Định lý Hurwitz

Trong đại số học, việc tìm phép biến đổi giữa không gian thực n chiều

x x1, 2,...,xn và không gian thực 2n chiều u u1, 2,...,u v vn, ,1 2,...,vn sao cho thỏa mãn biểu thức:

 2 2 2 2 2 2

1 ... n 1 ... n 1 ... n

21

có tầm quan trọng trong việc xây dựng các bộ số trong đại số chia chuẩn hóa. Vấn đề này được nghiên cứu rất sớm và Euler đã tìm ra cho trường hợp 1

2h

n  với h2 từ những năm 1748. Phép biến đổi của Euler đã sử dụng để xây dựng bộ số phức ngày nay. Sau đó lần lượt Hamilton, Caley đã mở rộng và phát triển ý tưởng của Euler cho các trường hợp h3, 4. Đây là cơ sở để xây dựng các số siêu phức bội 4 và siêu phức bội 8 [90]. Mặc dù sau đó nhiều nhà toán học cố gắng mở rộng phép biến đổi này cho trường hợp h4 nhưng không mang lại một kết quả nào. Cho đến năm 1898, Hurwitz đã phát biểu và chứng minh rằng biểu thức (1.14) chỉ thỏa mãn với các giá

trị n1, 2, 4,8 với xjj1, 2,...,n là tổ hợp song tuyến tính của

u u1, 2,...,u v vn, ,1 2,...,vn. Định lý này mang tên Hurwitz và còn được gọi là định lý 1, 2, 4, 8.

Định lý trên gián tiếp kết luận không tồn tại số siêu phức bội 16 cũng như giới hạn chỉ tồn tại 4 bộ số như trên cho đại số chia chuẩn hóa. Đây còn là một định lý quan trọng trong số học. Vào năm 1770, Lagrange đã sử dụng định lý này để chứng minh phỏng đoán trước đó của Fermat rằng: một số tự nhiên bất kỳ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương của 4 số tự nhiên khác. Ví dụ:

2 2 2 2

50 0  1 2 .

Không chỉ có nhiều ý nghĩa về mặt toán học đơn thuần, định lý Hurwitz cùng với các phép biến đổi của nó có nhiều ý nghĩa trong việc kết nối bài toán dao động tử điều hòa và bài toán nguyên tử hydro [24, 40, 47, 104]. Việc xây dựng mối quan hệ này không những cho phép chúng ta có thể nghiên cứu bài toán hydro đơn giản hơn mà nó còn làm xuất hiện đơn cực từ sẽ được trình bày ở phần tiếp theo.