỏn gradient liờn hợp. Do sự phõn tỏch này, phương
phỏp RIMAX cú thể được xem là sự kết hợp của kỹ thuật DML và SML cho cỏc thành phần phản chiếu, tỏn xạ khuếch tỏn tương ứng. Khi DSC được ước lượng rừ ràng, tớnh toỏn phức tạp của RIMAX là giảm so với phương phỏp DML, giống như SAGE - based phương phỏp mụ tả trong mục 2.4.1.1 do giảm khụng gian tham số.
Hướng tối ưu húa hàm hợp lý (likelihood) khụng khả thi trong trường hợp này do vấn đề độ khụng tuyến tớnh cao và số lượng cỏc tham số lớn. Từ cỏc tham số của cỏc thành phần phản chiếu và tỏn xạ khuếch tỏn là độc lập, thuật toỏn SAGE cú thể được ỏp dụng để thay phiờn ước lượng hai bộ tham số. Do đú, đối với ước lượng DSC hiện nay, cỏc thành phần phản chiếu được loại bỏ từ cỏc tớn hiệu nhận được và cỏc hàm likelihood tương tự như phương phỏp SML được đưa ra trong phương trỡnh (4.7) và biểu thị bởi LDSC( )Y ở đõy Y là tớn hiệu nhận được. Thuật toỏn Gauss- Newton được ỏp dụng cho tối đa húa LDSC( )Y , trong đú khai thỏc cấu trỳc Toeplitz của ma trận hiệp phương sai Ry cú phõn tỏch hiệu quả quang phổ. Một khi ước