Phép biến đổi Hurwitz mở rộng đầu tiên được đề cập để kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều vào năm 1993 bởi Lê Văn Hoàng và Komarov [47]:
1 2( 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8), x u v u v u v u v u v u v u v u v 2 2( 1 2 2 1 3 4 4 3 5 6 6 5 7 8 8 7), x u v u v u v u v u v u v u v u v 3 2( 1 3 2 4 3 1 4 2 5 7 6 8 7 5 8 6), x u v u v u v u v u v u v u v u v 4 2( 1 4 2 3 3 2 4 1 5 8 6 7 7 6 8 5), x u v u v u v u v u v u v u v u v 5 2( 1 5 2 6 3 7 4 8 5 1 6 2 7 3 8 4), x u v u v u v u v u v u v u v u v (1.34) 6 2( 1 6 2 5 3 8 4 7 5 2 6 1 7 4 8 3), x u v u v u v u v u v u v u v u v 7 2( 1 7 2 8 3 5 4 6 5 3 6 4 7 1 8 2), x u v u v u v u v u v u v u v u v 8 2( 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1), x u v u v u v u v u v u v u v u v 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8. x u u u u u u u u v v v v v v v v
Đây là trường hợp cuối cùng của định lý Hurwitz ứng với h4. Theo logic phát triển của các phép biến đổi trước, nếu chúng ta xây dựng các biến số phụ và tính toán giải tích tường minh kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều thì liệu chúng ta có thể tìm thấy đơn cực từ trong không gian 9 chiều? Câu trả lời bắt đầu được mở ra vào năm 2009 khi chúng tôi đã xây dựng bảy biến số góc cho phép biến đổi trên [49]. Chúng tôi cũng đã bước đầu hình dung một bộ thế đơn cực. Những nghiên cứu tiếp theo sẽ được trình bày trong các chương sau.
30
Chương 2
Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều
Như chúng tôi đã trình bày ở chương 1, định lý Hurwitz có một vai trò rất đặc biệt trong việc thiết lập mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa và bài toán nguyên tử hydro thông qua phép biến đổi bình phương song tuyến giữa không gian
2h chiều và không gian 1
2h 1
N chiều với h1, 2, 3, 4. Các phép biến đổi này được biết đến với những cái tên như Levi-Civita [104], Kustaanheimo-Stiefel [40], Davtyan [24] và trường hợp cuối cùng là Hurwitz mở rộng [47]. Một điều đặc biệt khác là ta có thể mô tả thế đơn cực Dirac trong không gian 3 chiều bằng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel với việc thêm vào một biến số phụ [46]. Tương tự như vậy, thế đơn cực Yang cho không gian 5 chiều cũng được xây dựng bằng cách đưa thêm ba biến số phụ vào phép biến đổi Davtyan [45, 66, 67]. Số biến số phụ cần sử dụng trong hai phép biến đổi trên chính là số chiều chênh lệch giữa hai không gian cần kết nối. Nếu có một logic tương tự như hai phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và Davtyan thì chúng ta sẽ tìm thấy bộ thế đơn cực trong không gian 9 chiều khi chúng ta xây dựng thành công bảy biến số phụ cho phép biến đổi Hurwitz mở rộng. Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ viết la ̣i phép biến đổi Hurwitz mở rô ̣ng mô ̣t cách go ̣n và hoàn chỉnh hơn, sử du ̣ng các ma trâ ̣n Dirac. Ngoài ra, bảy biến số phu ̣ lần đầu tiên được chúng tôi đưa vào ta ̣o nên phép biến đổi hoàn chỉnh. Phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz mở rô ̣ng cũng được xây dựng. Từ đây chúng tôi xây dựng mối liên hê ̣ giữa dao đô ̣ng tử điều hòa 16 chiều với bài toán hydro 9 chiều khi mà hàm sóng không phu ̣ thuô ̣c vào các biến số phu ̣. Xa hơn, trong trường hợp tổng quát, chúng tôi sẽ chứ ng minh rằng phương trình Schrödinger cho dao đô ̣ng tử điều hòa 16 chiều tương đương với phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong trường
31
đơn cực 9 chiều. Trường đơn cực được tìm thấy chính là trường đơn cực SO(8). Từ đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trường đơn cực tìm được chính là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang trong không gian chín chiều.