Phần trên chúng tôi đã phân tích tổ chức toán học, tổ chức didactic trên quan điểm động. Phần này, từ quan điểm tĩnh chúng tôi tiến hành tổng hợp các tổ chức toán học đã được xây dựng trong tiết học, sau đó chúng tôi sẽ dùng lý thuyết sáu thời điểm để mô tả tổ chức didactic được GV dùng để triển khai các tổ chức toán học đó: các thời điểm nghiên cứu nào đã được thực hiện và thực hiện như thế nào?
3.3.1. Tổ chức toán học
Trong tiết học này đã có 10 tổ chức toán học xuất hiện với 29 lượt. Chủ yếu là các tổ chức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng với 13 lượt và kiểu nhiệm vụ đường thẳng vuông góc mặt phẳng, với 9 lượt.
80
Các kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật có sự đan xen lẫn nhau. Kỹ thuật 1
Duong Mat
τ ⊥
của kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ đòi hỏi phải chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng, tức là thực hiện kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ . Để thực hiện kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ bằng kỹ thuật 3
Duong Duong
τ ⊥ , lại đòi hỏi phải chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tức là lại thực hiện kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ . Sự đan xen này xuất hiện đến 7 lần trong bài dạy của GV.
Một sự đan xen khác mà chúng tôi ghi nhận đó là kiểu nhiệm vụ TMat Mat⊥ và
Duong Mat
T ⊥ . Sử dụng kỹ thuật 3
Mat Mat
τ ⊥ đòi hỏi phải đi chứng minh một đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia, tức là thực hiện kiểu nhiệm vụ
Duong Mat
T ⊥ . Sự đan xen này xuất hiện 4 lần trong bài dạy. Kỹ thuật 3
Mat Mat
τ ⊥ xuất hiện đến 4 lần trong tiết dạy và đây cũng là kỹ thuật duy nhất cho TMat Mat⊥ xuất hiện trong tiết dạy. Mặc dù vậy, kỹ thuật này lại không hề xuất hiện trong thể chế nghiên cứu.
Đối với các kỹ thuật của TTamGiacVuong ở câu b của bài tập 1 thì thao tác đầu tiên là phải nhận định tam giác SEF vuông tại đỉnh nào. Đây chính là hoạt động dự đoán. HS sẽ gặp không ít khó khăn hoặc dự đoán sai trong hoạt động này trên hình biểu diễn vì quan hệ vuông góc không được bảo toàn. Với môi trường Cabri 3D, khó khăn trên đã hoàn toàn được khắc phục nhờ vào tính động của Cabri 3D. Trong hình Cabri 3D, các yếu tố về vuông góc vẫn được đảm bảo giúp cho việc đưa ra dự đoán tam giác vuông tại F khi quan sát sẽ dễ dàng hơn rất nhiều. Hơn nữa, công cụ đo “số đo góc” cho phép đo số đo của góc SFE để thử sai dự đoán. Như vậy, trong môi trường Cabri 3D, kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ TTamGiacVuong không thay đổi, nhưng Cabri 3D có sự ảnh hưởng rất lớn đến công đoạn dự đoán và thử sai dự đoán.
Sự khác biệt về sử dụng kỹ thuật trong môi trường Cabri 3D còn được xuất hiện trong kỹ thuật 3
Mat Mat
τ ⊥ của kiểu nhiệm vụ TMat Mat⊥ để chứng minh
(SBD)⊥(SHF). Theo kỹ thuật 3
Mat Mat
81
phẳng nào có chứa đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia cho dễ chứng minh và phải chọn đường thẳng nào?”. HS sẽ đứng trước rất nhiều lựa chọn nên rất khó để được lựa chọn phù hợp. Với việc quan sát hình trong môi trường Cabri 3D, điều này sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều. Cabri 3D giúp HS đưa ra lựa chọn nhanh chóng và chính xác điều cần chứng minh. Các bước còn lại của kỹ thuật 3
Mat Mat
τ ⊥ được thực hiện bình thường sau khi xác định được điều cần chứng minh.
Ngoài ra, môi trường Cabri 3D còn có ảnh hưởng lên việc sử dụng các kỹ thuật 3
Duong Duong
τ ⊥ , τ1Duong Mat⊥ , τDuong Mat5 ⊥ . Trong các kỹ thuật trên, nhờ có hình Cabri 3D với tính năng động mà việc chọn đường thẳng nào, chọn mặt phẳng nào được thực hiện dễ dàng hơn so với môi trường giấy bút.
Bên cạnh đó, môi trường Cabri 3D còn làm nảy sinh các kỹ thuật mới, kỹ thuật 3.2
ThietDien
τ ở câu c bài 2. Trong tiết dạy, GV đã sử dụng chức năng dựng mặt phẳng qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng để dựng mặt phẳng qua M và vuông góc với CD. Sau đó, GV tiếp tục sử dụng công cụ “điểm giao” để tìm giao điểm của mặt phẳng vừa dựng với các cạnh của hình chóp. Từ hình Cabri 3D dự đoán thiết diện. Cuối cùng là sử dụng công cụ lý thuyết để chứng minh. Như vậy, nhờ các tính năng của Cabri 3D mà việc tìm thiết diện được thực hiện với kỹ thuật 3.2
ThietDien
τ . Kiểu nhiệm
vụ Các kỹ thuật Công nghệ – Lý thuyết cách sử dụng kỹ thuật Có sự khác biệt về xuất hiện Số lượt
TamGiacVuong T 1 TamGiacVuong τ X 1 Duong Mat T ⊥ 1 Duong Mat τ ⊥ X 7 4 Duong Mat τ ⊥ 1 5 Duong Mat τ ⊥ X 1 Duong Duong T ⊥ 2 Duong Duong τ ⊥ 4 3 Duong Duong τ ⊥ X 7 4 Duong Duong τ ⊥ 2 Mat Mat T ⊥ 3 Mat Mat τ ⊥ X 4 Diem Mat Kc T − τ1Kc Diem Mat: − 1 3 ThietDien T τThietDien3.2 X 1
Bảng 3.1 Tóm tắt các tổ chức toán học được xây dựng
82
3.3.2.1. Thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên
Kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ và TTamGiacVuong được gặp lần đầu tiên ở đoạn 19:
GV: […] từ dự đoán chúng ta cố gắng chứng minh ∆SEF vuông tại F…. Nói cách khác là chứng minh SF vuông góc với EF.
Có thể nói kiểu nhiệm vụ TTamGiacVuong đã được gặp lần lượt ở 3 thời điểm: một là khi HS nhận xét được tính chất của ∆SEF nhờ vào việc quan sát hình vẽ động, hai là khi HS đọc được số đo góc SFE mà GV vừa dùng Cabri 3D để đo đạc, ba là khi GV nêu yêu cầu “chứng minh ∆SEF vuông tại F”. Do GV đang khai thác khả năng hỗ trợ của Cabri 3D cho dự đoán và thử sai nên hai thời điểm đầu diễn ra ngầm ẩn, vì vậy theo chúng tôi thời điểm thứ 3 mới được xem là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với kiểu nhiệm vụ này.
Kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ được đặt ra ngay sau đó, việc thực hiện nó chính là bước quan trọng trong kỹ thuật giải quyết của kiểu nhiệm vụ TTamGiacVuong.
Để thực hiện được kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ thì kỹ thuật mà GV mong muốn HS sử dụng là thông qua việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Như vậy đoạn 20 là đoạn hội thoại đánh dấu thời điểm gặp lần đầu với kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ :
GV: Thường trong không gian khi chứng minh 2 đường thẳng vuông góc nhau nếu không
chứng minh trực tiếp thì chúng ta chứng minh gián tiếp thông qua việc chứng minh đường
thẳng này vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà chúng ta cần chứng minh.
Thời điểm gặp gỡ đầu tiên với kiểu nhiệm vụ TMat Mat⊥ là lúc GV chuyển sang yêu cầu khác:
GV: Chúng ta tiếp tục với câu c) chứng minh (SBD) ⊥ (SHF)(đoạn 50) Kiểu nhiệm vụ Diem Mat
Kc
T − được gặp lần đầu ở đoạn 89 và đó cũng là lần xuất hiện duy nhất của kiểu nhiệm vụ này trong tiết học:
GV: Chúng ta qua câu b) tính khoảng cách từ O đến (SCD). [….]
Sau khi GV nêu yêu cầu “Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với CD” thì kiểu nhiệm vụ 3
ThietDien
83
mp(α) với hình chóp S.ABCD”(đoạn 145). Và HS cũng chỉ gặp kiểu nhiệm vụ này đúng một lần.
Tất cả thời điểm gặp gỡ này đều là thời điểm gặp lại bởi vì đây là bài tập ôn nên các kiểu nhiệm vụ này không có gì mới với HS. Kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ ,
Duong Mat
T ⊥ là những kiểu nhiệm vụ hợp tác, tức là việc xuất hiện hai kiểu nhiệm vụ này xuất phát từ nhu cầu thực hiện một kiểu nhiệm vụ nào đó, chẳng hạn để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc thì cần phải chuyển về việc chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng hoặc để chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì đòi hỏi phải chuyển thành chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Vì thế, số lần xuất hiện của hai kiểu nhiệm vụ này khá nhiều, xuyên suốt tiết học. Còn
Mat Mat
T ⊥ , TKcDiem Mat− , TThietDien3 xuất hiện do yêu cầu của chương trình chứ không bắt nguồn từ nhu cầu nào nên cũng chỉ có đúng một lần hiện diện trong giờ học.
3.3.2.2. Thời điểm nghiên cứu kiểm nhiệm vụ và xây dựng kĩ thuật
Do tiết học mang tính chất ôn tập “Quan hệ vuông góc” nên việc xây dựng kỹ thuật chỉ diễn ra dưới hình thức gợi nhắc lại.
Đối với kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ thì kỹ thuật 3
Duong Duong
τ ⊥ được GV nêu lại một cách rõ ràng ở đoạn 20: “Thường trong không gian khi chứng minh 2 đường thẳng vuông góc nhau nếu không chứng minh trực tiếp thì chúng ta chứng minh gián tiếp thông qua việc chứng minh đường thẳng này vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà chúng ta cần chứng minh”.Hai kỹ thuật 2
Duong Duong
τ ⊥ và 4
Duong Duong
τ ⊥ không được nhắc lại tường minh mà được gợi nhớ lại thông qua bài giải của HS.
Đối với kiểu nhiệm vụ TMat Mat⊥ thì kỹ thuật được nhắc lại bởi HS là kỹ thuật– đây lại là kỹ thuật chưa từng xuất hiện trong SGK: “Thưa thầy, ta chứng minh 1 đường thẳng trong tam giác, à, trong 1 mặt phẳng vuông góc mặt phẳng còn lại”.(đoạn 54)
84
Đối với kiểu nhiệm vụ Diem Mat Kc
T − thì đoạn hội thoại sau chính là lúc HS xây dựng lại kỹ thuật 1
Kc Diem Mat
τ − :
HS5: Thưa thầy, từ O ta kẻ đường thẳng vuông góc (SCD) và khoảng cách của đường vuông góc đó chính là khoảng cách từ O đến (SCD)
HS6: ta kẻ 1 đường thẳng từ O vuông góc (SCD). Khi đó khoảng cách từ O đến (SCD) là khoảng cách của đường, à không, của đoạn đó.
GV: Đoạn đó là đoạn nào?
HS6: Dạ là đoạn từ O đến cái điểm ở chỗ vuông góc với (SCD)
Cái điểm HS6 đang nói đến chính là hình chiếu của O lên (SCD) (điều mà sau đó chính HS6 đã phát hiện ra)
Đối với kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ thì GV: [….] chúng ta đang tìm cách chứng minh OH ⊥ (SCD), tức là OH vuông góc 2 đường thẳng trong (SCD) ở đoạn 109 thể hiện việc gợi nhớ lại kỹ thuật 1
Duong Mat
τ ⊥
Đối với kiểu nhiệm vụ 3
ThietDien
T thì 2 kỹ thuật được sử dụng không có trong SGK và trong tiết này thì hai kỹ thuật đó cũng không được xây dựng lại một cách rõ ràng mà chỉ ngầm xuất hiện thông qua bài giải trên bảng của HS và hướng dẫn của GV.
– Kỹ thuật mà HS sử dụng là:
• Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng d
• Dựng mặt phẳng chứa các đường thẳng song song với các đường thẳng vừa tìm trên
• Chứng minh mặt phẳng vừa dựng là mặt phẳng (α)
• Tìm giao điểm của (α) với các cạnh của hình H hoặc tìm giao tuyến của (α) với các mặt của hình H
• Kết luận về thiết diện.
– Kỹ thuật mà GV hướng dẫn là:
• Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng d
• Tìm quan hệ giữa (α) và các đường thẳng vừa tìm trên
• Dựa vào quan hệ để tìm giao tuyến giữa mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.
• Kết luận thiết diện
3.3.2.3. Thời điểm xây dựng môi trường công nghệ–lý thuyết
85
đoạn 67, GV có nói:đúng rồi, bạn dùng quan hệ song song và vuông góc nên suy ra BD ⊥ (SHF). Đây chính là thời điểm xây dựng công nghệ–lý thuyết giải thích cho kỹ thuật 4
Duong Mat
τ ⊥ của kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ . Trong tiết dạy, thời điểm này chỉ xảy ra một lần.
3.3.2.4. Thời điểm làm việc với kỹ thuật
Các bài toán mang tính chất ôn tập các kiến thức về quan hệ vuông góc, vì vậy thời điểm làm việc với kỹ thuật là thời điểm rất được chú trọng và diễn ra xuyên suốt tiết học. Các đặc điểm cơ bản:
Đối với cùng một kiểu nhiệm vụ, thời điểm làm việc với kỹ thuật này đan xen cùng với thời điểm làm việc với kỹ thuật kia. Còn đối với hai kiểu nhiệm vụ thì thời điểm làm việc với kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ này lồng ghép vào trong đó là thời điểm làm việc với kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ kia. Đặc điểm này thể hiện rõ trong
Duong Duong
T ⊥ và TDuong Mat⊥ .
− Cùng kiểu nhiệm vụ TDuong Duong⊥ : Để chứng minh SC ⊥ OH thì đòi hỏi phải chứng minh SC ⊥ (OHD) tức là dùng 3
Duong Duong
τ ⊥ . Khi muốn chứng minh SC ⊥
(OHD)thì xuất hiện nhu cầu phải chứng minh SC ⊥ OD và HD ⊥ SCtrong đó ý 1 dùng τ3Duong Duong⊥ , còn ý 2 dùng kỹ thuật 2
Duong Duong
τ ⊥ (thể hiện trong đoạn từ 135 đến 140)
− Kỹ thuật giải quyết TMat Mat⊥ bao hàm TDuong Mat⊥ :
Đoạn 53, 54. GV: trong không gian, để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc thì thường
các em chứng minh như thế nào? Em nào biết? HS5: thưa thầy, ta chứng minh 1 đường
thẳng trong tam giác, à, trong 1 mặt phẳng vuông góc mặt phẳng còn lại
− Kỹ thuật giải quyết TDuong Duong⊥ bao hàm TDuong Mat⊥ :
Đoạn 20.GV: Thường trong không gian khi chứng minh 2 đường thẳng vuông góc nhau
nếu không chứng minh trực tiếp thì chúng ta chứng minh gián tiếp thông qua việc chứng
minh đường thẳng này vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà chúng ta cần
86
Đoạn 130. GV: [….] Ta sẽ chứng minh OH ⊥ SC, nói cách khác, ta sẽ chứng minh gián
tiếp SC ⊥ mặt phẳng nào chứa OH vậy?
− Kỹ thuật giải quyết TDuong Mat⊥ bao hàm TDuong Duong⊥ :
Đoạn 109. GV: [….]chúng ta đang tìm cách chứng minh OH ⊥ (SCD), tức là OH vuông
góc 2 đường thẳng trong (SCD)
Đoạn 60. HS5: HF ⊥ BD [….], SH ⊥ BD [….]. Suy ra BD ⊥ (SHF) [….]
Đoạn 110. HS8:
CD ⊥ SO vì SO ⊥ (ABCD), CD ⊥ SE [….]nên CD ⊥ (SOE). Suy ra CD ⊥ OH [….]
TDuong Duong⊥ bao hàmTDuong Mat⊥ TDuong Duong⊥ bao hàmTDuong Mat⊥
TDuong Mat⊥ bao hàmTDuong Duong⊥
Có sự can thiệp phần mềm trong các bước kỹ thuật dùng để giải quyết 1 kiểu nhiệm vụ nào đó, điều này tạo nên sự khác biệt có lợi cho khâu làm việc với kỹ thuật.
− Trong suốt tiết học, kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ chỉ xuất hiện gián tiếp như một nhu cầu cần phải giải quyết trong khi thực hiện kỹ thuật cho một kiểu nhiệm vụ nào đó. Khi đó, kiểu nhiệm vụ TDuong Mat⊥ không mang nghĩa tường minh, nghĩa là chưa nêu rõ yêu cầu chứng minh quan hệ vuông góc giữa đường thẳng nào và mặt phẳng nào. Vì vậy, HS phải tự chọn lựa sao cho vừa “đúng” và vừa “tốt”. Việc sử dụng phần mềm tạo ra các hình vẽ “đúng” đảm bảo là cơ sở đáng tin cho HS đưa ra sự lựa chọn.
Thông qua quan sát để chọn:
GV: Thường trong không gian khi chứng minh 2 đường thẳng vuông góc nhau nếu không chứng minh trực tiếp thì chúng ta chứng minh gián tiếp thông qua việc chứng minh đường thẳng này vuông góc mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà chúng ta cần chứng minh.
Trong khi HS suy nghĩ thì GV cho hình quay tự động
GV: em nào có thể chứng minh? Chúng ta lựa chọn đường thẳng và mặt phẳng nào?
HS3: đầu tiên ta chứng minh EF ⊥ (SHF)
Thông qua quan sát và thông qua việc đo lường trên phần mềm để kiểm chứng lựa chọn có được từ quan sát trước đó
87
GV: đúng rồi, tức là chứng minh trong mặt phẳng thứ nhất có 1 đường thẳng vuông góc mặt phẳng thứ hai…
GV: Chúng ta nên chọn mặt phẳng nào có chứa đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia cho dễ chứng minh và phải chọn đường thẳng nào?
GV cho quay hình trong khi HS quan sát và suy nghĩ cách lựa chọn
HS5: Ta chứng minh BD ⊥ (SHF)
GV chỉnh sửa hình trên Cabri 3D để HS tập trung vào BD và (SHF)