6. Cấu trúc luận văn:
2.1.4. Tiêu chuẩn Lyapunov
2.1.4.1: Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov
Xét hệ phi tuyến không bị kích thích ( không có tín hiệu vào) mô tả bởi:
1 1
( ); ( ... ) ; ( )n t ( ( )... ( ))n T
d x
f x x x x f x f x f x
dt (2.5)
Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng nhƣng cũng có thể không có điểm cân bằng nào. Do đó, khái niệm ổn định của hệ phi tuyến cũng phải gắn liền với điểm cân bằng xeđƣợc xét. Hệ có thể ổn định tại điểm cân bằng này,
song lại không ổn địnhở những điểm cân bằng khác.
Không mất tính tổng quát, sau đây ta sẽ giả thiết hệ cân bằng tại gốc xe = 0 vàchỉ phân tích tính ổn định của hệ trong lân cận điểm cân bằng đó. Nói rằng không mất tính tổng quát vì chẳng hạn, để xét tính ổn định của hệ tại một điểm cân bằng xe ≠ 0nào đó, thì thông qua biến mới:
e
dx d x x x x
Việc xét tính ổn định của nó tại xe nay sẽ trở thành việc xét tính ổn định của:
( e)
d x
f x x
dt tại điểm gốc tọa độx 0
Giả sử hệ không bị kích thích đang ở điểm cân bằng xe =0 thì bị một tác động tức thời không mong muốn đánh bật ra khỏi 0 và đƣa tới một điểm trạng thái x0 nào đó thuộc lân cận đủ lớn của gốc tọa độ. Khi đó hệ sẽ đƣợc gọi là:Ổn định tại 0 nếu nó tự quay về về đƣợc điểm 0. Ổn định tiệm cận tại 0 nếu nó tự quay về đƣợc một lân cận nào đó của điểm gốc 0 (không cần kích thích). Lân cận lúc nàyđƣợc gọi là miền ổn định. Nếu miền ổn định là toàn bộ không gian trạng thái thì hệ sẽ đƣợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục.
Hiển nhiên rằng hệ ổn định tại cũng sẽ ổn định tại đó. Điều ngƣợc lại không đúng. Hơn thế nữa, ta còn nhận thấy chất lƣợng ổn định của hệ theo định nghĩa trên phụ thuộc vào vị trí điểm trạng thái xuất phát x0, tức là phụ thuộc vào lân cận . Lâncận càng lớn, chất lƣợng ổn định của hệ càng cao. Cũng nhƣ vậy, khi hệ đã ổn định thì hệ sẽ có chất lƣợng ổn định (tiệm cận) càng lớn nếu tốc độ tiến về gốc tọa độ của quỹ đạo trạng thái tự do xt của hệ càng nhanh. Hình 2.1 minh họa hai khái niệm ổnđịnh và ổn định tiệm cận theo định nghĩa trên.
Hình 2.1: Minh họa khái niệm ổn định và ổn định tiệm cận
Cũng từ hình minh họa 2.1 ta thấy nếu gọi xt, nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.5) ứng với điều kiện đầu x(0) = x0 bất kì nào đó thuộc lân cận của gốc tọa độ thì rõ ràng hệ sẽ là :
•Ổn định tiệm cận tại 0 nếu có limx(t) 0
x
nhỏ cho trƣớc và T là một sổ hữu hạn cũng cho trƣớc.
Nghiệm x(t) của phƣơng trình vi phân (2.5) ứng với điều kiện đầu x(0) = x0 bấtkỳ nào đó đƣợc gọi là quỹ đạo trạng thái tự do của hệ. Nhƣ vậy, theo định nghĩa trên, để kiểm tra đƣợc tính ổn định của hệ tại 0 ta phải xác định đƣợc nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.5). Do đó cũng là cần thiết nếu ta nói thêm về khả năng tồn tại nghiệm của phƣơng trình vi phân này.
Định lý 2.1 : Nếu phƣơng trình vi phân (2.5) thỏa mãn 0
0) ( )
(x f x L x x
f với mọi xthuộc lân cận nào đó của x0, trong đó L là số thực dƣơng, thì trong lân cận đó, nó sẽ có nghiệm duy nhất x{t) thỏa mãn điều kiện đầux(0) x0.
Định lý cho phép ta kiểm tra đƣợc sự tồn tại nghiệm x(t) của (2.5) nhƣng không giúp ta tìm đƣợc nghiệm đó. Một câu hỏi đặt ra là làm sao kiểm tra đƣợc tính ổn định của hệ phi tuyến không bị kích thích (a.b) mà không cần phải xác định hay đi tìm quỹ đạo của trạng thái tự do của nó. Câu trả lời chính là nội dung của tiêu chuẩn Lyapunov.
Hình 2.2: Tƣ tƣởng phƣơng pháp Lyapunov
Tƣ tƣởng tiêu chuẩn Lyapunov đƣợc giải thích nhƣ sau: giả sử hệ (2.5) cân bằng tại gốc tọa độ 0 . Khi đó, ta có thể thông qua dạng quỹ đạo trạng thái tự do
) (t
x của nó mà rút ra đƣợc những kết luận về tính ổn định của hệ 0, chứ không cần phải tìm đƣợc cụ thể hàm x(t). Chẳng hạn bằng cách nào đó ta có đƣợc các họ đƣờng cong khép kín v bao quanh gốc tọa độ 0. Vậy thì để kiểm tra hệ có ổn định tại 0 hay không ta chỉ cần kiểm tra xem nghiệm x(t) đi từ điểm trạng thái đầu xo nào đó thuộc lân cận có cắt các đƣờng cong v này theo hƣớng từ ngoài vào trong hay không. Nếux(t)cắt mọi đƣờng cong v theo chiều từ ngoài vào trong thì hiển nhiên x(t) tiến về 0 và do đó hệ sẽ ổn định tiệm cận tại 0. Ngƣợc lại, nếu x(t)không cắt bất cứ một đƣờng cong nào theo hƣơng từ trong ra ngoài thì chắc chắn x(t)sẽ tiến về gần 0 và do đó hệ ổn định.
Rõ ràng, để kiểm tra chiều cắt của quỹ đạo trạng thái tự do x(t)của hệ với các đƣờng cong v này, ta chỉ cần kiểm tra góc φ, là góc tạo bởi tiếp tuyếnd x
dt của
) (t
x vàvector ∆v, đƣợc định nghĩa là vector vuông góc với đƣờng cong v theo hƣớng từ trong ra ngoài, mà cụ thể khi x(t)chƣa về tới gốc 0 sẽ có :
> 90 từ ngoài vào trong thì hệ ổn định tiệm cận tại 0 ≥ 90 cắt từ ngoài vào trong hoặc tiếp xúc thì hệ ổn định tại 0
<0 khi x≠0 hệ ổn định tiệm cận tại 0 (2.6)
≤ 0 với mọi x thì hệ ổn định tiệm cận tại0 2.1.4.2: Tiêu chuẩn Lyapunov và hàm Lyapunov
Để có đƣợc các đƣờng cong u thích hợp, Lyapunov đã sử dụng tập các đƣờng đồng mức của hàm xác định dƣơng, trơn V(x), tức là hàm vô hƣớng, khả vi thỏa mãn :
V(x) ≥ 0, x≠ 0 và V(0 ) = 0 (2.7) Hàm xác định dƣơng V(x) này có phƣơng trình mô tả:
. .cos T v v d x d x dt .dt .cos T v v d x d x dt dt
x x bx ax x V T b 0 0 a 2 2 2
1 với a, b là hai s ố thực dƣơng
Và có tính chất là khi ta cắt nó bằng một mặt phẳng V = k song song với đáy và chiếu lên thiết diện đáy thì ta sẽ đƣợc một đƣờng cong khép kín vk chứa điểm gốc tọa độ 0. Đƣờng đồng mức ứng với vk với k nhỏ hơn thì nằm bên trong
đƣờng đồng mức vk ứng với k lớn hơn.
Với đặc điểm này của hàm xác định dƣơng V(x)thì vector ∆v của họ các đƣờng cong v sẽ đƣợc xác định nhƣ sau : T n T v x V x V x V gradV ,...., 1
vì vector gradient luôn luôn vuông góc với đƣờng cong vk và chỉ chiều tăng theo giá trị k của V(x) = k, tức là chỉ chiều từ trong ra ngoài của đƣờng cong vk.
Với hàm xác định dƣơng, trơn theo công thức (2.7) thì điều kiện(2.6) sẽ đƣợc viết lại thành :
<0 khi x≠0 hệ ổn định tiệm cận tại
≤ 0 với mọi x thì hệ ổn định tiệm cận tại 0
Định lý 2.2 (tiêu chuẩn Lyapunov): Xét hệ phi tuyến không bị kích thích (2.5) cân bằng tại gốc tọa độ. Gọi V(x) là một hàm xác định dƣơng, trơn. Ký hiệu: ( ) f(x) W(x) x x V Khi đó :
Hệ sẽ là ổn định tiệm cận tại 0 với miền ổn định , nếu W(x) là hàm xác định dƣơng trong , tức là W(x) > 0, x ≠ 0 và W(0) = 0.
Hệ sẽ là ổn định tại 0 nếu W(x)là hàm xác định bán dƣơng trong , tức là W(x)>0, x
Hàm V(x) khi đó đƣợc gọi là hàm Lyapunov.
) ( ) ( ) ( x f x x V dt dx x x V dt dx T v ( ) ( ) f(x) x x V dt dx x x V dt dx T v