2. Thực nghiệm đối với học sinh
2.1.Thực nghiệm thứ nhất
> Mục tiêu thực nghiệm: kiểm tra giả thuyết H2 đã rút ra từ phân tích sách giáo
khoa.
> Đối tuợng thực nghiệm: học sinh đã học xong chuơng Diện tích (thực nghiệm vào cuối học kỳ II lóp 8, đầu học kỳ I lóp 9) của các truờng THCS Khánh Hội A và ở Gò Vấp.
2.1.1. Phân tích a-priori
2.1.1.1. Câu 1
“Bạn An thắc mắc “thế nào là diện tích của một hình?”. Em hãy viết tiếp
vào phần
chừa trống để giải thích cho An và nếu cần thì em có thế cho vỉ dụ minh họa.
* Diện tích của một hình là...”
Với câu hỏi 1, chúng tôi muốn tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm
diện tích. Những câu trả lời thu đuợc có thể xếp vào hai nhóm chính, tuơng ứng với
hai quan niệm về diện tích nhu sau:
Đây là một bài toán mà Valentina từng sử dụng trong thực nghiệm thực hiện trên học sinh Pháp và Ý. Trong đó, lời giải lời giải bài toán đuợc xếp vào thành các nhóm sau:
- Dùng công thức tính;
- Dùng tam giác bằng nhau;
- Dùng phép biến hình hình học;
- Dùng các tam giác đồng dạng.
Câu trả lời Số lượng %
- Hình học (bề mặt...) 22 30,14%
- Số (số đo...) 45 61,64%
Không trả lời 6 8,22%
Tổng số 73 100%
Chiến lược giải Số câu trả lời %
SCT 29 39,73% — SCT-SỐ 4 5,48% — ScT-ĐS 25 34,25% SHH 32 43,84% STL 7 9,59% Không làm 5 6,85% Tổng số 73 100% 42
+ SCT-SỐ' đo độ dài các đoạn cần thiết, dùng công thức, tính ra số. Theo chiến
lược này, công thức được dùng trong phạm vi số.
+ SCT_ĐS: dùng công thức, nhưng không tính ra số. Một lời giải có thể: Gọi AH là đường cao của AABC, NK là đường cao của AMNP. Ta có:
SJlc=ịAH.BC,SimP=ịNKMP
Do AH = 2NK, BC = 2MP nên SABC = 4.SMNP.
- SHIT chiến lược sử dụng tính chất hình học. Ví dụ: chứng minh các tam giác
bằng nhau: AMNP = APAM =ACPN =ANMB và từ đây suy ra n = 4. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.1.1.3. Câu 3 A Ịj
“Trong hình vẽ bên, ABCD, CEFG là những hình vuông. Chủng ta cần tỉnh SAAEG-
a) Người ta chưa cho so đo của bất kỳ đoạn thắng nào trong hình. Em hãy đo độ dài các đoạn thẳng
mà em cho là cần thiết và tỉnh SAAEG. 0
b) Em cần phải đo bao nhiêu đoạn
thẳng trong cách làm trên? Hãy tìm thêm những cách giải khác sao cho sổ đoạn thẳng
phải đo là ít nhất (đế sai số nhỏ nhất). ”
Khi nghiên cứu thể chế, chúng tôi nhận thấy việc phân chia hình và sử dụng tính chất cộng tính của diện tích chỉ xuất hiện khi đa giác cần tính diện tích chưa được
thiết lập công thức tính. Với bài toán được đưa ra ở đây có sẵn các đường vuông góc,
tạo điều kiện thuận lợi cho việc phân chia hình, chúng tôi muốn tìm hiểu xem chiến
lược dùng ngay công thức, không đề cập đến bản chất hình học có còn chiếm ưu thế?
Chúng tôi đã phân tích và đưa ra các chiến lược có thể đối với bài này trong SCT- Cần đo hai đoạn để tính s
43
- SHH-CT: CÓ thể xảy ra 2 khả năng + Thay số trước khi rút gọn. Đo ít nhất hai đoạn, sai số lớn.
+ Thay số sau khi rút gọn, chỉ đo một đoạn:
STCHH: từ AC // GE, tìm ra công thức
SAỈC=ịEC2=...
2
— EC =.... chỉ đo môt đoan. 2
> Biến:
- Biến gắn với dạng câu hỏi: yêu cầu tính diện tích đòi hỏi học sinh tìm một con số tương ứng, do đó buộc phải dùng đến công thức.
- Biến gắn với hình vẽ: mấu chốt của bài toán là đường chéo AC // GE. Việc
cho hai hình vuông đảm bảo AC // GE, đồng thời tạo ra các đường vuông góc có sẵn.
2.1.2. Phân tích a-posteriori
Chúng tôi đã triển khai thực nghiệm bằng cách phát phiếu bài tập và cho học
sinh làm việc cá nhân. Chúng tôi thu về được 73 phiếu trả lời các câu hỏi cho thực nghiệm thứ nhất đối với học sinh.
Biểu tượng về diện tích được hình thành cho học sinh từ lóp 3 với quan niệm
hình học và chuyển dần sang quan điểm số. Có 22/73 học sinh giải thích diện tích một
hình theo quan niệm hình học: diện tích là “ồé mặt, bề rộng của một hình”, là “tiết
diện của bề mặt một hình". Tuy nhiên, quan niệm số vẫn nổi trội hon, chiếm đến (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
45/73
số học sinh. Nói đến diện tích, học sinh nghĩ nhiều đến việc tìm số đo... Điều này cho
phép chúng ta tin vào sự đúng đắn giả thuyết H2 đã nêu. 44
2.I.2.2. Cấu 2
Ket quả thực nghiệm với giáo viên cho thấy họ mong đợi học sinh ưu tiên sử
dụng công thức khi giải toán diện tích. Tuy nhiên, ở câu 2 này, các tam giác nhỏ bằng
nhau tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho chiến lược hình học. Do đó, chúng tôi không ngạc nhiên khi 32 học sinh (43,84%) chứng minh các tam giác nhỏ bằng nhau và từ đấy suy ra giá trị n.
Trong số 29 học sinh (39,73%) sử dụng công thức trong cách làm, có 4 học sinh
đo - tính ra giá trị số và 25 học sinh sử dụng công thức tính như biểu thức đại số. Điều
mà chúng tôi đã không đề cập đến trong phần phân tích a-priori là sự xuất hiện của các
câu trả lời thuộc chiến lược STL, dựa trên “hai hình đồng dạng với tỉ so hai cạnh
tưong
ứng là k thì tỉ số diện tích là k2”. Tuy nhiên, có đến 6/7 câu trả lời theo chiến lược
STL
cho kết quả sai vì đồng nhất tỉ số diện tích với tỉ số hai cạnh tương ứng.
Đối chiếu với kết quả thực nghiệm của Valentina, chúng tôi nhận thấy ở Pháp,
Ý, chiến lược dùng tam giác bằng nhau xuất hiện nhiều nhất. Điều này cũng giống với
kết quả thu được ở trên: chiến lược SHH xuất hiện nhiều. Như vậy, với các kiểu bài tập
góc có sẵn thay vì vẽ thêm đường cao GH. Trong số 31 học sinh đó, có 15 học sinh tính SAEG
bằng tổng diện tích hai tam nhỏ (chiến lược SXHH_CT) và 16 học sinh tính
SAEG bằng
tổng diện tích hai hình vuông trừ đi diện tích các tam giác khác (chiến lược
SịH_CT).
Các lời giải theo chiến lược SCT và SlHH_CT đều cho kết quả sai do sai số khi đo
và tính
toán, lời giải theo chiến lược SịH_CT cho kết quả đúng vì số đo cạnh hai hình vuông
được cho là số tự nhiên.
Câu b tạo điều kiện cho học sinh đưa ra lời giải tốt hơn. Có 13 học sinh
thay đổi
từ chiến lược SHH-CT sang chiến lược SCT, và ngược lại, cũng có 13 học sinh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thay đổi từ
chiến lược SCT sang chiến lược SHH-CT-
Chúng ta nhận thấy ở đây, cho dù đã tạo sẵn các đường vuông góc, tạo nhiều
điều kiện thuận lợi cho việc phân chia hình thì phần lớn học sinh (42/73) vẫn nghĩ ngay đến việc sử dụng công thức tính mà không quan tâm đến việc phân chia, số học
sinh còn lại có sự chi phối của các đường vuông góc sẵn có và dùng đến tính chất cộng
tính để tính được kết quả chính xác hơn. Tuy nhiên, không có học sinh nào nghĩ đến
việc tìm một tam giác đặc biệt (CEG), dễ tìm diện tích hơn và có cùng diện tích với
tam giác AEG. Thậm chí, do thế số ngay sau khi đưa vào công thức, học sinh cho rằng
để tìm diện tích tam giác AEG, cần đo ít nhất 2 đoạn thẳng.
2.1.3. Kết luận
Thực nghiệm thứ nhất đối với học sinh cho chúng ta thấy quan niệm số về diện
46
Với thực nghiệm thứ hai này, chúng tôi muốn:
- Tổ chức lại một lần gặp gỡ với khái niệm diện tích để nhấn mạnh đặc trung
hình học của khái niệm.
- Mở rộng và thể chế hóa các tính chất của diện tích, bổ sung yếu tố công nghệ
cho tổ chức toán học mang đặc trung hình. Từ đó, học sinh có thể giải một số bài toán
so sánh diện tích trong phạm vi hình học, không cần thực hiện bước chuyển qua số...
Đối tượng thực nghiệm: học sinh trung học cơ sở đã học xong chương Diện tích
(giữa lóp 8 hoặc đầu học kỳ I lóp 9). Do điều kiện khách quan, chúng tôi không
thể trở
lại với những lóp học sinh đã tham gia thực nghiệm 1. Như thế, lóp tham gia thực nghiệm lần này chưa được đặt trước những câu hỏi sử dụng trong thực nghiệm 1.
2.2.1. Dàn dựng kịch bản
Thực nghiệm tiến hành trong một tiết (45 phút). Gồm 3 pha: ♦♦♦ Pha 1(10 phút)
Trình bày tất cả các cách em tìm được.”
♦♦♦ Pha 2 (làm việc nhóm, khoảng 20 phút)
Giáo viên chia lóp thành các nhóm, mỗi nhóm 4-5 người. Sau khi thu phiếu làm
bài cá nhân ở pha 1, giáo viên phát phiếu làm việc cho từng nhóm. Trong phiếu có đề
bài toán dưới đây.
“Câu 2. Trong hình bên, ABCD, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
CEFG
là những hình thoi.
• Tìm tỉ số ^AEGe °CEFG
Trình bày tất cả các lời giải mà nhóm em tìm được.”
Chúng tôi đã cho học sinh làm theo nhóm nhằm tạo thuận lợi cho học sinh tìm
được nhiều lời giải trong thời gian ngắn và tìm ra lời giải tối ưu. ♦> Pha 3 (làm việc cả lớp, khoảng 15 phút)
Giáo viên cho học sinh trình bày các câu trả lời tiêu biểu, hướng học sinh
tìm ra
lời giải tối ưu (thuộc phạm vi hình học) cho câu 2... Cuối cùng, giáo viên tổng kết và
nhấn mạnh ý nghĩa của đặc trưng hình học.
2.2.2. Phân tích a-priori
Hai bài toán thực nghiệm được chúng tôi cải biên từ hai câu 3, 5 trong phần thực nghiệm đối viên giáo viên. Do sử dụng lại hai bài toán trong thực nghiệm trước,
chúng tôi sẽ không trình bày lại một cách chi tiết các phân tích (biến, chiến lược...) mà
chỉ đề cập đến một số khác biệt. ❖ Phai
> Mục tiêu: tìm hiểu ràng buộc của thể chế đối với cá nhân. Đưa vào tính
chất
về hai tam giác không bằng nhau nhưng có cùng diện tích (đỉnh thuộc đường thẳng song song với đáy chung), làm co sở để tìm ra lời giải tối ưu cho câu sau.
> Môi trưòĩig họp thức cho câu trả lời: kết quả trong phiếu làm việc cá
nhân
của học sinh.
> Nội dung câu hỏi: chúng tôi yêu cầu so sánh diện tích hình bình hành
trước,
diện tích tam giác sau nhằm tạo điều kiện xuất hiện cho chiến lược giải trong
phạm vi
hình học.
48
nghĩa là tạo điều kiện để đưa thêm vào yếu tố công nghệ của tổ chức toán học mang đặc trưng hình học, để tổ chức toán học này ít khiếm khuyết hon.
> Môi trường hợp thức cho câu trả lời: các tính chất của diện tích, các tính
chất của hình thoi, các công thức tính, định lý Thalès. > Các chiến lược và những câu trả lời có thế
Câu 2 trong thực nghiệm thứ hai đối với học sinh gồm có hai nhiệm vụ nhỏ: so (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
sánh diện tích và tìm tỉ số diện tích. Neu quan niệm diện tích là số, giải bài toán trong
phạm vi số, đấy là hai nhiệm vụ tách rời. Ngược lại, nếu chú ý đến đặc trưng hình, giải
bài toán trong phạm vi hình học thì cả hai chỉ là một nhiệm vụ duy nhất: so sánh diện
tích hai tam giác AEG và CEG. Tương tự như đã phân tích trong phần thực nghiệm
giáo viên, có thể có các chiến lược sau:
- SSỐ: vẽ đường cao, sử dụng công thức, tính ra số và thực hiện trên số...
Đây là
chiến lược cơ sở.
- SĐS: chứng minh dựa vào tỷ lệ, tam giác đồng dạng... Vì chưa có sẵn các đường vuông góc nên lời giải trong trường họp này có thay đổi và “phức tạp” hơn rất
nhiều so với trường họp hai hình vuông. Với việc sử dụng hình thoi thay cho hình vuông, loại bở các đường vuông góc có sẵn, chúng tôi dự đoán học sinh sẽ khó thành
công với chiến lược này và vì thế không trình bày chi tiết các lời giải ở đây.
- S-TCHữ sử dụng tính chất hình học vừa thiết lập để đưa ra nhận xét SAEG = SCEG trá lời được cả hai nhiệm vụ. Đây là lời giải mà chúng tôi mong đợi.
> Lựa chọn giá trị của các biến
- Biến gắn với dạng câu hỏi: chúng tôi chọn kiểu nhiệm vụ “so sánh diện tích”,
“tìm tỉ số diện tích” vì đây là các kiểu nhiệm vụ cho phép thực hiện lời giải trong phạm vi hình học hoặc chuyển qua giải trong phạm vi số. Chiến lược cơ sở để giải là
chất của hình thoi, các phiếu kết quả.
2.2.3. Phân tích a-posteriori
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm này tại lóp 9A1 truờng THCS Nguyễn Văn
Luông, Quận 6. Lóp học gồm 38 học sinh. Các học sinh này đã học diện tích đa giác.
❖ Phai
Học sinh làm bài vào phiếu cá nhân. Có 2 học sinh (5,23%) không viết kết quả
vào phiếu, 36 học sinh còn lại đều sử dụng công thức để lý giải cho sự bằng nhau về
diện tích của hai hình bình hành. Chúng tôi thống kê đuợc:
- 35 học sinh (92,11%) dùng công thức và so sánh các biểu thức đại số (công
thức đuợc dùng trong phạm vi đại số).
- 01 học sinh tính ra số và thực hiện so sánh số (chiến luợc SCT-SỐ). Để lý giải SBCD — SFCD, chỉ có 3 học sinh sử dụng kết quả SABCD —
SCDEF và hai
tam giác bằng nhau (phạm vi hình học), những học sinh khác vẫn sử dụng công thức
tính diện tích tam giác (phạm vi đại số).
❖ Pha 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chúng tôi đã chia lóp thành 10 nhóm, thu về đuợc 10 phiếu kết quả.
Có 4 nhóm để phiếu trắng. Dựa vào nháp, chúng tôi thấy có 3 nhóm tỏ ra bế tắc
khi cố gắng thiết lập mối quan hệ giữa hai biểu thức tính diện tích thông qua các tỷ lệ,
tam giác đồng dạng (SĐS), 1 nhóm duờng nhu đã tìm đuợc điểm mấu chốt của bài toán
nhung không kịp trình bày. Những nhóm này không thực hiện đo đạc để kết luận. Bài toán trở nên khó khăn khi học sinh không chú ý đến yếu tố hình học, không
xem bài toán so sánh diện tích AIG và CIE cũng là so sánh diện tích AEG và CEG (chua chú ý đến tính chất cộng tính của diện tích). Một số học sinh đã hỏi về khả năng
SA6Ĩ -
50
(kết quả câu b) chứng minh cái này (câu a)” và “'phải chứng minh câu a thì hai diện
tích này bằng nhau thì mới tính được câu b”. Nhóm đã tranh luận và phát hiện
được
cần so sánh diện tích AEG và CEG. Việc chứng minh ACIIEG không quá khó khăn
với nhóm.
Với các nhóm theo chiến lược Ssố, chúng tôi tìm được hai cách xử lý khác nhau:
- Hai nhóm làm tròn số và kết luận hai tam giác cùng diện tích:
Q ĩi n x C ũ i ụ í ỉ
GKẬ ẠỊÚị
St,aeỷu . 0 6 - i ^5^.21)-ĩ,£jưf tte: 6 £ < Ỉ I / T /II<cr /U>CÍ
tỉ cẬ y^Ịiĩ ^ ^ầAĨG sAGIG'
Học sinh đã giải thích sự bằng nhau về diện tích của các cặp hình trong câu 1
thông qua công thức. Tuy mong đợi lời giải không dùng đến công thức, nhưng với câu
trả lời của học sinh, chúng tôi cũng đã đạt được mục tiêu đưa vào tính chất: “khi hai
tam giác có cùng đáy và hai đỉnh trên cùng một đường thăng song song với đáy thì
diện tích của chủng bằng nhau”. Tính chất này cho phép so sánh diện tích của hai
tam
giác không đồng nhất, nhưng thỏa điều kiện trong phát biểu. Chúng tôi đề nghị học A - Gj i Q/X y í, J cm —-1; y un 4 3 ưn, " 4 A H ■ = ị ■ c,i . í , 9 tu ổ $ 1 2 fcr r 1 «. or,- i 4 , ì . 2 , ĩ * - Một nhóm hạn chế làm tròn số và kết luận SAIG > SciE• ❖Pha 3
- Chứng minh được AC // GE
- Suy ra SAEG = SCEG
s I
- Từ SAEG = SCEG, suy ra SAIG = SciE và tỉ sổ AEG = — . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V 7
°CEFG z'
2.2.4. Kết luận
Thực nghiệm thứ hai đối với học sinh đã không thành công như mong đợi. Tuy
nhiên, những gì đã diễn ra cũng có thể giúp học sinh quan tâm hơn đến yếu tố hình