2.2.1. Định nghĩa
Vành R được gọi là vành tự nội xạ phải nếu RR là một R – môđun nội xạ.
Chú ý : Mọi vành R đều là tự xạ ảnh vì RR là một R – môđun tự do nhưng chưa chắc mọi vành đều là tự nội xạ.
Ví dụ:
a) Vành các số nguyên không phải là vành tự nội xạ vì : xét iđêan 2 của
và đồng cấu: f : 2 2n n n → ∀ ∈
Nếu là – môđun nội xạ thì tồn tại phần tử q∈ sao cho với mọi
2n 2
( ) ( ) f q f 2n q2n n q2n λ = λ ⇔ = ⇔ = 1 q 2
⇔ = (điều này không thể xảy ra vì q∈) Vậy vành các số nguyên không phải là vành tự nội xạ.
b) Xét R là vành các ma trận tam giác trên cấp n (n ≥ 2) trên vành K. Khi đó R không là vành tự nội xạ. Ta xét trường hợp n = 2, xét iđêan I 0 a
0 0 = và đồng cấu f : I→R xác định bởi f 0 a 0 0 0 0 0 a =
. Nếu R là R – môđun nội xạ thì tồn tại phần tử q x y R
0 z = ∈
sao cho với mọi 0 a I, a K 0 0 λ = ∈ ∈ thì ta có: ( ) f λ = λq 0 a x y 0 a 0 xa f 0 0 0 z 0 0 0 0 ⇔ = = 0 0 0 xa 0 a 0 0 ⇔ = a 0
⇔ = (mâu thuẫn vì a tùy ý thuộc K) Vậy R không là vành tự nội xạ.
c) Cho S là miền các iđêan phải chính và b ≠ 0 là phần tử của S sao cho bS = Sb. Khi đó vành thương R= =S S bS tự nội xạ phải.
Xét iđêan phải X=aS bS của R và đồng cấu:
f : X→R
a→s trong đó s S∈
( ) ( ) ( ) ( )
0=f 0 =f b =f ac =f a.c = s.c =sc⇒ ∈sc Sb. Với điều kiện bS = Sb ta có thể viết:
sc=tb=tac với t S∈ s ta ⇒ = , vì vậy f a( )= =s t .a Khi đó đồng cấu: f : R→R 1→ t là mở rộng của f lên R. Vậy R là vành tự nội xạ.
d) n là vành tự nội xạ vì xét iđêan d n của n và đồng cấu:
f : d n → n
a +n→ +a n
Khi đó có phần tử q 1 n= + ∈ n sao cho với mọi λ = +a n∈d n
ta có f( ) (λ =f a+n)= +a n= +(1 n)(a +n)= λq . Vậy n là vành tự nội xạ.
2.2.2. Mệnh đề
Nếu vành A là tự nội xạ phải thì:
a) Với bất kì iđêan phải H , H1 2 ta có l H( 1∩H2) ( ) ( )=l H1 +l H2 . b) Với bất kì iđêan trái hữu hạn sinh H thì l r H( ( ))=H.
Chứng minh: a) Rõ ràng ta có l H( ) ( ) (1 +l H2 ⊂l H1∩H2). Ta chứng minh ( 1 2) ( ) ( )1 2 l H ∩H ⊂l H +l H . Lấy x∈l H( 1∩H2). Xét ánh xạ: 1 2 : H H A ϕ ∩ → a + →b xb với a∈H , b1 ∈H2
Ta có ϕ là đồng cấu vành. Vì AA nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có y A∈ sao cho ϕ +(a b) (=y a+b)=xb với mọi a∈H , b1 ∈H2. Đặc biệt
( ) 1 ( )1 0= ϕ a =ya a∀ ∈H ⇒ ∈y l H . Với mọi b∈H2 ta có ( )b yb xb (x y b) 0 z x y l H( )2 ϕ = = ⇒ − = ⇒ = − ∈ . Vì thế ( ) ( )1 2 x = + ∈y z l H +l H . Do đó l H( 1∩H2) ( ) ( )=l H1 +l H2 .
