Phương phỏp 12: Sử dụng tớnh chất về gúc của tứ giỏc nội tiếp

x N M E O B D A C F Ta cú: ∠FMN = ∠E₂ + ∠EBA ∠FNM = ∠E1 + ∠EDC Mà Ex là tia phõn giỏc gúc E nờn ∠E₁ = ∠E₂

∠EBA = ∠EDC (tứ giỏc ABCD là tứ giỏc nội tiếp) => ∠FMN = ∠FNM

Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC cú ∠B = 2∠C. Tia phõn giỏc gúc B cắt AC ở D. Trờn tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh: ∠ACK = ∠ABE.

Giải: 3 1 2 1 ₂ D B C A E K Ta cú:

∠B₁₂ = 2.∠C₁ => ∠C₁ = ¹₂ ∠B₁₂ = ∠B₂ ( do BD là tia phõn giỏc gúc ABC) Mà : ∠C₁ + ∠C₂ = ∠B₃ + ∠B₂ = 180⁰

Suy ra: ∠C₂ = ∠B₃ hay ∠ACK = ∠ABE

5. Phương phỏp 5: Cú cựng số đo.

Vớ dụ : Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú ∠A = α > 900 . Ở phớa ngoài hỡnh bỡnh hành vẽ cỏc tam giỏc đều ADF và ABE. Chứng minh:

∠EAF = ∠CDF = ∠EBC. Giải: C B D A E F Ta cú:

∠EAF = 360⁰ - ∠EAB - ∠BAD - ∠DAF = 360⁰ - 60⁰ - α - 60⁰ = 240⁰ - α (1)

∠CDF = ∠ADC + ∠ADF mà ∠ADC = 180⁰ - α => ∠CDF = 1800 - α + 600

= 240⁰ - α (2)

∠EBC = ∠EBA + ∠ABC Mà ∠ABC = 180⁰ - α

=> ∠EBC = 180⁰ - α + 60⁰ = 240⁰ - α (3)

Từ (1), (2), (3) ta cú: ∠EAF = ∠CDF = ∠EBC => Đpcm

Vớ dụ: Cho ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự cỏc điểm D và E trờn cỏc đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE . Gọi M, N là trung điểm của BC và DE, đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng: ∠MPB= ∠MQC Giải: Q O P N M B C A E D

Gọi O là trung điểm của CD.

Ta cú: N là trung điểm DE => ON là đường trung bỡnh của CDE => ON // AC, ON = ^CE₂ => ∠MQC = ∠MNO ( hai gúc đồng vị) (1)

M là trung điểm của BC => OM là trung bỡnh của ∆DCB => OM // DB, OM = ^DB₂ => ∠MPB = ∠OMN (hai gúc so le trong) (2)

Mặt khỏc: BD = CE => OM = ON => ∠OMN = ∠ONM (3) Từ ( 1), (2), (3) suy ra : ∠MQC = ∠MNO = ∠ONM = ∠MPB => ∠MQC = ∠MPB

7. Phương phỏp 7: Hai gúc đồng vị, so le trong, so le ngoài.

Vớ dụ 1: Gọi M, N là trung điểm của cỏc cạnh AD và BC của hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn tia đối của DC lấy điểm P bất kỡ. Giao điểm của AC với PM là Q. Chứng minh rằng: ∠QNM = ∠MNP

1 2 O E Q M N B A D C P

Gọi O = AC ∩ MN => O là trung điểm MN E = QN ∩ PC, MN // PE

=> ∠N₁ = ∠E (hai gúc đồng vị, MN // CE) (1) ∠N₂ = ∠EPN ( hai gúc so le trong, MN // PE) (2) Vỡ MN // PE nờn ON CE ⁼ OQ QC ⁼ OM CP ^{, ON = OM} => CE = CP => NPE cõn tại N => ∠EPN = ∠E (3) Từ (1), (2), (3) cho ∠N₁ = ∠N₂ hay ∠QNM = ∠MNP

Vớ dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu hai gúc nhọn xOy và x’Oy’ cú Ox // Ox’, Oy // Oy’ thỡ ∠xOy = ∠x’Oy’.

Giải: x x' y' y 1 2 1 2 O O' Vẽ đường thẳng OO’

Vỡ Ox // Ox’ nờn cú hai gúc đồng vị bằng nhau

∠O₁ = ∠O ’₁ (1)

Vỡ Oy // Oy’ nờn cú hai gúc đồng vị bằng nhau.

∠O₂ = ∠O’₂ (2)

Từ (1), (2) suy ra : ∠O₁ - ∠O₂ = ∠O’₁ - ∠O’₂ Hay ∠xOy = ∠x’Oy’

8. Phương phỏp 8: Hai gúc đối đỉnh

♦ Kiến thức

- Định nghĩa: Hai gúc đối đỉnh là hai gúc mà mỗi cạnh của gúc này là tia đối của một cạnh gúc kia.

- Tớnh chất: Hai gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau.

Vớ dụ: Cho ∠xAy = 50⁰, x’Ay’ là gúc đối đỉnh với ∠xAy. Gọi At là tia phõn giỏc của gúc xAy. Vẽ tia At’ là tia đối của tia At. Chứng minh ∠x’At’ = ∠y’At’ Giải:

t x' 4 x 3 t' 2 y' y 1 A

Vỡ At là tia phõn giỏc gúc xAy nờn ∠A₁ = ∠A₂ (1)

At’ là tia đối của tia At nờn ∠A₃ =∠A₁ (hai gúc đối đỉnh) (2) Và ∠A₄ =∠A₂ (hai gúc đối đỉnh) (3) Từ (1), (2), (3) => ∠A3 = ∠A4 (4)

Do (4) và At’ nằm giữa hai tia Ax’, Ay’ nờn At’ là tia phõn giỏc ∠x’Ay’ => ∠x’At’ = ∠y’At’

Vớ dụ 2: Gọi DI là tia phõn giỏc của gúc MDN. Gọi EDK là gúc đối đỉnh của gúc IDM. Chứng minh: ∠EDK = ∠IDN

Giải: D M N E I K Ta cú:

∠EDK = ∠IDM (hai gúc đối đỉnh)

∠IDM = ∠IDN (DI là phõn giỏc) Suy ra: ∠EDK = ∠IDN

9. Phương phỏp 9: Sử dụng tớnh chất hai gúc cựng bự, cựng phụ với một gúc

khỏc.

♦ Kiến thức:

- Hai gúc phụ nhau nếu tổng số đo của chỳng bằng 90⁰ - Hai gúc bự nhau nếu tổng số đo của chỳng bằng 180⁰

Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ AH vuụng gúc với BC ( B ∈ BC). Chứng minh ∠B = ∠HAC. Giải: 1 ₂ H B A C

∆ABC vuụng tại A => ∠B + ∠C = 90⁰

∆AHC vuụng tại H => ∠A₂ + ∠C = 90⁰ Vậy ∠B = ∠A₂ (cựng phụ với gúc C) Hay ∠B = ∠HAC

Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia BC lấy điểm D , trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng:

Giải:

2 ^{1 1}

D _E

A

B C

ABC cõn tại A => AB = AC, ∠B₁ = ∠C₁. Ta lại cú: ∠B₂ + ∠B₁ = 180⁰

∠C₂ + ∠C₁ = 180⁰ nờn ∠B₂ = ∠ECA hay ∠ABD = ∠ACE

10. Phương phỏp 10: Hai gúc tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng.

♦ Kiến thức

- Định nghĩa: Tam giỏc A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giỏc ABC nếu:

∠A’ = ∠A; ∠B’ = ∠B; ∠C = ∠C’; ^A’B’_AB = ^B’C’_BC = ^C’A’_CA Tam giỏc A'B'C' đồng dạng với tam giỏc ABC được kớ hiệu là:

∆A’B’C’~ ∆ABC (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng). - Cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc thường :

Trường hợp đồng dạng 1: 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c – c – c) xột ∆ABC và ∆DEF, ta cú : ^AB_DE = ^AC_DF = ^BC_EF

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

Trường hợp đồng dạng 2: 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – gúc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c)

xột ∆ABC và ∆DEF, ta cú: ^AB_DE = ^AC_DF , ∠A = ∠D => ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

Trường hợp đồng dạng 3 : hai gúc tương ứng bằng nhau (g – g) xột ∆ABC và ∆DEF, ta cú: ∠B = ∠D, ∠B = ∠E

- Cỏc định lớ đồng dạng của hai tam giỏc vuụng: + Định lớ 1 : (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng)

Nếu cạnh huyền và cạnh gúc vuụng của tam giỏc này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh gúc vuụng của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đồng dạng.

+ Định lớ 2 : (hai cạnh gúc vuụng)

Nếu hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc này tỉ lệ với hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đồng dạng.

+ Định lớ 3 : ( gúc)

Nếu gúc nhọn của tam giỏc này bằng gúc nhọn của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đồng dạng

Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC cú AB = 10cm, AC = 20cm. Trờn cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm. Chứng minh ∠ABD = ∠ACB

Giải: 10 5 20 B _C A D Xột hai tam giỏc ADB và ABC ta cú:

AD AB ⁼ 5 10 ⁼ 1 2 AB AC ⁼ 10 20 ⁼ 1 2 Suy ra: ^AD_AB = ^AB_AC

Hai tam giỏc ABC và ADB cú gúc A chung ( là gúc xen giữa hai cạnh tương ứng), vậy ∆ADB _∽ ∆ABC. Từ đõy suy ra cỏc gúc tương ứng của chỳng bằng

nhau hay ∠ABD = ∠ACB

Vớ dụ 2: Tứ giỏc ABCD cú hai gúc vuụng tại đỉnh A và C, hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại O, ∠BAO = ∠BDC. Chứng minh rằng: ∠ACB = ∠ADB Giải:

1 ² 2 1 C A B D O Xột ∆ABO và ∆DCO, ta cú: ∠BAO = ∠ODC (gt)

∠AOB = ∠DOC (hai gúc đối đỉnh) Do đú : ∆ABO _∽ ∆DCO (g -g)

Suy ra: ∠B₁ = ∠C₁ (hai gúc tương ứng) Ta lại cú: ∠C₂ + ∠C₁ = 900

∠D2 + ∠B1 = 90⁰ ( vỡ ∠A = 90⁰ )

Từ cỏc đẳng thức (1), (2), (3) suy ra ∠C₂ = ∠D₂ hay ∠ACB = ∠ADB

11. Phương phỏp 11: Sử dụng tớnh chất về gúc của tứ giỏc đặc biệt.

- Gồm: hỡnh chữ nhật, hỡnh thoi, hỡnh vuụng, hỡnh bỡnh hành,.. ♦ Kiến thức: - Hỡnh chữ nhật + Hỡnh chứ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng. Hỡnh chữ nhật cũng là một hỡnh bỡnh hành. - Hỡnh vuụng

+ Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng. - Hỡnh bỡnh hành

+ Cỏc gúc đối bằng nhau.

- Hỡnh thoi

Vớ dụ 1: Cho hỡnh vuụng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phõn giỏc gúc ABE cắt AD ở K. Trờn ta đối của CD lấy điểm M sao cho CM = AK. Chứng minh: ∠M = ∠EBM. Giải: 1 1 3 2 ₄ K B D C A E _M Xột ∆BAK và ∆BCM cú: AK = CM (gt)

AB = BC (cạnh của hỡnh vuụng ABCD) Do đú: ∆BAK = ∆BCM (hai cạnh gúc vuụng) Suy ra: ∠K1 = ∠M, ∠B1= ∠B4

Ta lại cú: ∠B₁ = ∠B₂ nờn ∠B₂ = ∠B₄ Từ đú:

∠EBM = ∠B₃ + ∠B₄ = ∠B₃ + ∠B₂ = ∠KBC = ∠K₁ = ∠M Hay ∠M = ∠EBM => đpcm

12. Phương phỏp 12: Sử dụng tớnh chất về gúc của tứ giỏc nội tiếp.

♦ Kiến thức:

- Định lớ

Trong một tứ giỏc nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện bằng 180^o ABCD nội tiếp đường trũn (O) ta cú:

∠A + ∠C = 180⁰

O ^B

D

C A

Vớ dụ 1: Cho đường trũn tõm O đường kớnh CD = 2R. Cx và Dy là cỏc tiếp tuyến của đường trũn. Lấy một điểm E trờn đường trũn và một điểm M trờn đường kớnh CD. Một đường thẳng vuụng gúc với EM, cắt Cx và Dy tại A và B. Chứng minh rằng ∠ABM =∠CED

Giải: x y C O D A E B M Tứ giỏc EMDB cú: ∠MDB + ∠MEB = 180⁰ => EMDB là tứ giỏc nội tiếp

=> ∠EBM = ∠EDM (cựng chắn cung EM) Tứ giỏc AEMC cú:

=> AEMC là tứ giỏc nội tiếp.

=> ∠EAM = ∠ECM ( cựng chắn cung EM) Xột ∆CED và ∆AMB :

∠EDC = ∠MBA

∠DCE = ∠BAM

=> ∆CED _∽ ∆AMB (g - g)

=> ∠AMB = ∠CED = 90⁰

Vớ dụ 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, điểm I thuộc BD. Gọi E, F, K, L thứ tự là hỡnh chiếu của I xuống AB, BC, CD, DA. Chứng minh: ∠FLK = ∠EFL

Giải: K F L C A B D E I Vỡ AD // BC => L, I, F thẳng hàng và AB // DC => E, I, K thẳng hàng. Ta cú: ∠IEB = ∠IFB = 90⁰ (gt) => ∠IEB + ∠IFB = 180⁰

Tứ giỏc EBFI nội tiếp

=> ∠EBI = ∠EFI ( cựng chắn cung IE) (1)

Tứ giỏc LIKD cú: ∠DLI = ∠IKD = 90⁰ (gt) => ∠DLI + ∠IKD = 180⁰ => LIKD là tứ giỏc nội tiếp

=> ∠ILK = ∠IDK (cựng chắn cung IK) (2) Mặt khỏc: AB // DC => ∠BDC = ∠EBI (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ∠FLK = ∠EFL

Vớ dụ 3: Cho đường trũn (O) và đường thẳng khụng cắt đường trũn (O). Gọi A là hỡnh chiếu của (O) trờn d. Qua A kẻ một cỏt tuyến cắt (O) ở B và C. Hai tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt d ở E và F. Chứng minh rằng: ∠OEB = ∠OFC. Giải:

d B A O C E F Ta cú: ∠OBE =∠OAE = 90⁰ => OBAE là tứ giỏc nội tiếp

=> ∠OEB = ∠OAB ( cựng chắn cung OB) (1) ∠OAF + ∠ OCF = 180⁰

=> OAFC là tứ giỏc nội tiếp

=> ∠OAC = ∠OFC ( cựng chắn cung OC) (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠OEB = ∠OFC