Ta giả thiết ĐSGT AX* = (X*, G, H, σ, ∅, ≤) là tuyến tính, đầy đủ và tự do trong đó X*là tập cơ sở, G = (0, 𝐜−, W,𝐜+, 1)là tập các phần tử sinh, H là tập các gia tử âm và dương, ≤ là quan hệ thứ tự toàn phần trên X*, σ và ∅ là hai phép toán mở rộng sao cho với mọi x∈X*, ∅x, σx tương ứng là cận dưới đúng và cận trên đúng trong X* của tập H(x), là tập tất cả các phần tử sinh ra từ x nhớ các gia tử trong H, H = 𝐻− ∪ 𝐻+, giả sử rằng 𝐻− = {h-1, ..., h-q}, với
h-1<h-2< ... <h-q, và 𝐻+ = {h1, ..., hp}, với h1< ... <hp, trong đó ta quy ước h0 =
I, toán tử đơn vị trên X*.
Giả thiết AX* là ĐSGT tự do, tức là ∀x∈H(G), ∀h∈H, hx ≠ x (nhớ rằng
Lim (X*) ∪LH(g) = X*). Như ta sẽ thấy giả thiết này là thiết yếu trong việc xác định độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ.
Để mô phỏng tính mờ của các khái niệm mờ trước hết ta hãy đưa ra một số tính chất trực quan thiết yếu, dễ thừa nhận về tính mờ của ngôn ngữ.
(1) Tính mờ của một khái niệm rõ (crisp) phải bằng không.
(2) Một khái niệm mờ τ‘ thu được nhờ đặc tả cá thể hơn sẽ có độ mờ ít hơn khái niệm mờ gốc τ. Như vậy độ mờ của τ‘ phụ thuộc vào độ mờ của τ.
(3) Ta biết rằng nếu x là khái niệm rõ và h là một gia tử, thì hx cũng là một khái niệm rõ, hay nó không sinh nghĩa (hx = x). Như vậy x là mờ nếu hx
sinh nghĩa và do đó tính mờ của x có thể xác định từ tính mờ của hx. Do đó nếu h là tập tất cả các gia tử, thì tính mờ của x được xác định bằng tính mờ của tất cả các từ hx, h∈H.
(4) Nếu hai khái niệm mờ τ và τ‘ có ngữ nghĩa không phụ thuộc vào nhau, tức là việc xác định ngữ nghĩa của từ này không ảnh hưởng đến việc xác định ngữ nghĩa của từ kia, thì việc xác định tính mờ của chúng cũng không liên quan với nhau hay độc lập với nhaụ Chẳng hạn tính mờ của ―APP true‖ và ―Little true‖ phải độc lập với nhau vì ngữ nghĩa của chúng là riêng biệt.
Trở lại ĐSGT AX*. Nó được xem là cấu trúc của miền giá trị biến ngôn ngữ X. Hãy xét họ {H(x):x∈X*}.Họ này có các tính chất sau:
1) ∀xϵLim(X*), H(x) = {x}.
2) ∀xϵ X*, ∀h, k ϵ H, H(x) H(x) và H(hx) ∩ H(kx) = ∅với h ≠ k.
3) ∀xϵ X*, H(x) =
h H
Về mặt ngữ nghĩa H(x) là tập tất cả các khái niệm được sinh ra từ x nhờ việc thay đổi ngữ nghĩa của x bằng các gia từ ngôn ngữ. Các khái niệm như vậy đều mang ngữ nghĩa ―gốc‖ của x và do đó chúng góp phần tạo ra tính mở của x. Chẳng hạn tập H(App true) = {σtrue : σ∈H*}, trong đó H* là tập tất cả các xâu trên bảng chữ H kể cả xâu rỗng, bao gồm tất cả các từ đều phản ảnh ngữ nghĩa của từ ―true‖. Như vậy về trực quan, kích cỡ của tập H(x) có liên quan đến tính mờ của từ x. Với cách hiểu như vậy thì các tính chất trên của tập H(x) có nghĩa:
Tính chất 1) thể hiện rằng nếu x là khái niệm chính xác thì tính mờ bằng không.
Tínhchất 2) thể hiện rằng tính mờ của khái niệm đặc tả có tính mờ ít hơn. Biểu thức còn lại thể hiện rằng tính mờ của hai khái niệm độc lập được xác định (tạo ra) độc lập.