b) Cho H là iđêan trái hữu hạn sinh của A. Khi đó có các phần tử h , h ,1 2 , hn sao cho H=Ah1+Ah2 ++Ahn. Ta có: ( ) n n ( ) i i i 1 i 1 r H r Ah r Ah = = = ∑ = Áp dụng câu a ta có: ( ) ( ) n ( ( )) i i 1 l r H l r Ah = = ∑
Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng l r Ax( ( ))=Ax với mọi x∈A. Rõ ràng
( )
( )
Ax ⊂l r Ax . Lấy y∈l r Ax( ( )), khi đó r x( ) ( )⊂r y do vậy ánh xạ
: xA A
ψ → cho bởi ψ( )xa =ya là đồng cấu vành A. Vì A A là nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có phần tử z∈A sao cho ψ( )xa =zxa. Vì vậy
( )
( )
zx= ⇒ ∈y y Ax⇒l r Ax ⊂Ax. Vậy l r Ax( ( ))=Ax.
2.2.3. Bổ đề
Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ không phân tích được là vành địa phương.
Chứng minh:
Lấy Q là A – môđun nội xạ phải không phân tích được và ϕ∈End QA . Khi đó Kerϕ ∩Ker 1( − ϕ =) 0. Thật vậy lấy a∈Kerϕ ∩Ker 1( − ϕ), khi đó ϕ( )a =0
và E Ker 1( ( − ϕ)) lần lượt là bao nội xạ của Kerϕ và Ker 1( − ϕ). Khi đó ta có dãy khớp:
( )
0→Kerϕ ⊕Ker 1− ϕ →Q
Vì Q là nội xạ nên Q=Q1⊕Q2 trong đó Q1E Ker( ϕ ⊕Ker 1( − ϕ)) theo mệnh đề ở phần 1.21.2. Vì Q không phân tích được QQ1. Do đó
( )
( ) ( ) ( ( ))
QE Kerϕ ⊕Ker 1− ϕ E Kerϕ ⊕E Ker 1− ϕ . Vì E Ker( ϕ ≠) 0 và
( )
( )
E Ker 1− ϕ ≠0 nên ta có điều mâu thuẫn. Do đó Kerϕ =0 hay
( )
Ker 1− ϕ =0. Chúng ta có thể giả sử Kerϕ =0. Xét Imϕ, nếu Imϕ ≠Q thì theo mệnh đề ở phần 1.21.2 Q=Q1⊕Q2 trong đó Q1 E Im( ϕ ⇒) Q phân tích được (mâu thuẫn). Vì vậy Imϕ =Q và do đó ϕ là đẳng cấu. Nếu Ker 1( − ϕ =) 0 thì chứng minh tương tự ta cũng có 1− ϕ là đẳng cấu. Vì ϕ hoặc 1− ϕ khả nghịch nên End QA là vành địa phương.
2.2.4. Định lí
Nếu A là vành mà phần tử đơn vị có sự phân tích thành tổng hữu hạn của các phần tử lũy đẳng nguyên thủy đôi một trực giao (vành FDI) và A là tự nội xạ phải thì A nửa hoàn thiện.
Chứng minh:
Lấy e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy của A. Khi đó môđun phải xạ ảnh eA không phân tích được và nội xạ. Vì vậy End eAA eAe là vành địa phương theo bổ đề ở phần 2.2.3 và AEndAA nửa hoàn thiện theo định lí ở phần 1.23.2.
2.2.5. Hệ quả
Nếu A là vành Noether phải và tự nội xạ phải thì soc( )AA ≠0.
Theo định lí ở phần 2.2.4 A là nửa hoàn thiện. Lấy R là radical Jacobson của A. Theo mệnh đề ở phần 1.22.4 r R( )=soc( )AA . Nếu r R( )=0 thì
( )
( )
l r R =A. Nhưng theo tính chất 2 của mệnh đề ở phần 2.2.2 thì l r R( ( ))=R. Do đó soc( )AA ≠0.
