các bề mặt cong Free-form
2.8.2.1. Phương pháp biểu diễn bề mặt trong CAD/CAM
Các bề mặt dùng để mô hình hình học trong CAD/CAM thường được biểu diễn toán học dưới dạng 2 tham số u, v. Sở dĩ dùng cách biểu diễn tham số vì phương pháp này gắn liền với việc sinh đường dụng cụ gia công nó.
Bề mặt có thể được biểu diễn toán học trong không gian 3 chiều bằng phương pháp tham số hay không tham số. Có hai phương pháp biểu diễn bề mặt không tham số đó là:
- Phương trình bề mặt được điều chỉnh để đi qua tất cả các điểm - Các điểm dữ liệu được sử dụng để biểu diễn các bề mặt (patch)
Trong cả 2 loại trên phương trình của bề mặt hay miếng bề mặt được cho bởi:
P=[x y z]T = [x y f (x,y)]T
Trong đó P là véc tơ vị trí của một điểm trên bề mặt. Phương trình bề mặt đi qua tất cả các điểm sẽ là một đa thức:
0 0 ( , ) p q m n mn m n z f x y a x y
Bề mặt được mô tả bởi một lưới XY có cỡ là (p+1) (q+1) điểm.
Sự biểu diễn bề mặt không tham số gặp nhiều bất lợi so với sự biểu diễn tham số, vì các đường cong không tham số tồi hơn khi so sánh với các đường cong tham số. Tuy nhiên bề mặt không tham số cũng có một vài thuận lợi khi nó tham gia giải quyết các vấn đề giao nhau giữa các mặt, nhưng những thuận lợi này không cho phép sử dụng chúng trong các hệ CAD/CAM.
Biểu diễn tham số của bề mặt có nghĩa liên tục, hàm giá trị vectơ P(u,v) của hai biến hay tham số u, v trong đó các biến được trải qua một vài vùng nối tiếp nhau của mặt uv, P(u,v) đại diện cho mỗi điểm trên bề mặt. Hàm P(u,v) ở các giá trị u, v nào đó là các điểm trên bề mặt tại giá trị đó. Cách tổng quát nhất để mô tả phương trình tham số của bề mặt cong trong không gian 3 chiều là:
P(u,v) = [x y z]T = [x(u,v), y (u,v), z(u,v)]T
Phương trình trên chỉ ra các điểm trên bề mặt trong không gian E3 (x,y,z) là một ánh xạ từ không gian tham số E2 (u,v), các biến tham số u,v nằm trong một khoảng giới hạn bởi giá trị min và max. Trong phần lớn các bề mặt giá trị này là [0,1] cho cả u và v.
Với cách biểu diễn bề mặt bằng phương trình tham số u,v có các đường cong tham số theo hai hướng u,v. Ta gọi đường cong tham số u,v có các đường cong có u = const và các đường cong đó "song song" với trục v, tương tự đường cong tham số v có nghĩa là đường cong có v=const và "song song" với trục u. Nếu ta rời rạc u,v trong phạm vi biến thiên của chúng sẽ được các đường cong tham số u và v trải kín bề mặt tương đối đều. Đặc điểm này chính là cơ sở của phương pháp sinh đường dụng cụ đẳng tham số
2.8.2.2. Thuật toán sinh đường dụng cụ đẳng tham số
Bề mặt được chia nhỏ bằng các đường cong tham số trong không gian tham số theo hai chiều (theo hai hướng u và v). Mỗi đường cong tham số lại được xấp xỉ bởi một loạt các đoạn thẳng. Các thuật toán quan trọng trong phương pháp này cần giải quyết là:
- Chia đường cong tham số thành các đoạn thẳng sao cho ít nhất mà vẫn đảm bảo sai số cho phép.
- Xác định đường dụng cụ từ các đường tiếp xúc (Cutter-Contact) đã được xấp xỉ ở trên
Hình 2.19- Gia công theo đường cong tham số u, v
Hình vẽ là một mảnh bề mặt tham số. Giả sử hướng gia công là u, thì như vậy dụng cụ sẽ chuyển động dọc theo đường cong v=const trên bề mặt, nghĩa là trên đường cong tham số P(u,c).
Hình 2.19 chỉ ra cách chia các đường cong tham số thành loạt các đoạn thẳng. Ta xét điểm Pi trên đường cong có vectơ pháp tuyến và tiếp tuyến đơn vị tại điểm đó là n và t. Pi và các vectơ đơn vị nhận được từ phương trình biểu diễn bề mặt. Dung sai e có được từ yêu cầu gia công. Chiều dài bước tiến s của đoạn thẳng
(division) mà dụng cụ chuyển động trong lúc gia công phải phù hợp với dung sai yêu cầu.
Đối với một bước đủ nhỏ thì điều này hợp lý để xấp xỉ đường cong xung quanh Pi bằng một đường tròn mặt tiếp nó (đường tròn tiếp xúc lớn nhất với đường cong tại Pi, tâm O nằm trên pháp tuyến của đường cong, bán kính r bằng bán kính cong tại Pi). Nếu dụng cụ di chuyển chiều dài bước s, điểm Q trên vòng tròn có thể không trùng với điểm Pi+1 trên đường cong P(u,c), tuy nhiên đối với bước sử dụng nhỏ (thoả mãn dung sai e) Q rất gần với Pi+1 và đi tìm công thức tính Q thay cho Pi+1 làm điểm tiếp xúc trong quá trình gia công.
2 2 2 ( ) 2 s r r e hay S2 = 4.e.(2.r - e)
Véc tơ đơn vị m theo hướng của chiều dài bước chia s được tính bởi công thức sau: 2 1 1 2 2 h s m h rn h t h r e Hay 1 2 2 2 2. (h r e) 2. .h r sn t n h r e h r e Xét tam giác PiOG ta có: 1 . 2( ) r s h r e Và 2 2 . 4( ) r s h r e Vậy ta có: 2 r e s m t n r r
Và véctơ vị trí Q trên vòng tròn mật tiếp được cho bởi: Q = Pi + s.m Hay: .( ) 2 i r e s Q P s t n r r
Bây giờ ta đi tính tham số ui+1 tương ứng với điểm Pi+1 (toạ độ của Pi+1 được lấy xấp xỉ là toạ độ của Q theo công thức trên), sau đó lấy ui+1 thay lại phương trình bề mặt sẽ có toạ độ chính xác của Pi+1 và tính các tham số khác tại Pi+1 như các véctơ tiếp tuyến, pháp tuyến đơn vị, bán kính cong r dùng để tính điểm tiếp theo Pi+2.
Sử dụng phương pháp sai phân để tính gần đúng ui+1. Chọn một điểm D giữa Pi và Pi+1 ví dụ lấy điểm giữa và điểm tham số uD. Giả sử C là điểm ở bước trước đã tính được và có tham số uC.
Bốn điểm C, Pi, D và Pi+1 và các giá trị tham số tương ứng tham gia vào tính toán. Trước hết tính toán khoảng cách giữa C và D theo phương các toạ độ x, y, z và lấy giá trị có giá trị tuyệt đối lớn nhất gán cho biết w. Theo phương pháp sai phân có thể viết. 1 (w 1 w )[ 1 (w 1 w ) ]3 i c i c i i u u k k Trong đó: 1 ; w w i c i c u u k 2 ; w w D i D i u u k 2 1 3 . w -wD c k k k
Như vậy đường cong P(u,c) được xấp xỉ thay bằng một loạt các đoạn thẳng đi qua các điểm Pi đảm bảo sai số e. Từ một loạt các đoạn thẳng đó phải đi tìm đường dẫn dao theo các công thức.
Các bước của thuật toán có thể được tóm tắt như sau:
1) Chọn hướng gia công trên bề mặt. Nếu chọn hướng u thì u = const, gia công theo đường cong P(u,c).
2) Đặt uC = 0 và tính vị trí, véctơ tiếp tuyến và pháp tuyến đơn vị và bán kính cong tại uA = 0
3) Dùng phương pháp vòng tròn mật tiếp tính được điểm Q và coi là gần đúng của Pi.
4) Tính thêm một điểm D tại tham số uD, điểm D nằm ở trong khoảng CQ. 5) Chọn biến w là trị tuyệt đối lớn nhất trong số 3 thành phần khoảng cách CD trên 3 phương.
6) Cập nhật tham số u theo phương trình viết ở trên để tính ui+1 7) Nếu u = umax thì gán u = umax, nếu không nhảy đến bước 8
8) Tính vị trí, véctơ tiếp tuyến và pháp tuyến đơn vị và bán kính cong tại tham số u mới (ui+1)
9) Tính điểm mới của đường dụng cụ (toạ độ mũi dao) tại tham số u
10) Nếu u < umax, gán uC = uD chạy đến bước u; nếu không chạy đến bước 11 11) Nếu v < vmax, gán v = v+dv và chạy đến bước 2; nếu không chạy đến bước 12
12) Kết thúc
Kết luận:
Phạm vi giới hạn của phương pháp này là gia công tinh bề mặt tham số P(u,v) (surface patch) hoàn chỉnh (không phải bề mặt trim) bằng dao ngón đầu cầu hoặc đầu phẳng, yêu cầu độ cong tại bất kỳ mọi điểm trên bề mặt phải lớn hơn bán kính dụng cụ tức là bán kính vòng tròn mật tiếp với đường cong u và v tại mọi điểm
phải lớn hơn bán kính dụng cụ, nếu không sẽ bị cắt lẹm. Thực tế để gia công một bề mặt chi tiết thì không thể dùng phương pháp này được vì các lý do sau:
i. Bề mặt chi tiết thực tế có thể cấu thành từ nhiều mảnh bề mặt lắp ghép lại, mỗi mảnh bề mặt có thể là một trong các loại bề mặt như: rule, revolve, extrude, patch, offset surface, coons surface, fillet surface..mà mỗi loại bề mặt lại có biểu diễn toán học khác nhau. Hay nói cách khác là bề mặt của toàn chi tiết nói chung không có đạo hàm liên tục khi đi qua các mảnh bề mặt khác nhau.
ii. Dụng cụ để gia công phải gồm nhiều loại để đảm bảo: tính chất cắt gọt, chất lượng bề mặt, năng xuất gia công…
iii. Kiểu đường chạy dao phải chọn hợp lý để đảm bảo năng xuất và chất lượng gia công chứ không thể theo hướng của tham số u và v là đủ. Hơn nữa khi nhiều loại bề mặt lắp ghép lại tạo thành một bề mặt chi tiết thì tính liên tục giữa các miếng ghép nói chung không tồn tại ví dụ như chỗ thành đứng. Hướng u, v giữa các bề mặt cạnh nhau lại có thể khác nhau.
iv. Vấn đề cắt lẹm không được đề cập đến vì khi tính cho một miếng bề mặt thì dữ liệu của những miếng bề mặt khác nhau tham gia vào tính toán hoặc khi tính toán đường dụng cụ theo hướng tham số u thì không chắc đường cong tham số v tại điểm tính có nằm trong vùng dụng cụ hay không, do tính chất lồi, lõm theo 2 phương và độ cong của bề mặt.
Có thể nói rằng phương pháp này chỉ sử dụng các thông tin cục bộ tại từng điểm trên bề mặt (vectơ toạ độ, pháp tuyến và vectơ tiếp tuyến đơn vị), nên không thể tránh khỏi sai sót.