Cơ sở lý thuyết hệ phi tuyến

6. Cấu trúc luận văn:

2.1. Cơ sở lý thuyết hệ phi tuyến

2.1.1.Hệ phi tuyến

Để định nghĩa đƣợc rõ ràng một đối tƣợng hay hệ thống nhƣ thế nào đƣợc gọi là phi tuyến trƣớc tiên ta nên định nghĩa lại hệ tuyến tính.

Xét một hệ thống MIMO, viết tắt của nhiều vào/nhiều ra (Multi Inputs - Multi Outputs) với r tín hiệu vào u1(t), u2(t), ... , ur(t) và s tín hiệu ra y1(t), y2(t), ... , ys(t) . Nếu viết chung r tín hiệu đầu vào thành vectơ :

tâm ở đây là mô hình toán học mô tả quan hệ giữa vector tín hiệu vàou(t) và tín hiệu ra y(t), tức là mô tả ánh xạ T : u(t)→y(t). Ánh xạ này đƣợc viết lại nhƣ sau :

y(t) = T{u(t)} (2.1) Nếuánh xạ T thỏa mãn :

T(a1u1(t)) + Ta2u2(t)) = a1T(u1(t)) + a2T(u2(t)) (2.2) Trong đó a1, a2Є R thì hệ đó đƣợc gọi là tuyến tính. Tính chất (2.2) đƣợc gọi là nguyên lý xếp chồng.

Ngƣợc lại, hệ thống không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng gọi là hệ phi tuyến.

Nhờ có mô hình toán học (2.1) ta luôn xác định đƣợc vector tín hiệu đầu ra

y(t) của hệ thống nếu nhƣ đã biết trƣớc vector tín hiệu đầu vào u{t) và các trạng thái tức thời x1(t),x2(t).. .xn(t) của nó.

Mô hình của hệ tĩnh : Một hệ thống đƣợc gọi là tĩnh, nếu tín hiệu ra y(t) ở thời điểm t= t0 đƣợc xác định trực tiếp từ tín hiệu đầu vào u(t0) tại đúng thời điểm đó. Nhƣvậy mô hình toán học (2.1) của hệ tĩnh sẽ chỉ là một quan hệ đại số và ngƣời ta viết nó lại thành hàm y= f (u)

Mô hình của hệ động : Một hệ thống đƣợc gọi là động, nếu để xác định tín hiệu ra y(t0) ở thời điểm t= t0 ngƣời ta cần phải có các giá trị tín hiệu đầu vào

u(t) ở tất cảcác thời điểm trƣớc đó. Nhƣ vậy, để mô tả một hệ động, mô hình toán học (2.1) của nó không thể chỉ là một quan hệ đại số mà nó còn có cả các quan hệ giải thích khác nhƣ vi phân, tích phân. Khác với hệ tĩnh, mô hình hệ động có sự tham gia của các biến trạng thái, vì trạng thái của hệ là đại lƣợng mang thông tin về tính động học của hệ.

Bản chất động học của hệ thống nằm trong quan hệ giữa tín hiệu vào

u(t)vàtrạng thái x(t) của nó. Mô hình toán học (2.1) đƣợc viết dƣới dạng :

• Mô hình trạng thái tự trị (autonom)

) ; ( ) ; ( u x g y u x f dt dx

• Mô hình trạng thái không tự trị (non-autonom)

) , ; ( ) , , ( t u x g y t u x f dt dx

Với mô hình trạng thái ngƣời ta có thể xác định đƣợc nghiệm x(t), y(t) mô tả sựthay đổi trạng thái và tín hiệu ra của hệ thống theo thời gian dƣới tác động của kích thích y(t) và điểm trạng thái đầu x0 = x(0) đƣợc giả thiết là đã biết.

2.1.2. Điểm cân bằng và điểm dừng của hệ

Định nghĩa 2.1: Một điểm trạng thái xe đƣợc gọi là điểm cân bằng nếu nhƣ khi đang ở điểm trạng thái xe và không có một tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó.

Căn cứ theo định nghĩa nhƣ vậy thì điểm cân bằng xe của hệ thống phải là nghiệm của phƣơng trình:

f(x,u,t)u 0 0

dt dx

(2.3) Định nghĩa 2.2 : Một điểm trạng thái xd đƣợc gọi là điểm dừng của hệ thống nếu nhƣ hệ đang ở điểm trạng thái xd và với tác động u(t) - ud cố định, không đổi cho trƣớc, thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó.

Rõ ràng là điểm dừng theo định nghĩa vừa nêu sẽ là nghiệm của :

( , d, )u ud 0

d x

f x u t

dt (2.4)

2.1.3.Tính ổn định của điểm cân bằng

Một trong những công việc phải làm đầu tiên khi phân tích hệ thống là xét tính ổn định của hệ thống. Nếu hệ thống không ổn định thì phải tìm một bộ điều khiển làm cho nó ổn định. Khi hệ đã ổn định rồi, ta mới tính tới việc mở rộng bộ điều khiển đã có hoặc tìm thêm các bộ điều khiển tiếp theo để tạo ra cho hệ thống những chất lƣợng mong muốn khác.

Tính ổn định của hệ thống là một phản ứng động học của hệ với tác động từ bên ngoài. Nhƣng do có hai nguồn tác động bên ngoài mà ta thƣờng quan tâm là tín hiệu đầu vào và tín hiệu nhiễu, nên tƣơng ứng cũng có hai định nghĩa về tính ổn định.

Định nghĩa 2.3 (BIBO) : một hệ thống có (vector) tín hiệu vào u(t) và ra

y(t)đƣợc gọi là ổn định BIBO nếu nhƣ u t( ) < ∞(hữu hạn) thì y t( ) < ∞ cũng là số hữuhạn.

Định nghĩa 2.4 ( Lyapunov): Một hệ thống đƣợc gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng xe nếu nhƣ có một tác động tức thời (hoặc trong

mộtkhoảng thời gian đủ ngắn) đánh bật hệ ra khỏi xe thì sau đó hệ có khả năng tự quay vềđƣợc điểm cân bằng ban đầu.

Theo định nghĩa trên thì ta có thể nhận biết đƣợc hệ có ổn định hay không tại một điểm cân bằng thông qua dạng họ các đƣờng quỹ đạo trạng thái của nó. Nếu hệ ổn định tại một điểm cân bằng xenào đó thì mọi đƣờngquỹ đạo trạng thái x(t) xuất phát từ một điểm xo thuộc lân cận của xe đềuphải kết thúc tại xe.

Chú ý rằng tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có ý nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng xe . Có thể hệ sẽ ổn định tại điểm cân bằng này, song lạikhông ổn định ở điểm cân bằng khác. Điều này cũng khác so với khái niệm ốn định ở hệ tuyến tính. Vì hệ tuyến tính thƣờng chỉ có một điểm cân bằng là gốc toạ độ

(xe= 0 ) nên khi hệ ổn định tại 0 , ngƣời ta cũng nói thêm luônmột cách ngắn gọn là hệ ổn định .

2.1.4. Tiêu chuẩn Lyapunov

2.1.4.1: Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov

Xét hệ phi tuyến không bị kích thích ( không có tín hiệu vào) mô tả bởi:

1 1

( ); ( ... ) ; ( )n t ( ( )... ( ))n T

d x

f x x x x f x f x f x

dt (2.5)

Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng nhƣng cũng có thể không có điểm cân bằng nào. Do đó, khái niệm ổn định của hệ phi tuyến cũng phải gắn liền với điểm cân bằng xeđƣợc xét. Hệ có thể ổn định tại điểm cân bằng này,

song lại không ổn địnhở những điểm cân bằng khác.

Không mất tính tổng quát, sau đây ta sẽ giả thiết hệ cân bằng tại gốc xe = 0 vàchỉ phân tích tính ổn định của hệ trong lân cận điểm cân bằng đó. Nói rằng không mất tính tổng quát vì chẳng hạn, để xét tính ổn định của hệ tại một điểm cân bằng xe ≠ 0nào đó, thì thông qua biến mới:

e

dx d x x x x

Việc xét tính ổn định của nó tại xe nay sẽ trở thành việc xét tính ổn định của:

( e)

d x

f x x

dt tại điểm gốc tọa độx 0

Giả sử hệ không bị kích thích đang ở điểm cân bằng xe =0 thì bị một tác động tức thời không mong muốn đánh bật ra khỏi 0 và đƣa tới một điểm trạng thái x0 nào đó thuộc lân cận đủ lớn của gốc tọa độ. Khi đó hệ sẽ đƣợc gọi là:Ổn định tại 0 nếu nó tự quay về về đƣợc điểm 0. Ổn định tiệm cận tại 0 nếu nó tự quay về đƣợc một lân cận nào đó của điểm gốc 0 (không cần kích thích). Lân cận lúc nàyđƣợc gọi là miền ổn định. Nếu miền ổn định là toàn bộ không gian trạng thái thì hệ sẽ đƣợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục.

Hiển nhiên rằng hệ ổn định tại cũng sẽ ổn định tại đó. Điều ngƣợc lại không đúng. Hơn thế nữa, ta còn nhận thấy chất lƣợng ổn định của hệ theo định nghĩa trên phụ thuộc vào vị trí điểm trạng thái xuất phát x0, tức là phụ thuộc vào lân cận . Lâncận càng lớn, chất lƣợng ổn định của hệ càng cao. Cũng nhƣ vậy, khi hệ đã ổn định thì hệ sẽ có chất lƣợng ổn định (tiệm cận) càng lớn nếu tốc độ tiến về gốc tọa độ của quỹ đạo trạng thái tự do xt của hệ càng nhanh. Hình 2.1 minh họa hai khái niệm ổnđịnh và ổn định tiệm cận theo định nghĩa trên.

Hình 2.1: Minh họa khái niệm ổn định và ổn định tiệm cận

Cũng từ hình minh họa 2.1 ta thấy nếu gọi xt, nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.5) ứng với điều kiện đầu x(0) = x0 bất kì nào đó thuộc lân cận của gốc tọa độ thì rõ ràng hệ sẽ là :

•Ổn định tiệm cận tại 0 nếu có limx(t) 0

x

nhỏ cho trƣớc và T là một sổ hữu hạn cũng cho trƣớc.

Nghiệm x(t) của phƣơng trình vi phân (2.5) ứng với điều kiện đầu x(0) = x0 bấtkỳ nào đó đƣợc gọi là quỹ đạo trạng thái tự do của hệ. Nhƣ vậy, theo định nghĩa trên, để kiểm tra đƣợc tính ổn định của hệ tại 0 ta phải xác định đƣợc nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.5). Do đó cũng là cần thiết nếu ta nói thêm về khả năng tồn tại nghiệm của phƣơng trình vi phân này.

Định lý 2.1 : Nếu phƣơng trình vi phân (2.5) thỏa mãn 0

0) ( )

(x f x L x x

f với mọi xthuộc lân cận nào đó của x0, trong đó L là số thực dƣơng, thì trong lân cận đó, nó sẽ có nghiệm duy nhất x{t) thỏa mãn điều kiện đầux(0) x0.

Định lý cho phép ta kiểm tra đƣợc sự tồn tại nghiệm x(t) của (2.5) nhƣng không giúp ta tìm đƣợc nghiệm đó. Một câu hỏi đặt ra là làm sao kiểm tra đƣợc tính ổn định của hệ phi tuyến không bị kích thích (a.b) mà không cần phải xác định hay đi tìm quỹ đạo của trạng thái tự do của nó. Câu trả lời chính là nội dung của tiêu chuẩn Lyapunov.

Hình 2.2: Tƣ tƣởng phƣơng pháp Lyapunov

Tƣ tƣởng tiêu chuẩn Lyapunov đƣợc giải thích nhƣ sau: giả sử hệ (2.5) cân bằng tại gốc tọa độ 0 . Khi đó, ta có thể thông qua dạng quỹ đạo trạng thái tự do

) (t

x của nó mà rút ra đƣợc những kết luận về tính ổn định của hệ 0, chứ không cần phải tìm đƣợc cụ thể hàm x(t). Chẳng hạn bằng cách nào đó ta có đƣợc các họ đƣờng cong khép kín v bao quanh gốc tọa độ 0. Vậy thì để kiểm tra hệ có ổn định tại 0 hay không ta chỉ cần kiểm tra xem nghiệm x(t) đi từ điểm trạng thái đầu xo nào đó thuộc lân cận có cắt các đƣờng cong v này theo hƣớng từ ngoài vào trong hay không. Nếux(t)cắt mọi đƣờng cong v theo chiều từ ngoài vào trong thì hiển nhiên x(t) tiến về 0 và do đó hệ sẽ ổn định tiệm cận tại 0. Ngƣợc lại, nếu x(t)không cắt bất cứ một đƣờng cong nào theo hƣơng từ trong ra ngoài thì chắc chắn x(t)sẽ tiến về gần 0 và do đó hệ ổn định.

Rõ ràng, để kiểm tra chiều cắt của quỹ đạo trạng thái tự do x(t)của hệ với các đƣờng cong v này, ta chỉ cần kiểm tra góc φ, là góc tạo bởi tiếp tuyếnd x

dt của

) (t

x vàvector ∆v, đƣợc định nghĩa là vector vuông góc với đƣờng cong v theo hƣớng từ trong ra ngoài, mà cụ thể khi x(t)chƣa về tới gốc 0 sẽ có :

> 90 từ ngoài vào trong thì hệ ổn định tiệm cận tại 0 ≥ 90 cắt từ ngoài vào trong hoặc tiếp xúc thì hệ ổn định tại 0

<0 khi x≠0 hệ ổn định tiệm cận tại 0 (2.6)

≤ 0 với mọi x thì hệ ổn định tiệm cận tại0 2.1.4.2: Tiêu chuẩn Lyapunov và hàm Lyapunov

Để có đƣợc các đƣờng cong u thích hợp, Lyapunov đã sử dụng tập các đƣờng đồng mức của hàm xác định dƣơng, trơn V(x), tức là hàm vô hƣớng, khả vi thỏa mãn :

V(x) ≥ 0, x≠ 0 và V(0 ) = 0 (2.7) Hàm xác định dƣơng V(x) này có phƣơng trình mô tả:

. .cos T v v d x d x dt .dt .cos T v v d x d x dt dt

x x bx ax x V T b 0 0 a 2 2 2

1 với a, b là hai s ố thực dƣơng

Và có tính chất là khi ta cắt nó bằng một mặt phẳng V = k song song với đáy và chiếu lên thiết diện đáy thì ta sẽ đƣợc một đƣờng cong khép kín vk chứa điểm gốc tọa độ 0. Đƣờng đồng mức ứng với vk với k nhỏ hơn thì nằm bên trong

đƣờng đồng mức vk ứng với k lớn hơn.

Với đặc điểm này của hàm xác định dƣơng V(x)thì vector ∆v của họ các đƣờng cong v sẽ đƣợc xác định nhƣ sau : T n T v x V x V x V gradV ,...., 1

vì vector gradient luôn luôn vuông góc với đƣờng cong vk và chỉ chiều tăng theo giá trị k của V(x) = k, tức là chỉ chiều từ trong ra ngoài của đƣờng cong vk.

Với hàm xác định dƣơng, trơn theo công thức (2.7) thì điều kiện(2.6) sẽ đƣợc viết lại thành :

<0 khi x≠0 hệ ổn định tiệm cận tại

≤ 0 với mọi x thì hệ ổn định tiệm cận tại 0

Định lý 2.2 (tiêu chuẩn Lyapunov): Xét hệ phi tuyến không bị kích thích (2.5) cân bằng tại gốc tọa độ. Gọi V(x) là một hàm xác định dƣơng, trơn. Ký hiệu: ( ) f(x) W(x) x x V Khi đó :

Hệ sẽ là ổn định tiệm cận tại 0 với miền ổn định , nếu W(x) là hàm xác định dƣơng trong , tức là W(x) > 0, x ≠ 0 và W(0) = 0.

Hệ sẽ là ổn định tại 0 nếu W(x)là hàm xác định bán dƣơng trong , tức là W(x)>0, x

Hàm V(x) khi đó đƣợc gọi là hàm Lyapunov.

) ( ) ( ) ( x f x x V dt dx x x V dt dx T v ( ) ( ) f(x) x x V dt dx x x V dt dx T v

2.2.Phƣơng pháp điều khiển thích nghi Li - Slotine

Để đảm bảo chất lƣợng bám chính xác quỹ đạo của chuyển động tay máy robot mà không phụ thuộc tham số bất định của mô hình động lực học. Luật điều khiển Li- Slotine đã giải quyết vấn đề này bằng việc chỉnh định lại các tham số bất định bằng luật cập nhật, để so sánh giữa giá trị chỉnh định với giá trị thực rồi đƣa vào bộ điều khiển để hiệu chỉnh tính toán moment điều khiển cho từng khớp, đảm bảo hệ thống ổn định và sai lệch vị trí các khớp sẽ tiến về 0. Luật điều khiển xây dựng dựa trên tiêu chuẩn ổn định Lyapunov.

Phƣơng trình động lực học robot:

( ) ( , ) ( )

M H q q C q q q G q (2.8) Moment điều khiển:

đk

M H q v C q q v G qˆ ( ) ˆ , ˆ( ) K rd (2.9) Luật cập nhật thích nghi tham số động lực học: ˆ ˆT

p Y r (2.10) Trong đó: là ma trận đƣờng chéo, xác định dƣơng.

( ) ( ) d d d d d v q q q q E r v q q q q q E E => v qd E r v q Đặt ∆p = pˆ- p; ∆C = Cˆ- C ∆H = Hˆ - H; ∆G = Gˆ - G

Kết hợp (2.8) và (2.9) ta có phƣơng trình động lực học kín của Robot nhƣ sau: H q q( ) C q q q( , ) G q( ) ( H H v) ( C C v) G G K rd

( )[ ] ( , )[v- ] ( ) d

H q v q C q q q Hv Cv G K r (2.11) H q r( ) C q q r( , ) Y v v q q( , , , ) p K rd

( , ) C q q = 1 2 H(q) + S(q,q) → rTH q r( ) +1 ( ) ( , ) 1 ( ) 2 2 T T d T r H q r r S q q r r H q r dt (2.13) Lại có: ˆ ˆT p Y r → . 1 T T T T T p p p Y r p Y r → . 1 2 T T d T r Y p p p p p dt (2.14) Từ (2.13) và (2.14) 1 1 ( ) 2 2 T T T d d d r H q r p p r K r dt dt (2.15) Do H và Kdlà ma trận đối xứng dƣơng nên

( ) 0 T T r H q r p p Chọn hàm Lyapunov: V(r) = r H q rT ( ) pT p Nhận thấy: ( ) 0; ( ) 0 ( ) 0; ( ) 0 0 d d V r E q q V r E q q V r V r r =>r = E E 0 khi t → ∞ => 0 0 E E khi t → ∞

Sơ đồ điều khiển:

Hình 2.4: Sơ đồ điều khiển Li-slotine thích nghi

Bộ điều khiển Li-Slotine thích nghi đã giải quyết đƣợc vấn đề tham số động lực học của robot không xác định đƣợc. Nhƣng ở trên, ta đang giả thiết rằng tín hiệu tốc độ q là đo đƣợc và phản hồi về bộ điều khiển. Thực tế, ta không thể đo đƣợc tốc độ q hoặc nếu đo đƣợc thì cũng khó xác định chính xác. Sau đây, em xin đề xuất thay thế việc đo tốc độ bằng phƣơng pháp sử dụng bộ quan sát thích nghi. Nội dung của phƣơng pháp dựa trên ý tƣởng của bộ quan sát Luenberger.

2.3. Bộ quan sát trạng thái thích nghi

2.3.1. Bộ quan sát trạng thái của Luenberger

Xét hệ thống phi tuyến :

x Ax Bu

y C x (2.16)

y, C là các tín hiệu đo đƣợc

Mô hình bộ quan sát Luenberger đề xuất nhƣ sau:

ˆ ˆ ( ˆ) x Ax Bu L y y (2.17) Từ (2.31) và(2.32) ta có đƣợc sai lệch quan sát e = x -xˆ, và do đó : ˆ ( ) ( ) e Ae L C x Cx A LC e (2.18)

Nhƣ vậy để e = x - xˆ → 0thì A-LC phải là ma trận bền. Ta phải tìm L sao cho giá trị riêng của A-LC nằm về bên trái mặt phẳng phức.

Theo nhƣ bộ quan sát Luenberger, các tham số của hệ là hằng số không thay đổi và đã biết chính xác. Nhƣng tham số động học của robot lại luôn thay đổi trong quá trình làm việc và ta cũng không biết đƣợc chính xác. Vì thế, ta