2.2.6. Mệnh đề
Giả sử vành A thỏa mãn các tính chất (1) và (2) của mệnh đề ở phần 2.2.2. Khi đó với bất kì iđêan phải hữu hạn sinh I của A và với mỗi f∈HomA( )I, A có phần tử a∈A sao cho f x( )=ax với mọi x∈I.
Chứng minh:
Ta chứng minh phát biểu trên quy nạp theo n là số phần tử sinh của iđêan hữu hạn sinh I của A.
Giả sử n=1 : khi đó I=xA. Lấy đồng cấu : Iϕ →A. Nếu xa 0= thì
( )xa 0 ( )x a
ϕ = = ϕ do đó ta có r x( )⊂ ϕr( ( )x ). Do đó r Ax( )⊂r A( ϕ( )x ). Khi đó theo 2.2.2 ta có Aϕ( )x =l r A( ( ϕ( )x ))⊂l r Ax( ( ))=Ax. Do đó có phần tử
b∈A sao cho ϕ( )x =bx⇒ ϕ( )xa = ϕ( )x a=bxa.
Giả sử phát biểu trên đúng với các iđêan phải hữu hạn sinh gồm n phần tử sinh. Xét iđêan phải I gồm n 1+ phần tử sinh, n 1 i
i 1
I + x A
=
= ∑ . Lấy đồng cấu : I A
ϕ → . Theo giả thiết quy nạp có các phần tử b , b1 2∈A sao cho
n n i i 1 i i i 1 i 1 x a b x a = = ϕ∑ = ∑ và ϕ(xn 1 n 1+a + )=b x2 n 1 n 1+ a + . Áp dụng 2.2.2 ta có : ( ) n n 1 2 i n 1 i n 1 i 1 i 1 b b l x A x + A l x A l x + A = = − ∈ ∑ ∩ = ∑ +
Do đó có các phần tử n i i 1 y l x A = ∈ ∑ và z∈l x( n 1+ A) sao cho 1 2 b −b = −y z. Đặt b =b1− =y b2 −z. Khi đó : ( ) ( ) ( ) n 1 n i i i i n 1 n 1 i 1 i 1 n n 1 1 i i 2 n 1 n 1 i i i 1 i 1 x a x a x a b y x a b z x a b x a + + + = = + + + = = ϕ ∑ = ϕ∑ + ϕ = = − ∑ + − = ∑ 2.2.7. Định lí
Cho A là vành Noether phải. Khi đó A là vành tự nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa các tính chất (1) và (2) của mệnh đề ở phần 2.2.2.
Chứng minh:
Nếu A là vành tự nội xạ thì A thỏa mãn các tính chất (1) và (2) của mệnh đề phần 2.2.2. Ngược lại nếu A thỏa mãn các tính chất (1) và (2) của mệnh đề phần 2.2.2; vì A là vành Noether phải nên mỗi iđêan phải là iđêan hữu hạn sinh. Xét I là iđêan của A và f∈HomA( )I, A . Khi đó theo mệnh đề phần 2.2.6 có phần tử a∈A sao cho f x( )=ax với mọi x∈I. Theo tiêu chuẩn Baer, A là A – môđun nội xạ do đó A là vành tự nội xạ.
2.2.8. Bổ đề. Nếu A là vành Noether phải và tự nội xạ phải thì A là vành Artin hai phía.
Chứng minh:
Vì A là vành tự nội xạ phải, l r L( ( ))=L với mọi iđêan trái hữu hạn sinh L của A theo mệnh đề phần 2.2.2. Điều này ngụ ý rằng nếu ta có dãy giảm vô hạn các iđêan trái hữu hạn sinh:
1 2 n
L ⊃L ⊃⊃L ⊃
thì ta cũng có dãy tăng vô hạn các iđêan phải:
( ) ( )1 2 ( )n
Vì A là vành Noether phải nên dãy sau cùng ổn định và A thoả điều kiện dây chuyền giảm với mọi iđêan trái hữu hạn sinh, đặc biệt là với các iđêan chính bên trái. Theo định lí ở phần 1.23.6 thì A là vành hoàn thiện phải. Do đó A R là vành nửa đơn và R radA= là T – lũy linh phải. Theo hệ quả phần 1.23.8 và định lí phần 1.13.2, A là vành Artin phải và R lũy linh. Bây giờ ta chứng minh A cũng là vành Noether trái. Ở trên ta đã chỉ ra A thoả điều kiện dây chuyền giảm với mọi iđêan trái hữu hạn sinh. Giả sử L là iđêan trái không hữu hạn sinh của A. Khi đó với mỗi iđêan trái hữu hạn sinh H⊂L có iđêan hữu hạn sinh H1 sao cho H⊂H1⊂L. Khi đó bằng quy nạp chúng ta có thể xây dựng dây chuyền tăng nghiêm ngặt các iđêan hữu hạn sinh của A (mâu thuẫn). Điều mâu thuẫn này chỉ ra rằng A là vành Noether trái. Vì A R là vành nửa đơn và R lũy linh nên A là vành Artin trái theo hệ quả phần 1.14.9. Vậy A là vành Artin hai phía.
2.2.9. Bổ đề
Nếu A là vành Noether phải và thỏa các điều kiện (1) và (2) của mệnh đề phần 2.2.2 thì A là vành Artin hai phía và tự nội xạ phải.
Chứng minh:
Vì A là vành Noether phải nên iđêan phải của nó là iđêan hữu hạn sinh. Khi đó theo định lí ở phần 2.2.7 thì A là vành tự nội xạ phải. Và theo bổ đề phần 2.2.8 thì A là vành Artin hai phía.
2.2.10. Bổ đề
Cho A là vành Noether phải và tự nội xạ phải. Khi đó bất kì A – môđun phải không phân tích được có thể nhúng vào môđun phải chính quy AA.
Chứng minh:
Theo bổ đề 2.2.8 A là vành Artin hai phía. Do đó bất kì A – môđun M chứa một A – môđun đơn. Giả sử M chứa A – môđun đơn U. Theo định lí 1.23.7 A là vành socular. Cụ thể hơn soc A( )A ≠0 và soc( )AA ≠0. Theo bổ đề 1.23.3 thì
*
U ≠0, vì vậy theo bổ đề 1.8.4 A có iđêan phải đẳng cấu với U nghĩa là ta cũng có đơn cấu ϕ: U→AA. Điều này có nghĩa chúng ta có sơ đồ sau:
Trong đó dòng là khớp. Vì A là tự nội xạ nên tồn tại h : M→AA sao cho biểu đồ sau giao hoán:
Vì M không phân tích được nên h là đơn cấu.
2.2.11. Định lí.Với bất kì vành A thì các điều kiện sau là tương đương: (i) A là vành Noether phải và tự nội xạ phải.
(ii) A là vành Artin hai phía và thỏa các điều kiện sau: (a) r l H( ( ))=H với H là iđêan phải bất kì.
(b) l r L( ( ))=L với L là iđêan trái bất kì.
Chứng minh:
(ii) ⇒ (i) Vì A là vành Artin hai phía nên A cũng là vành Noether hai phía theo định lí 1.5.3 . Lấy H , H1 2 là các iđêan phải của A. Theo điều kiện (a) ta có:
( ) ( )
( 1 2 ) ( ( )1 ) ( ( )2 ) 1 2
r l H +l H =r l H ∩r l H =H ∩H Khi đó theo điều kiện (2b) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 l r l H l H l H H l H l H l H H + = ∩ ⇔ + = ∩ Theo định lí 2.2.7 A là vành tự nội xạ.
(i) ⇒ (ii) Giả sử A là vành Noether phải và tự nội xạ phải. Khi đó các iđêan phải của nó đều hữu hạn sinh, theo mệnh đề 2.2.2 thì l r L( ( ))=L với L là iđêan trái
ϕ A A 0→ →U ψ M ϕ A A 0→ →U ψ M h
bất kì của A. Ta cần chỉ ra rằng r l H( ( ))=H với H là iđêan phải bất kì của A. Rõ ràng r l H( ( ))⊆H. Giả sử r l H( ( ))≠H, đặt M=r l H( ( )) H là A – môđun phải và lấy f∈HomA(M, AA). Ta có thể xem f giống như đồng cấu
( )
( ) A
r l H →A triệt tiêu trên H. Vì AA là nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có y∈A sao cho với mọi x∈r l H( ( )) thì f x( )=yx. Nhưng yH 0= dẫn đến yx =0 với mọi x∈r l H( ( )), vì thế f 0= . Do đó HomA(M, AA)=0. Ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp này thì M 0= .
Theo bổ đề 2.2.8 A là vành Artin hai phía. Giả sử M là A – môđun phân tích được và n i
i
M= ⊕M , khi đó A( A) n A( i A)
i
Hom M, A = ⊕Hom M , A theo mệnh đề 1.2.3. Do đó ta có thể giả sử rằng M là môđun không phân tích được. Nhưng trong trường hợp này, theo bổ đề 2.2.10 từ HomA(M, AA)=0 ta có M=0. Vì vậy r l H( ( ))=H với bất kì iđêan phải H.
Vì điều kiện (ii) trong định lí 2.2.11 là đối xứng trái – phải nên điều kiện (i) cũng như vậy. Do đó ta có thể viết lại định lí này dưới dạng đối xứng như sau
2.2.12. Định lí.Với bất kì vành A thì các điều kiện sau là tương đương: (i) A là vành Noether phải và tự nội xạ phải.
(ii) A là vành Noether trái và tự nội xạ trái. (iii) A là vành Artin và thỏa các điều kiện sau:
(a) r l H( ( ))=H với H là iđêan phải bất kì. (b) l r L( ( ))=L với L là iđêan trái bất kì.
2.3. ĐẠI SỐ FROBENIUS
Đại số Frobenius và tựa Frobenius đã được nghiên cứu nhiều và có nhiều kết quả sâu sắc nhưng mục đích của luận văn này chỉ xây dựng những khái niệm cơ bản về đại số Frobenius và qua đó cho ta hình ảnh cụ thể về một lớp các vành tự nội xạ.
Trong suốt phần này, ta đặt A*=HomF(A, F) trong đó A là đại số hữu hạn chiều trên trường F.
2.3.1. Bổ đề
Cho V là không gian hữu hạn chiều trên trường F và f : V V× →F là dạng song tuyến tính. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i) f x, V( )=0 kéo theo x=0. ii) f V, x( )=0 kéo theo x=0.
Chứng minh:
Cho e , e ,1 2 ,en là cơ sở của V và bij =f e ,e( )i j . Từ tính song tuyến tính ta có f x, V( )=0 khi và chỉ khi f x,e( i)=0, 1 i≤ ≤n. Ta viết x dưới dạng
j j
x=∑λ e với λ ∈j F. Khi đó:
( i) j ( )j i ji i f x,e =∑λ f e ,e =∑b λ
Vì vậy f x, V( )=0 khi và chỉ khi (λ λ1, ,2 ,λn) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
( )
1i 1 2i 2 ni n
b λ +b λ ++b λ =0, 1 i≤ ≤n 1
Tương tự f V, x( )=0 khi và chỉ khi (λ λ1, ,2 ,λn) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
( )
i1 1 i2 2 in n
Hệ phương trình (1) và (2) có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi
( )ij
det b ≠0, bổ đề được chứng minh.
Dạng song tuyến tính f : V V× →F được gọi là không suy biến khi và chỉ khi nó thỏa các điều kiện tương đương của bổ đề 2.3.1
Cho f : A A× →F là dạng song tuyến tính. Khi đó f được gọi là kết hợp nếu
( ) ( )
f xy, z =f x, yz với mọi x, y, z A∈ . f được gọi là đối xứng nếu:
( ) ( )
f x, y =f y, x với mọi x, y A∈ .
2.3.2. Hệ quả
Cho ψ ∈A * và f : A A× →F cho bởi công thức f x, y( )= ψ( )xy . Khi đó f là dạng song tuyến tính kết hợp trên A, f đối xứng khi và chỉ khi
( )xy ( )yx
ψ = ψ với mọi x, y∈A. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương :