ĐẠI SỐ FROBENIUS

Đại số Frobenius và tựa Frobenius đã được nghiên cứu nhiều và có nhiều kết quả sâu sắc nhưng mục đích của luận văn này chỉ xây dựng những khái niệm cơ bản về đại số Frobenius và qua đó cho ta hình ảnh cụ thể về một lớp các vành tự nội xạ.

Trong suốt phần này, ta đặt A*=HomF(A, F) trong đó A là đại số hữu hạn chiều trên trường F.

2.3.1. Bổ đề

Cho V là không gian hữu hạn chiều trên trường F và f : V V× →F là dạng song tuyến tính. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) f x, V( )=0 kéo theo x=0. ii) f V, x( )=0 kéo theo x=0.

Chứng minh:

Cho e , e ,1 2 ,en là cơ sở của V và bij =f e ,e( )i j . Từ tính song tuyến tính ta có f x, V( )=0 khi và chỉ khi f x,e( i)=0, 1 i≤ ≤n. Ta viết x dưới dạng

j j

x=∑λ e với λ ∈j F. Khi đó:

( i) j ( )j i ji i f x,e =∑λ f e ,e =∑b λ

Vì vậy f x, V( )=0 khi và chỉ khi (λ λ1, ,2 ,λn) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

( )

1i 1 2i 2 ni n

b λ +b λ ++b λ =0, 1 i≤ ≤n 1

Tương tự f V, x( )=0 khi và chỉ khi (λ λ1, ,2 ,λn) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

( )

i1 1 i2 2 in n

Hệ phương trình (1) và (2) có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi

( )ij

det b ≠0, bổ đề được chứng minh.

Dạng song tuyến tính f : V V× →F được gọi là không suy biến khi và chỉ khi nó thỏa các điều kiện tương đương của bổ đề 2.3.1

Cho f : A A× →F là dạng song tuyến tính. Khi đó f được gọi là kết hợp nếu

( ) ( )

f xy, z =f x, yz với mọi x, y, z A∈ . f được gọi là đối xứng nếu:

( ) ( )

f x, y =f y, x với mọi x, y A∈ .

2.3.2. Hệ quả

Cho ψ ∈A * và f : A A× →F cho bởi công thức f x, y( )= ψ( )xy . Khi đó f là dạng song tuyến tính kết hợp trên A, f đối xứng khi và chỉ khi

( )xy ( )yx

ψ = ψ với mọi x, y∈A. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương : (i) Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A.

(ii) Kerψ không chứa iđêan trái khác 0 của A. (iii) f không suy biến.

Chứng minh:

Rõ ràng f là dạng song tuyến tính trên A. Lấy x, y, z∈A ta có :

( ) (( ) ) ( ( )) ( )

f xy, z = ψ xy z = ψ x yz =f x, yz

do đó f đối xứng. Theo định nghĩa thì f x, y( ) ( )=f y, x khi và chỉ khi

( )xy ( )yx

ψ = ψ . Vì vậy f đối xứng khi và chỉ khi ψ( )xy = ψ( )yx với mọi

x, y∈A.

Lưu ý rằng f x, A( )=0 khi và chỉ khi ψ( )xA =0 và f A, x( )=0 khi và chỉ khi ψ( )Ax =0. Các điều kiện tương đương bên dưới là các điều kiện tương đương của bổ đề 2.3.1.

2.3.3. Bổ đề

Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Tồn tại ψ ∈A * sao cho Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A. (ii) Tồn tại ψ ∈A * sao cho Kerψ không chứa iđêan trái khác 0 của A. (iii) Tồn tại dạng song tuyến tính f : A A× →F có tính kết hợp và không suy biến.

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2. (ii) ⇒ (iii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2.

(iii) ⇒ (i) : Lấy : Aψ →F cho bởi công thức ψ( ) ( )x =f x,1 . Rõ ràng ψ ∈A *. Lấy a∈A sao cho ψ( )aA =0. Khi đó f ab,1( )=0 với mọi b∈A. Nhưng

( ) ( )

f ab,1 =f a, b , từ tính không suy biến của f ta có a 0= .

(A,ψ ) (hay viết tắt là A) được gọi là đại số Frobenius nếu ψ thỏa các điều kiện tương đương của bổ đề 2.3.3.

2.3.4. Bổ đề. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Tồn tại ψ ∈A * sao cho Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A và

( )xy ( )yx

ψ = ψ với mọi x, y A∈ .

(i) Tồn tại ψ ∈A * sao cho Kerψ không chứa iđêan trái khác 0 của A và

( )xy ( )yx

ψ = ψ với mọi x, y A∈ .

(iii) Tồn tại dạng song tuyến tính f : A A× →F có tính kết hợp, đối xứng và không suy biến.

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2. (ii) ⇒ (iii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2.

(iii) ⇒ (i) : Lấy : Aψ →F cho bởi công thức ψ( ) ( )x =f x,1 . Khi đó theo bổ đề 2.3.3, ψ ∈A * và Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A. Hơn nữa, vì f đối xứng nên ta có:

( ) (xy f xy,1) ( ) ( ) (f x, y f y, x f yx,1) ( )yx

ψ = = = = = ψ

(A,ψ ) (hay viết tắt là A) được gọi là đại số đối xứng nếu ψ thỏa các điều kiện tương đương của bổ đề 2.3.4.

Trong phần tiếp theo ta xem A* như (A, A – ) song môđun qua phép toán :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) af x f xa fa x f ax = = với mọi x, a A∈ và f∈A *. 2.3.5. Bổ đề

(i) Giả sử (A,ψ) là đại số Frobenius. Khi đó ánh xạ f : A→A * cho bởi công thức f a( )( )x = ψ( )xa với mọi x, a∈A là đẳng cấu của các A – môđun trái. Hơn nữa nếu (A,ψ) là đại số đối xứng thì f là đẳng cấu của các (A, A – )

song môđun.

(ii) Giả sử f : A→A * là đẳng cấu của các A – môđun trái và đặt

( ) ( )( )a f 1 a

ψ = với mọi a∈A. Khi đó (A,ψ) là đại số Frobenius. Hơn nữa nếu f là đẳng cấu của các (A, A – ) song môđun thì (A,ψ) là đại số đối xứng.

Chứng minh:

(i) Rõ ràng với mọi a∈A, f a( )∈A * và f x( +y) ( ) ( )=f x +f y với mọi

x, y∈A. Lấy r, x A∈ ta có :

( )( ) ( ) ( )( ) ( ( ))( )

do đó f là đồng cấu A – môđun trái. Theo định nghĩa của ψ, f là đơn ánh, và vì

F F

dim A=dim A* nên f là song ánh. Nếu (A,ψ) là đại số đối xứng thì với mọi r, x∈A ta có:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) )( )

f ar x = ψ xar = ψ rxa =f a rx = f a r x do đó f là đẳng cấu của các (A, A – ) song môđun.

(ii) Rõ ràng ψ ∈A *. Giả sử ψ( )aA =0. Khi đó với mọi x∈A:

( )( ) ( )( )

0=f 1 ax =f x a

Vì vậy a 0= . Do đó (A,ψ) là đại số Frobenius. Giả sử f là đẳng cấu của các

(A, A – ) song môđun. Khi đó với mọi x, y A∈ ta có:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )xy f 1 xy f x y f 1 yx ( )yx

ψ = = = = ψ

Do đó (A,ψ) là đại số đối xứng.

2.3.6. Hệ quả. Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) A là đại số Frobenius ( tương ứng, đại số đối xứng).

(ii) A≅A * như là các A – môđun trái (tương ứng, A≅A * như là các

(A, A – ) song môđun).

2.3.7. Bổ đề

Cho A , A ,1 2 , An là các F – đại số. Khi đó n i i 1

A

=

∏ là đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng) khi và chỉ khi mỗi Ai là đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng).

Chứng minh:

Giả sử ψ ∈i A *sao cho (A ,i ψi) là đại số Frobenius, 1 i≤ ≤n. Đặt n i i 1 A A = = ∏ và xác định : Aψ →F cho bởi: (a ,a ,1 2 ,an) 1( )a1 2( )a2 n( )an ψ  = ψ + ψ ++ ψ

Khi đó rõ ràng ψ ∈A *. Đặt a =(a ,a ,1 2 ,an) và giả sử rằng ψ( )Aa =0. Lấy x=(x , x ,1 2 , xn)∈A sao cho xj =0 với mọi j i≠ . Khi đó

( )xa i(x ai i) 0

ψ = ψ = với mọi xi∈Ai. Vì mỗi ai =0 do đó a 0= nên (A,ψ) là đại số Frobenius. Ngược lại nếu (A,ψ) là đại số Frobenius, đặt ψ = ψ λi  i

trong đó λi: Ai →A là phép nhúng chính tắc. Khi đó rõ ràng (A ,i ψi) là đại số Frobenius.

Nếu mỗi (A ,ψi i) là đại số đối xứng, khi đó với a =(a ,a ,1 2 ,an),

( 1 2 n)

b= b , b ,, b ta có:

( )ab 1(a b1 1) n(a bn n) 1(b a1 1) n(b an n) ( )ba ψ = ψ ++ ψ = ψ ++ ψ = ψ . Chứng tỏ (A,ψ) là đại số đối xứng. Ngược lại nếu (A,ψ) là đại số đối xứng, khi đó với a , bi i∈A ta có: ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a b a b a b b a b a b a ψ = ψ λ = ψ λ λ = ψ λ λ = ψ λ = ψ

Do đó mỗi (A ,i ψi) là đại số đối xứng.

2.3.8. Bổ đề

Nếu A là đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng), khi đó với mọi số nguyên dương n, Mn( )A là đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng).

Chứng minh:

Lấy ψ ∈A * sao cho (A,ψ) là đại số Frobenius. Định nghĩa ánh xạ

( )

n

: M A F

λ → cho bởi công thức ( )ij n ( )ii ij i 1

a a , a A

=

 

λ =∑ψ ∈ .

Khi đó rõ ràng λ ∈Mn( )A *. Giả sử rằng ( )aij ∈Mn( )A sao cho

( ) ( )

( aij Mn A ) 0

Ta cần chứng tỏ rằng ( )aij =0. Lấy cố định i, j∈{1,, n} và kí hiệu e là ij ma trận mà vị trí ( )i, j là 1 và 0 ở các vị trí khác. Khi đó với mọi a A∈ :

( )aij aeij ( )a aji 0

 

λ = ψ = .

Vì (A,ψ) là đại số Frobenius, ta suy ra aji =0. Vì vậy ( )aij =0 và do đó

( )

n

M A là đại số Frobenius.

Nếu (A,ψ) là đại số đối xứng, khi đó:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n n n n n n ij ij ik ki ik ki ki ik i 1 k 1 i 1 k 1 i 1 k 1 n n ik ki ij ij i 1 k 1 a b a b a b b a b a b a = = = = = = = =     λ = ψ = ψ = ψ =     = ψ = λ   ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ chứng tỏ rằng Mn( )A là đại số đối xứng.

Giả sử (A,ψ) là đại số Frobenius và X là tập con của A. Ta định nghĩa các tập con X⊥ và X⊥ của A xác định bởi:

( ) { } ( ) { } X a A | aX 0 X a A | Xa 0 ⊥ ⊥ = ∈ ψ = = ∈ ψ =

Rõ ràng X⊥ và X⊥ là các không gian con của A.

2.3.9. Định lí

Cho (A,ψ) là đại số Frobenius và X là không gian con của A: (i) ( )⊥X ⊥ = ⊥( )X⊥ =X và dim XF ⊥ =dimF ⊥X=dim AF −dim XF

(ii) Nếu X là iđêan trái (tương ứng, iđêan phải) của A thì r X( )=X⊥ (tương ứng l X( )= ⊥X). Đặc biệt, với e là phần tử lũy đẳng của A thì:

( )

A Ae ⊥ ≅eA như là A – môđun phải.

F F

dim eA=dim Ae.

(iii) Nếu X là iđêan trái của A thì:

( )

F F F

dim X+dim r X =dim A và l r X( ( ))=X Nếu X là iđêan phải của A thì:

( )

F F F

dim X+dim l X =dim A và r l X( ( ))=X

iv) Nếu (A,ψ) là đại số đối xứng thì r X( ) ( )=l X với X là iđêan hai phía bất kì của A.

Chứng minh:

(i) Lấy {a ,1 ,an} là cơ sở của A sao cho {a ,1 ,am} là cơ sở của X

(m≤n). Ánh xạ: ( ) ( ) ( ) ( 1 2 n ) A F F F a a a , a a , , a a → × × × ψ ψ ψ   

là song ánh và ảnh của X⊥ gồm tất cả các bộ (λ1,,λn) trong đó 1 m 0

λ == λ = . Vì thế dim XF ⊥ =dim AF −dim XF , chứng minh tương tự ta có dimF ⊥X=dim AF −dim XF . Ta kết luận:

( )

F F

dim ⊥X ⊥ =dim X

Vì X⊆( )⊥X ⊥ nên ta có X=( )⊥X ⊥. Tương tự ta cũng có ⊥( )X⊥ =X

(ii) Giả sử X là iđêan phải của A. Khi đó a∈⊥X khi và chỉ khi ψ( )aX =0 hay khi và chỉ khi ψ(aXA)=0. Vì điều kiện thứ hai tương đương với aX 0= , ta có

( )

l X = ⊥X. Chứng minh tương tự ta có r X( )=X⊥ với X là iđêan trái của A. Cho x∈A, ta có x∈( )Ae ⊥ ⇔ ψ(Aex)= ⇔0 ex= ⇔ ∈ −0 x (1 e A) , vì thế

( ) (Ae ⊥ = −1 e A) và A ( )Ae ⊥ ≅eA. Cuối cùng dim eAF =dim AeF bằng cách áp dụng (i).

(iii) là kết quả từ (i) đến (ii).

iv) Giả sử (A,ψ) là đại số đối xứng. Khi đó X X⊥ = ⊥ với mọi tập con X của A. Từ đó ta có kết quả thu được do áp dụng (ii).

2.3.10. Đại số tựa Frobenius

Một đại số hữu hạn chiều A trên trường k được gọi là tựa Frobenius nếu môđun phải chính quy AA là môđun nội xạ.

Vì AA là môđun nội xạ khi và chỉ khi AA là môđun nội xạ do đó định nghĩa của đại số tựa Frobenius có tính đối xứng trái phải.

2.3.11. Định lí

Mọi đại số Frobenius đều tựa Frobenius vì ( )* A A

A  A là môđun nội xạ.

Vì vậy mọi đại số Frobenius nếu xem là vành thì nó là vành tự nội xạ, do đó ta có thể coi đại số Frobenius như là lớp con của lớp các vành tự nội xạ.

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, tác giả trình bày những vấn đề chủ yếu sau:

• Môđun nội xạ, các tính chất của môđun nội xạ; mối liên hệ giữa môđun nội xạ và môđun chia được; vành Noether và môđun nội xạ.

• Vành tự nội xạ, tính chất của vành tự nội xạ; mối liên hệ giữa vành Artin, vành Noether, vành địa phương, vành nửa hoàn thiện và vành tự nội xạ. • Khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Frobenius xem như là lớp con

của lớp các vành tự nội xạ.

Vì thời gian và khả năng hạn chế nên luận văn vẫn không tránh khỏi những sai sót. Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp góp ý và chỉ dẫn thêm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

2. Karpilovsky G (1990), Induced modules over group algebras, Elsevier Science Publishers.

3. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko (2004), Algebras, Rings and Modules, Springer.