3.3.1. Biểu thức năng lượng
Biểu thức năng lượng của bài toán được xác định từ điều kiện lượng tử hóa (3.39): 4 , 0,1, 2,... 2E nr nr Sử dụng biểu thức xác định ở (3.34) và định nghĩa 1 ( ) 2 r nn n J L Q , ta được biểu thức: 4 . 2 2 Q n E
Từ đây suy ra năng lượng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều:
2 2. 2( 4 / 2) E n Q (3.42)
60
Kết quả này hoàn toàn phù hợp với công trình [51] khi tính năng lượng của bài toán bằng phương pháp đại số sử dụng các toán tử sinh hủy biểu diễn Hamiltonian.
3.3.2. Bậc suy biến
Ta thấy mỗi trạng thái của hệ được đặc trưng bởi các chỉ số lượng tử 5 4 3 2 1
, , , , , , , , , , j
n Q n L J j j j j j m . Tuy nhiên năng lượng (3.42) của hệ chỉ phụ thuộc
vào chỉ số lượng tử chính n và Q cho nên nó suy biến. Ta có thể tính bậc suy biến
nQ
g ứng giá trị Q cho trước dựa vào số khả năng thay đổi các chỉ số lượng tử , , j, n J m L, j j1, 2, j j3, 4, j5. Đặt 2 L J Q A ta có: 0 2 2 2 L L Q Q L Q L Q L J Q A . (3.43)
Ngoài ra, từ (3.28) ta thay bất kỳ giá trị nào của J vào biểu thức của A ta đều thu được giá trị nguyên không âm. Cho nên từ định nghĩa:
1
( )
2
r r
nn n J L Q n n A (3.44)
ta suy ra chỉ số lượng tử n là số nguyên không âm. Từ (3.44) ta thấy chỉ số lượng tử
n là số nguyên không âm có giá trị trong miền thay đổi sau:
n 0,1, 2,...,n. (3.45) Từ (3.44) ta cũng suy ra:
61
và tổng hợp lại với (3.43) ta có miền giá trị của A:
A n n n, n 1,nn 2,...,0 . (3.46) Từ (3.28) ta có giá trị lớn nhất của J là: max 2 2 ( ) . 2 2 2 L Q L L Q Q L J Q J L Q A Q Cũng từ (3.28) ta có giá trị nhỏ nhất của J là
min 2 min[ , ] min[ , ]
2 min[ , ] . L J Q J L Q L Q L Q L Q A Q L Q A
Ta cũng dễ dàng chứng minh rằng nếu cố định A thì bước nhảy của J là 1. Tổng hợp lại ta có miền thay đổi của J như sau:
J A A, 1,A2,...,A Q . (3.47) Từ (3.27) ta có miền thay đổi của các chỉ số lượng tử còn lại như sau:
5 4 5 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 0,1, 2,..., ; 0,1, 2,..., ; 0,1, 2,..., ; 0,1, 2,..., ; 0,1, 2,..., ; , 1, 2,..., . j j J j j j j j j j j m j j j j (3.48)
Bây giờ ta có thể tính bậc suy biến theo công thức:
5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 j n n A Q j j j j j n J nQ n A J A j j j j j m j g .
62
Sử dụng phần mềm Mathematica, ta thu được kết quả như sau:
2 2 3 4 5 6 2 3 4 5 2 2 3 4 3 3(2 )(3 )(4 ) (5 )(6 )(7 ) (97776 144036 80078 23704 3904 338 12 ) (25584 80078 32417 6671 686 28 (1 )(1 ) 3 4 7! ( 64392 23704 6671 861 42 ( 74586 ) ) 3904 686 nQ n n n n n n n n n n n n Q n n n n n Q n Q n n g n n n Q 2 3 4 2 5 6 7 . 42 ( 35790 338 28 8310 12 ) 76 ) 2 ) ( n n Q n n Q n Q Q (3.49)
Xét trường hợp đặc biệt là bài toán Kepler thông thường, bài toán này không có đơn cực nên Q=0. Thế Q=0 vào (3.49), ta được:
2 (1 )(2 )(3 )(4 ) (5 )(6 )(7 ) . 4 7! n n g n n n n n n (3.50)
Kết quả (3.50) hoàn toàn phù hợp với biểu thức tính bậc suy biến cho bài toán Kepler
N chiều [8].
Như vậy chúng tôi đã xây dựng thành công nghiệm giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu. Hàm sóng tìm thấy có dạng phân ly biến số gồm tích của hàm bán kính, hàm theo góc và hàm cầu suy rộng 7 chiều. Biểu thức năng lượng trùng với kết quả trước đây, thu được bằng phương pháp đại số. Ngoài ra bậc suy biến của năng lượng cũng được tính và trường hợp riêng của nó khi không có đơn cực trùng với kết quả của tác giả khác.
63
Kết luận
Trong luận án này, chúng tôi đã đạt được các mục tiêu nghiên cứu đề ra với những kết quả cụ thể như sau:
- Đưa ra được bức tranh tổng quan về đơn cực từ Dirac và việc mở rộng nó trong không gian nhiều chiều.
- Làm rõ vai trò của các phép biến đổi Hurwitz trong việc mở rộng đơn cực từ cho không gian 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều.
- Xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng cho không gian 9 chiều với việc thêm vào bảy biến số phụ. Sử dụng phép biến đổi với phương pháp tính toán giải tích tường minh không những kết nối được bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều mà còn làm xuất hiện thế đơn cực
SO(8) là dạng mở rộng của đơn cực từ Dirac và đơn cực Yang.
- Đưa ra bài toán MICZ-Kepler 9 chiều bằng cách kết hợp bài toán chuyển động trong trường Coulomb với trường đơn cực SO(8).
- Xây dựng được hàm sóng giải tích chính xác cho bài toán MICZ-Kepler 9 chiều bằng phương pháp tách biến trong tọa độ cầu 9 chiều, đồng thời thu được biểu thức năng lượng cũng như bậc suy biến của bài toán.
64
Hướng phát triển
- Định lý Hurwitz quy định chỉ tồn tại bốn trường hợp cho đại số chia chuẩn hóa, trong đó trường hợp cuối cùng liên quan đến bài toán nguyên tử hydro và đơn cực SO(8) trong không gian 9 chiều. Ở một hướng tiếp cận hoàn toàn khác, trong lý thuyết Tô-pô, phân thớ Hopf cũng quy định bốn trường hợp của phân thớ này và trường hợp phân thớ Hopf cuối cùng cũng liên quan đến không gian chín chiều và đơn cực SO(8). Một điều đặc biệt là lý thuyết siêu dây quan niệm rằng không-thời gian 10 chiều tức không gian 9 chiều. Liệu có một mối quan hệ nhất định giữa định lý Hurwitz, phân thớ Hopf với lý thuyết siêu dây? Đây là một vấn đề rất thú vị để tìm hiểu và nghiên cứu.
- Lời giải cho bài toán MICZ-Kepler trong không gian chín chiều đã được tìm ra trong luận án. Tuy nhiên, ta có thể giải bài toán trong một hệ tọa độ khác như tọa độ parabol, tọa độ trụ cũng như xây dựng phép biến đổi bộ nghiệm của bài toán giữa các hệ tọa độ. Bài toán cũng có thể giải bằng phương pháp đại số thông qua các toán tử Casimir. Tính siêu khả tích của bài toán cũng là một vấn đề đáng được quan tâm.
65
Danh mục các công trình đã công bố
1. Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son and Phan Ngoc Hung (2009), “A hidden non-Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J. Phys. A 42, pp. 175204-8.
2. Lê Văn Hoàng, Nguyễn Thành Sơn (2010), “Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều”, Tạp chí Khoa học ĐH Sư phạm TP.HCM, số 24, tr. 1-6.
3. Le Van Hoang and Nguyen Thanh Son (2011), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine- dimensional space”, J. Math. Phys.52, pp. 032105-11.
4. Nguyễn Thành Sơn, Thới Ngọc Tuấn Quốc, Lê Đại Nam, Lê Văn Hoàng (2014), “Lời giải chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều”, Tạp chí
Khoa học ĐH Sư phạm TP.HCM, số 58, tr. 97-107.
5. Nguyen Thanh Son, Le Đai Nam, Thoi N. Tuan Quoc and Le Van Hoang (2015), “Exact analytical solutions of the Schrödinger equation for the nine- dimensional MICZ-Kepler problem”, J. Math. Phys. 56, pp. 052103-13.
66
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
1. Lê Văn Hoàng, Nguyễn Thành Sơn (2010), “Mở rộng đơn cực Dirac và Yang cho không gian chín chiều”, Tạp chí Khoa học ĐH Sư phạm TP.HCM, số 24, tr. 1-6.
2. Thới Ngọc Tuấn Quốc (2012), Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết & Vật lý toán, trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
3. Nguyễn Thành Sơn (2009), Biến số phụ và mô tả ẩn đơn cực từ trong phép biến đổi Hurwitz mở rộng, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết & Vật lý toán, trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
4. Nguyễn Thành Sơn, Thới Ngọc Tuấn Quốc, Lê Đại Nam, Lê Văn Hoàng (2014), “Lời giải chính xác cho bài toán MICZ-Kepler chín chiều”, Tạp chí Khoa học ĐH Sư phạm TP.HCM, số 58, tr. 97-107.
Tiếng Anh
5. Aharonov Y. and Bohm D. (1959), “Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory”, Phys. Rev.115, pp. 485-491.