Tính chất 3) và 4) thể hiện rằng tính mờ của khái niệm x chính là được tạo ra từ các tính mờ của các khái niệm thứ cấp được sinh ra nhờ việc biến chướng ngữ nghĩa của nó nhờ một tập đầy đủ các gia tử.
Với những tính chất trên ta có thể xem tập H(x) mô phỏng tính mở của khái niệm x. Do vậy để xác định độ đo tính mở của khái niệm x ta có thể dựa vào việc xác định kích thước định lượng của tập H(x), chẳng hạn như nó là đường kính của tập d(H(x)).
Để định lượng ta xét một ánh xạ bảo toàn thứ tự ƒ: X* →[a,b], trong đó đoạn [a,b] là giá trị biến nền (base variable) của biến ngôn ngữ X.
Vì ƒ bảo toàn thứ tự và nhận giá trị trong [a,b] nên ta có thể xem ƒ là ánh xạ ngữ nghĩa định lượng của X. Theo truyền thống, để chuẩn hóa, ta luôn luôn giả thiết rằng ánh xạ ƒ nhận giá trị trong đoạn [0, 1]. Một cách chính xác ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.Một ánh xạ ƒ được gọi là ánh xạ ngữ nghĩa định lượng của X
nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Q1) ƒ là song ánh.
Q2) ƒ bảo toàn thứ tự trên X*, tức là x<y⇒ƒ(x) <ƒ(y),và ƒ(0) = 0, ƒ(1) = 1. Q3) Tính chất liên tục: ⩝x∈X*, ƒ(∅x) = infimumƒ(H(x)) và ƒ(𝜎𝑥) =
supremumƒ(H(x)).
Định nghĩa 2.4.Một hàm ƒm: X* → [0,1] được gọi là một độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ X, nếu nó có các tính chất sau:
F1) ƒm là một độ đo đầy đủ trên X*, nghĩa là ƒm(𝑐−) + ƒm(𝑐+) =1 và, ⩝u
∈ X*, ∈𝐻ƒ𝑚 𝑢 ∶ ∈ 𝐻 =ƒm(u).
F2) Nếu x là một khái niệm chính xác, tức là H(x) = {x}, thì fm(x) = 0. Đặc biệt ta có: fm(0) = fm(W) = fm(1) = 0.
F3) ⩝x, y ∈ X*, ⩝h∈ 𝐻, ta có 𝑓𝑚 (𝑥)
𝑓𝑚 (𝑥) = 𝑓𝑚 (𝑦)
𝑓𝑚 (𝑦), nghĩa là tỷ số này không
phụ thuộc vào một phần cụ thể nào và do đó ta có thể ký hiệu nó bằngμ(h) và được gọi là độ đo tính mờ của gia tử h.
Có thể nhắc lại ý nghĩa trực quan của tính chất F1) như sau: Đẳng thức thứ nhất trong F1) nói rằng biến X chỉ có đúng hai khái niệm nguyên thủy 𝑐−,
𝑐+. Đẳng thức thứ hai nói rằng Hlà tập đầy đủ các gia tử vì nếu thiếu thì bất đẳng thức xảy rạ Trong khi đó tính chất F3) nói rằng độ mờ của gia tử không phụ thuộc vào từ mà nó tác động vàọ
Từ định nghĩa 2.2 ta thấy fm có các tính chất saụ
Mệnh đề 2.1.Độ đo tính mờ fm của các khái niệm và μ(h) của các gia tử thỏa mãn các tính chất sau:
(1)fm(hx) = μ(h)fm(x), với ∀xϵX.
(3) −𝑞≤𝑖≤𝑝,𝑖≠0𝑓𝑚(hic) = fm(c), trong đó c ϵ {𝑐−, 𝑐+}.
(4) −𝑞≤𝑖≤𝑝,𝑖≠0𝑓𝑚(hix) = fm(x), với ∀x ϵ X.
(5) −1𝑖=−𝑞𝜇(hi) = α và 𝑝𝑖=1𝜇(hi) = β, với α, β> 0 và α + β = 1.
2.1.4.Quan hệ độ đo tính mờ và định lượng ngữ nghĩa
Theo cách tiếp cận của tập mờ, các giá trị định lượng của mỗi tập mờ là giá trị khử mờ của hàm thuộc tương ứng. Đối với ĐSGT, vì các giá trị ngôn ngữ tuân theo thứ tự ngữ nghĩa nên chúng ta sẽ thiết lập hàm định lượng từ (giá trị ngôn ngữ) vào đoạn [0, 1] đảm bảo thứ tự, hàm này được gọi là hàm định lượng ngữ nghĩạ
Công thức xây dựng ánh xạ ngữ nghĩa định lượng ϑ từ các tham số cho trước gồm các độ đo tính mờ của các phần tử sinh fm(𝑐−), fm(𝑐+) và độ đo tính mờ của các gia tử μ(h). Để tiện ta nhắc lại các định nghĩa và các tính chất saụ
Xét ĐSGT AX = (X, G, H, ≤) trong đó tập gia tử H = 𝑯−∪ 𝑯+và giả sử rằng 𝑯− = {h-1, h-2, ..., h-q} thỏa h-1<h-2< ... <h-q; 𝑯+ = {h1, h2, ..., hp} thỏa
h1<h2< ... <hp, và h0 = I với I là toán tử đơn vị.
Định nghĩa 2.5.(Sign function) Hàm dấu Sign: X → {-1, 0, 1} là ánh xạ được
xác định đệ quy sau đây, trong đó h, h’∈H và c ∈ {𝑐−, 𝑐+}:
(1) Sign(𝑐−) = -1, Sign(𝑐+) = +1.
(2) Sign(hc) = -Sign(c) nếu hc ≠ c và h là âm tính đối với c. (3) Sign(hc) = Sign(c) nếu hc ≠ c và h là dương tính đối với c. (4)Sign(h’hx) = -Sign(hx), nếu h’hx ≠ hx và h’ âm tính đối với h. (5) Sign(h’hx) = Sign(hx), nếu h’hx ≠ hx và h’ dương tính đối với h. (6) Sign(h’hx) = 0, nếu h’hx = hx.
Mệnh đề 2.2. Với mọi gia tử h và phần tử x, nếu Sign(hx) = +1 thì hx> x, nếu
Định nghĩa 2.6.Cho AX* là đại số gia tử tuyến tính, đầy đủ và tự do, fm(𝑐−) và fm(𝑐+) là các độ đo tính mờ của phần tử sinh 𝑐−, 𝑐+ và μ(h) là độ đo tính mờ của các gia tử h trong H thỏa mãn các tính chất trong mệnh đề 2.1. Ánh xạ ngữ nghĩa định lượng nhờ tính mờ là ánh xạ ϑ được xác định quy nạp như sau:
1) ϑ(W) = θ = fm(𝑐−), ϑ(𝑐−) = θ - αfm(𝑐−), ϑ(𝑐+) = θ + αfm(𝑐+).
2) ϑ(hjx) = ϑ(x) + Sign(hjx){ 𝑖=1𝑗 𝑓𝑚(hix) – ω(hjx) fm(hjx)}, với 1 ≤ j ≤
p, và
ϑ(hjx) = ϑ(x) + Sign(hjx){ 𝑗𝑖=−1𝑓𝑚(hix) – ω(hjx) fm(hjx)}, với -q ≤ j ≤ -1. Hai công thức này có thể viết thành một công thức chung, với j ϵ [-q^p) = {j: -q ≤ j ≤ p&j ≠ 0} là:
ϑ(hjx) = ϑ(x) + Sign(hjx){ 𝑖=𝑆𝑖𝑔𝑛 (𝑗 )𝑗 𝑓𝑚(hix) – ω(hjx) fm(hjx)} trong đófm(hjx) được tính theo tính chất 1) mệnh đề 2.1 và
ω(hjx) = 1
2[1 + Sign(hjx)Sign(hphjx)(β – α)] ϵ {α; β}.
Dễ dàng kiểm chứng thấy rằng ϑ(𝑐−) = βfm(𝑐−) và ϑ(𝑐+) = 1 – βfm(𝑐+).
2.2.Một số phƣơng pháp lập luận xấp xỉ mờ
Lập luận xấp xỉ hay lập luận mờ là quá trình tìm ra những kết luận không chắc chắn bằng phương pháp suy diễn theo nghĩa xấp xỉ từ một tập hợp các tiền đề không chắc chắn. L.Ạ Zadeh nói rằng quá trình này phần lớn mang đặc trưng định tính nhiều hơn là định lượng và nó vượt ra ngoài phạm vi ứng dụng của logic kinh điển, cơ sở của nó là logic mờ trong đó giá trị chân lý là ngôn ngữ và các qui tắc suy diễn gần đúng hơn là chính xác. Do vậy, khi sử dụng mô hình toán học cho bài toán thì việc lập luận xấp xỉ được xem như việc giải gần đúng một hệ phương trình mà hệ phương trình này được xác lập từ các mối quan hệ. Đặc trưng của lập luận xấp xỉ là yếu tố không chắc chắn, gần đúng và tính không duy nhất của kết quả thu được.
Nhu cầu ứng dụng lý thuyết mờ trong các hệ chuyên gia mờ, điều khiển mờ đã dẫn đến việc giải quyết bài toán lập luận xấp xỉ đa điều kiện dạng tổng quát.
2.2.1.Phương pháp lập luận dựa trên các quan hệ mờ
Bài toán lập luận xấp xỉđầu tiên được đề xuất bởi Zadeh là bài toán đơn giản, chỉ gồm 1 luật, có dạng như sau:
IFX = ATHENY = B
Cho X = A0
————————————— TínhY = B0?
Trong đó X, Y là các biến ngôn ngữ thuộc không gian U, V tương ứng và các giá trị ngôn ngữ A, A0, B, B0 là các tập mờ.
Từ điều kiện mờ dạng ―IF...THEN‖ ta có thể xây dựng quan hệ mờ R
trên không gian U×V :
R(x, y) = J(A(x), B(y))
với Jlà một toán tử kéo theo mờ nào đó. Kết quả B0 được tính bằng phép hợp thành: B0 = A0oR.
Trường hợp tổng quát, việc giải bài toán có thể đưa về các bài toán con đơn giản để giải quyết.
2.2.2.Phương pháp nội suy tuyến tính trên các tập mờ
Giả sử A = {(x, A(x)), x U}là tập mờ trên U và giả sử U là tập hữu hạn, ký hiệu U = {x1, x2,..., xn}. Sau đây chúng ta đề cập đến một số hàm đo khoảng cách dựa trên các điểm đại diện.
Định nghĩa 2.7.Điểm đại diện của tập mờ
định như sau: 1 1 1 m x r m k i A k
, trong đó thỏaA( ) =
U x
maxA(x), k = .
Định nghĩa 2.8.Điểm đại diện mức của tập mờ
Giả sử (0, 1]. Điểm đại diện mức của tập mờ, ký hiệu , được xác
định như sau: 2 1 2 m x r m k i A k
, trong đó thỏaA( ) = ,k = .
Định nghĩa 2.9.Trọng tâm của tập mờ
Trọng tâm của tập mờA = {(x, A(x)), x U}, ký hiệu cA, được xác định:
n i i A n i i A i A x x x c 1 1 ) ( ) (
Định nghĩa 2.10. Trọng tâm mức của tập mờA = {(x, A(x)), x U}, ký hiệu
c , được xác định: 3 3 1 1 ) ( ) ( m k i A m k i A i A k k k x x x c
, trong đó (0, 1] và thỏaA( ),k
= .
Từ các điểm đại diện như trong các định nghĩa trên, giả sử rằng A, B là hai tập mờ cho trước, ta sử dụng các công thức tính khoảng cách sau đây:
1(A, B) = rA - rB, 2(A, B) = cA - cB, 3(A, B) = c - c , = r – r , xi k xi k 1,m1 rA xi k xi k 1,m2 A xi k xi k 1,m3 0 5. A 0 5. B 4 a A B ( , ) A B
= c – c .
Đồng thời cũng đưa ra định nghĩa cho các toán tử trên tập mờ:
+ Tổng của hai tập mờ A và B, ký hiệu A + B, là một tập mờ có hàm thuộc:
A+B(x) = (A(x) B(x)) 1, trong đó là toán tử lấy min.
+ Tích của với tập mờ A, ký hiệu A, là một tập mờ có hàm thuộc:
A(x) = .A(x), với là một số trong [0,1].
Dưới đây là các phương pháp nội suy tuyến tính trên mô hình mờ dựa trên các định nghĩa về khoảng cách và các toán tử trên các tập mờ.
Với mỗi giá trị đầu vào X của mô hình, chúng ta xác định các đoạn {[A1,
A2], [A2, A3], ... [An-1, An]} theo các giá trị đại diện tùy ý như đã định nghĩa ở phần trên.
Giả sử AiXAi+1. Chúng ta tính hệ số bởi công thức :
) , ( ) , ( 1 1 i i i A A X A
Khi đó ta có [0,1]. Xác định tập mờ tương ứng với X bằng công thức nội suy tuyến tính trên đoạn [Ai, Ai+1]: = Bi (1-)Bi+1, trong đó toán tử ―.‖ và ― ‖ được xác định như trên. Khử mờ ta thu được giá trị của
Y tương ứng với giá trị đầu vào X. Quá trình tính toán này chỉ áp dụng cho các khoảng cách 1, 2, 3.
Đối với , ta giả sử rằng [0,1], với mọi [, 1], ta xác định giá trị = , trong đó là hoặc . Ta có [0,1]. Xác định tập mờ tương ứng với Xbằng cách nội suy tuyến tính trên [Ai, Ai+1]:
= Bi r (1-) Bi1 r 5 a A B ( , ) A B ~ Y ~ Y ~ ~ ~ Y ~ 4 a 5 a ( , ) ( , ) A X A A i i i 1 1 4 a 5 a Y ~ Y
Khử mờ ta thu được Y theo công thức: Y = .
2.3.Phƣơng pháp lập luận xấp xỉ dựa trên ĐSGT
Cho mô hình mờ (1.2)
IF X1 = A11 AND ... AND Xm = A1mTHEN Y = B1
IFX1 = A21AND ... ANDXm = A2mTHENY = B2
. . .
IFX1 = An1AND ... ANDXm = AnmTHENY = Bn
và các giá trị ngôn ngữ A01, A02, …, A0m tương ứng với các biến ngôn ngữ X1,
X2, …, Xm . Ứng với các giá trị (hoặc giá trị mờ, hoặc giá trị thực) của cácbiến đầu vào đã cho, hãy tính giá trị của biến đầu ra Ỵ
Tư tưởng chính của phương pháp là từ mỗi mệnh đề ―IF ...THEN‖sẽ xác định một điểm trong không gian tích DecacDom(X1)...Dom(Xm)Dom(Y), ở đây Dom(Xi), Dom(Y) là các miền ngôn ngữ tương ứng của các biến ngôn ngữ
Xi và Y và chúng được xem như các ĐSGT. Vì vậy, các giả thiết của bài toán xác định một siêu mặt Cftrong không gian tích Decac này cho nên giải bài toán mô hình mờ đa điều kiện có nghĩa là chúng ta đi tìm giá trị B ứng với giá trị A = (A01, ..., A0m) bằng cách nội suy trên siêu mặt Cf.
Cụ thể chúng ta phải thực hiện các bước sau đây:
1) Xây dựng các ánh xạ định lượng ngữ nghĩa Xi và Y, tức là các ánh xạ từ các ĐSGT Xi, Y vào [0,1]. Các ánh xạ này được xác định bởi độ đo mờ của các phần tử sinh nguyên thủy và của các gia tử, chúng đóng vai trò các tham số của phương pháp. Kết quả nội suy sẽ chịu ảnh hưởng từ cách chọn các tham số nàỵ Y ~ . [ , ] [ , ] y 1 1
2) Các ánh xạ định lượng ngữ nghĩa trên sẽ chuyển siêu mặt Cf trong
Dom(X1)...Dom(Xm)Dom(Y) thành siêu mặt Cr,m+1 trong không gian thực [0, d1] ... [0, dm][0, b] với [0, di], [0, b] là miền giá trị của các biến cơ sở của Xi và Y một cách tương ứng.
3) Sử dụng một phép kết nhập Agg ta sẽ chuyển được siêu mặt thực
Cr,m+1trong bước 2 thành đường cong thực Cr,2trong [0, a][0, b] với a =
Agg(d1, ..., dm) bằng cách: với mỗi i cố định, i = 1, ..., n.
a) Tính các giá trị aij= Xj(Aij), j = 1, ..., m.
b) Kết nhập ai = Agg(ai1, ..., aim). c) Tính bi = Y(Bi).
Từ các giá trị ai, bi dễ dàng xác định đường cong Cr,2. Cuối cùng, với các