* VD1: Tỡm số nguyờn n để giỏ trị của biểu thức A chia hết cho giỏ trị của biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Giải: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 Ta cú: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + 2 2 n −n
Do đú Giỏ trị của A chia hết cho giỏ trị của B ⇔ n2 – n ∈Ư(2) ⇔2 chia hết cho n(n – 1) ⇔2 chia hết cho n Ta cú bảng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Loại T/m T/m Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thỡ giỏ trị của biểu thức A chia hết cho giỏ trị của biểu thức B VD 2: Tỡm số nguyờn n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Giải: n5 + 1 M n3 + 1⇔n5 + n2 – n2 + 1 M n3 + 1 ⇔n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) ⇔M n3 + 1 ⇔(n – 1)(n + 1) M(n+1)(n2 – n + 1) ⇔n – 1 Mn2 – n + 1 ⇒n(n – 1) Mn2 – n + 1 Hay n2 – n Mn2 – n + 1 ⇒(n2 – n + 1) – 1 Mn2 – n + 1 ⇒ 1Mn2 – n + 1 Xột hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 ⇒ n2 – n = 0 ⇔n(n – 1) = 0 ⇔n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài + n2 – n + 1 = - 1 ⇔ n2 – n + 2 = 0 , khụng cú giỏ trị của n thoả món
VD 3: Tỡm số tự nhiờn n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7 Giải:
Ta cú luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1 Nếu n = 3k (k ∈N) thỡ 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k M8 – 1 = 7 Nếu n = 3k + 1(k ∈N) thỡ 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1 ⇒2n - 1 khụng chia hết cho 7 Nếu n = 3k +2(k ∈N) thỡ 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 ⇒2n - 1 khụng chia hết cho 7 Vậy 2n - 1M7⇔ n = 3k (k ∈N) 4. Củng cố - Hệ thống nội dung đó ụn
5. Hướng dẫn học ở nhà
- Làm cỏc bài tập trong sỏch nõng cao toỏn 8 Ngày giảng:
Chiều: .../.../... CHUYấN ĐỀ 3
TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYấN(tiếp theo) (tiếp theo)
I. Mục tiờu1.Kiến thức 1.Kiến thức
- Biết vận dụng tớnh chất chia hết của số nguyờn dể chứng minh quan hệ chia hết, tỡm
số dư và tỡm điều kiện chia hết.
2.Kỹ năng
- Hiểu cỏc bước phõn tớch bài toỏn, tỡm hướng chứng minh3.Thỏi độ 3.Thỏi độ
- Rốn luyện tớnh linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tớnh toỏn. - Giỳp cỏc em yờu thớch học toỏn
II. Chuẩn bị
1. Giỏo viờn: Phấn màu, sỏch tham khảo2. Học sinh: 2. Học sinh:
III. Tiến trỡnh dạy học1. Ổn định tổ chức 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra
3. Bài mớiIV. Bài tập IV. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hờt ch 48 với mọi số n chẵn b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ Giải a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Với n chẵn, n = 2k ta cú: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) M8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta cú: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) M16 Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyờn n b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyờn dương n Giải: Ta cú: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2 = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta lại cú: 72 = 8.9 với (8,9) = 1 Xột cỏc trường hợp: + Với n = 2k⇒A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) M8 + Với n = 2k +1 ⇒A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 M8
Tương tự xột cỏc trường hợp n = 3a, n= 3a ± 1 để chứng minh AM9 Vậy AM8.9 hay AM72
Bài 3: Cho a là số nguyờn tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 -1 chia hết cho 24 Giải:
Bài 4: Chứng minh rằng: ếu số tự nhiờn a khụng chia hết cho 7 thỡ a6 -1 chia hết cho 7 Giải:
Bài toỏn là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phộc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyờn tố và a là một số nguyờn thỡ ap – a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyờn khụng chia hết cho số nguyờn tố p thỡ ap-1-1 chia hết cho p
Thật vậy, ta cú a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu a = 7k ±1 (k ∈N) thỡ a3 = ( 7k ± 1)3 = BS7 ± 1 ⇒ a3 - 1M7
Nếu a = 7k ±2 (k ∈N) thỡ a3 = ( 7k ± 2)3 = BS7 ± 23 = BS7 ± 8⇒ a3 - 1M7 Nếu a = 7k ±3 (k ∈N) thỡ a3 = ( 7k ± 3)3 = BS7 ± 33 = BS7 ± 27⇒ a3 + 1M7 Ta luụn cú a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7
Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n là lập phương của một số tự nhiờn thỡ (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải:
Ta cú 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyờn tố cựng nhau từng đụi một Vỡ n là lập phương của một số tự nhiờn nờn đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504 Ta cú: + Nếu a chẵn⇒ a3 chia hết cho 8
Nếu a lẻ⇒ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liờn tiếp⇒(a3-1) (a3 + 1) M cho 8 Vậy AM8 , 19 9a ∀n∈N (1)
+ Nếu aM7 ⇒a3
M7 ⇒ AM7
Nếu a khụng chia hết cho 7 thỡ a6 – 1M7⇒(a3-1) (a3 + 1) M7(Định lớ Phộc ma) Vậy AM7 , ∀ ∀n∈N (2)
+ Nếu aM3 ⇒a3
M9⇒ AM9
Nếu a khụng chia hấe cho 3 ⇒ a = 3k ±1⇒ a3 = ( 3k ± 3)3= BS9±1
⇒a3 – 1 = BS9+1 – 1 M9; a3 + 1 = BS9- 1 + 1 M9 Vậy AM9 , ∀ ∀n∈N (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒AM9 , ∀ ∀n∈N
Bài 6: Tỡm số tự nhiờn n để giỏ trị của biểu thức sau là số nguyờn tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ 3 3 4 n + n Giải: a/ Phõn tớch thành nhõn tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyờn tố và 4n +5 > 0 nờn 3n – 5 > 0.
Ta lại cú: 3n – 5 < 4n +5(vỡ n ≥ 0) nờn để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyờn tố thỡ thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 ⇒ n = 2
Khi đú, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyờn tố.
Vậy với n = 2 thỡ giỏ trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyờn tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
c/ A = 3 3
4
n + n. Do A là số tự nhiờn nờn n(n + 3)
M4.
Hai số n và n + 3 khụng thể cựng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4 - Nếu n = 0 thỡ A = 0, khụng là số nguyờn tố
- Nếu n = 4 thỡ A = 7, là số nguyờn tố
-Nếu n = 4k với k∈Z, k > 1 thỡ A = k(4k + 3) là tớch của hai thừa số lớn hơn 1 nờn A là hợp số
- Nếu n + 3 = 4 thỡ A = 1, khụng là số nguyờn tố
- Nếu n + 3 = 4k với k∈Z, k > 1 thỡ A = k(4k - 3) là tớch của hai thừa số lớn hơn 1 nờn
A là hợp số.
Vậy với n = 4 thỡ 3 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4
n + n là số nguyờn tố 7
Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
Một ngày của thập kỷ cuối cựng của thế kỷ XX, một nhườ khỏch đến thăm trường gặp hai học sinh. Người khỏch hỏi:
- Cú lẽ hai em bằng tuổi nhau? Bạn Mai trả lời:
- Khụng, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng cỏc chữ số của năm sinh mỗi chỳng em đều là số chẵn.
- Vậy thỡ cỏc em sinh năm 1979 và 1980, đỳng khụng? Người khỏch đó suy luận thế nào?
Giải:
Chữ số tận cựng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vỡ trong trường hợp ngựoc lại thỡ tổng cỏc chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kộm nhau là 1, khụng thể cựng là số chẵn.
Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thỡ 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thỡ a∈
{1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiờn Mai khụng thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980.
4. Củng cố
- Hệ thống nội dung đó ụn
5. Hướng dẫn học ở nhà
Ngày giảng:
Chiều: .../.../... CHUYấN ĐỀ 4
TỨ GIÁC, HèNH THANGI. Mục tiờu I. Mục tiờu
1.Kiến thức
- Vị trớ tương đối của điểm, đường thẳng - Chứng minh bằng nhau, tớnh toỏn
2.Kỹ năng
- Vận dụng tốt làm cỏc bài tập về vị trớ tương đối của điểm, đường thẳng, chứng minh bằng nhau, tớnh toỏn
3.Thỏi độ
- Rốn luyện tớnh linh hoạt, cẩn thận trong biến đổi và tớnh toỏn. - Giỳp cỏc em yờu thớch học toỏn
II. Chuẩn bị
1. Giỏo viờn: Phấn màu, sỏch tham khảo2. Học sinh: 2. Học sinh:
III. Tiến trỡnh dạy học1. Ổn định tổ chức 1. Ổn định tổ chức 2. Kiểm tra
3. Bài mới
I. Bài tập về vị trớ tương đối của điểm, đường thẳng .Bài toỏn 1a :