6. Abramowitz M. and Stegun I. A. (1972), Handbook of mathematical functions, Dover, New York.
7. Ališauskas S. (2002), “Coupling coefficients of SO n and integrals involving Jacobi and Gegenbauer polynomials”, J. Phys. A35, pp.7323-7345.
67
8. Al-Jaber M. S. (1998), “Hydrogen atom in n dimensions”, Int. J. Theor. Phys.
37, pp. 1289-1298.
9. Abbasi R. et al (2010), “Search for relativistic magnetic monopoles with the AMANDA-II neutrino telescope”, Eur. Phys. J. C69, pp. 361-378.
10. Boiteux M. (1973), “The three-dimensional hydrogen atom as a restricted four- dimensional harmonic oscillator”, Physica65, pp. 381-395.
11. Bernevig B. A., Hu J., Toumbas N. and Zhang S. -C. (2003), “Eight-dimensional quantum Hall effect and “octonions””, Phys. Rev. Lett.91, pp. 236803-4.
12. Bai Z., Meng G. and Wang E. (2013), “On the orbits of the magnetized Kepler problems in dimension 2k1”, J. Geom. Phys.73, pp. 260-269.
13. Bellucci S. and Yeranyan A. (2005), “Noncommutative Coulombic monopole”,
Phys. Rev. D72, pp. 085010-5.
14. Bellucci S., Krivonos S. and Ohanyan V. (2007), “N4supersymmetric McIntosh-Cisneros-Zwanziger-Kepler systems on S3”, Phys. Rev. D 76, pp. 105023-7.
15. Bellucci S., Toppan F. and Yeghikyan V. (2010), “The second Hopf map and Yang-Coulomb system on a 5D (pseudo)sphere”, J. Phys. A43, pp. 045205-12. 16. Bogomol’nyi E. B. (1976), “Stability of classicals solutions”, Sov. J. Nucl. Phys.
24, pp. 449-454.
17. Barut A. O. and Bornzinso G. L. (1971), “ 4, 2 -formulation of the symmetry breaking in relativistic Kepler problems with or without magnetic charges”, J. Math. Phys.12, pp. 841-846.
18. Barut A. O. (1981), “On the dynamical group of the charge-monopole system”,
J. Phys. A14, L267-268.
19. Bendtz K. et al (2013), “Search in 8 TeV proton-proton collisions with the MoEDAL monopole-trapping test array”, arXiv:1311.6940 [physics.ins-det]. 20. Cahill E. (1990), “The Kustaanheimo-Stiefel transformation applied to the
hydrogen atom: using the constraint equation and resolving a wave function discrepancy”, J. Phys. A 23, pp. 1519-1522.
68
21. Cecchini S. et al (2001), “Search for magnetic monopoles at the Chacaltaya cosmic ray laboratory”, Nuovo Cim.C24, pp. 639-644.
22. Chaudhari P., Cameron P., D’Imperio N., Dzhordzhadze V., Radeka V., Rehak M., Rehak P., Rescia S., Semertzidis Y., Sondericker J. and Thieberger P. (2007),
Search for magnetic monopoles at the relativistic heavy ion collider (RHIC), Brookhaven National Laboratory.
23. Chambers R. G. (1960), “Shift of an electron Interference pattern by enclosed magnetic flux”, Phys. Rev. Lett.5, pp. 3-5.
24. Davtyan L. S., Mardoyan L. G., Pogosyan G. S., Sissakian A. N. and Ter- Antonyan V. M. (1987), “Generalised KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotrope oscillator”, J. Phys. A20, pp. 6121- 6125.
25. Dirac P. A. M. (1931), “Quantized singularities in the electromagnetic field”,
Proc. Roy. Soc. A 133, pp. 60-72.
26. Eidelman S. et al (2004), “Review of particle physics”, Phys. Lett.B592, pp. 1- 5.
27. Fry J. N. and Schramm D. N. (1980), “Unification, monopoles and cosmology”,
Phys. Rev. Lett.44, pp. 1361-1364.
28. Grossman B., Kephart T. W. and Stasheff J. D. (1984), “Solutions to Yang–Mills field equations in eight-dimensions and the last Hopf map”, Comm. Math. Phys.
96, pp. 431-437.
29. Gritsev V. V., Kurochkin Y. A. and Otchik V. S. (2000), “Nonlinear symmetry algebra of the MIC-Kepler problem on the sphere S3”, J. Phys. A 33, pp. 4903- 4910.
30. Gonzales M., Kuznetsova Z., Nersessian A., Toppan F. and Yeghikyan V. (2009), “Second Hopf map and supersymmetric mechanics with a Yang monopole”, Phys. Rev. D80,pp. 105023-13.
69
31. Giblin S. R., Bramwell S. T., Holdsworth P. C. W., Prabhakaran D. and Terry I. (2011), “Creation and measurement of long-lived magnetic monopole currents in spin ice”, Nat. Phys. 7, pp. 252-258.
32. Higuchi A. (1987), “Symmetric tensor spherical harmonics on the Nsphere and their application to the de Sitter group SO(N,1)”, J. Math. Phys. 28, pp. 1553- 1566.
33. Hawking S. W. and Pope C. N. (1978), “Generalized spin strutures in quantum gravity”, Phys. Lett. B73, pp. 42-44.
34. Iwai T. (1990), “The geometry of the SU(2) Kepler problem”, J. Geom. Phys.7, pp. 507-535.
35. Itô A. (1984), “Generalized Wu-Yang solution of the Yang-Mills equation”,
Prog. Theor. Phys. 71, pp. 1443-1446.
36. Kibler M., Ronveaux A. and Négadi T. (1986), “On the hydrogen‐oscillator connection: Passage formulas between wave functions”, J. Math. Phys. 27, pp. 1541-1548.
37. Kleinert H. (1967), “Group dynamics of the hydrogen atom” in: Lectures in theoretical physicsVol XB ed Brittin W. E. and Barut A. O. (New York: Gordon and Breach 1968), pp. 427-482.
38. Kleinert H. (1986), “Path integral for Coulomb system with magnetic charges”,
Phys. Lett. A 116, pp. 201-206.
39. Kleinert H. (1993), “Group theory and orbital fluctuations of the hydrogen atom”, Found. Phys.23, pp. 769-807.
40. Kustaanheimo P. and Stiefel E. (1965), “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization”, J. Reine Angew. Math. 218, pp. 204-219.
41. Kalnins E. G., Miller W. and Pogosyan G. S. (2000), “Coulomb-oscillator duality in spaces of constant curvature”, J. Math. Phys. 41, pp.2629-2657.
42. Lazarides G., Panagiotakopoulos C. and Shafi Q. (1987), “Magnetic monopoles from superstring models”, Phys. Rev. Lett.58, pp. 1707-1710.
70
43. Laughlin R. B. (1983), “The anomalous quantum Hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations”, Phys. Rev. Lett. 50, pp. 1395-1398.
44. Landau L. D. and Lifshitz E. M. (1989), Quantum mechanics: Non-relativistic theory, Pergamon Press, Oxford.
45. Le Van Hoang, Viloria T. J. and Le Anh Thu (1991),“On the hydrogen-like atom in five-dimention space”, J. Phys. A 24, pp. 3021-3030.
46. Le Van Hoang and Viloria T. J. (1992), “On the interpretation of the “extra” variable in the KS transformation”, Phys. Lett. A171, pp. 23-25.
47. Le Van Hoang and Komarov L. I. (1993), “Theory of the generalized Kustaanheimo-Stiefel transformation”, Phys. Lett. A177, pp. 121-124.
48. Le Van Hoang and Nguyen Thu Giang (1993), “The algebraic method for two- dimensional quantum atomic systems”, J. Phys. A261409-1418.
49. Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son and Phan Ngoc Hung (2009), “A hidden non- Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J. Phys. A
42, pp. 175204-8.
50. Le Van Hoang and Nguyen Thanh Son (2011), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”,
J. Math. Phys.52, pp. 032105-11.
51. Le Van Hoang, Phan Thanh Tu and Truong Cat Tuong (2011), “On the SO(10,2) dynamical symmetry group of the MICZ-Kepler problem in a nine-dimensional space”, J. Math. Phys. 52, pp. 072101-5.
52. Le Anh Thu, Le Van Hoang, Komarov L. I. and Romanova T. S. (1996), “Dynamical relativistic polarizability of hydrogen-like atoms”, J. Phys. B 29, pp. 2897-2906.
53. Milton K. A. (2006), “Theoretical and experimental status of magnetic monopoles”, Reports. Progress.Phys.69, pp. 1637-1712.
54. Minami M. (1979), “Dirac’s monopole and the Hopf map”, Prog. Theor. Phys.
71
55. Minami M. (1980), “Quaternionic gauge fields on S7 and Yang’s SU(2) monopole”, Prog. Theor. Phys.63, pp. 303-321.
56. McIntosh H. V. and Cisneros A. (1970), “Degeneracy in the presence of a magnetic monopole”, J. Math. Phys.11, pp. 896-916.
57. Mengotti E., Heyderman L. J., Rodríguez A. F., Nolting F., Hügli R. V. and Braun H.-B. (2010), “Real-space observation of emergent magnetic monopoles and associated Dirac strings in artificial kagome spin ice”, Nat. Phys.7, 68-74. 58. Morris D. J. P. et al (2009), “Dirac string and magnetic monopoles in the spin ice
7