a/ Định nghĩa : Một phân bố tần số là một bảng liệt kê tất cả các đơn vị điểm số trên một hàng và số học sinh có mỗi đơn vị điểm ấy được liệt kê ở hàng thứ hai. trên một hàng và số học sinh có mỗi đơn vị điểm ấy được liệt kê ở hàng thứ hai.
Ví dụ : Một bảng phân bố điểm số của 44 học sinh như sau :
Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần
số 0 2 1 4 6 11 7 5 4 3 1
b/ Các dạng phân bố :
- Nếu phân bố tần số tập trung ở nhóm điểm số cao, tức là trong nhóm có nhiều học sinh đạt điểm từ 7-10 thì bài trắc nghiệm là tương đối dễ so với trình độ của nhóm.
- Nếu phân bố tần số tập trung ở nhóm điểm số thấp, tức là trong nhóm có nhiều học sinh đạt điểm từ 0-4 thì bài trắc nghiệm là tương đối khó so với trình độ của nhóm.
- Nếu phân bố tần số tập trung ở điểm số trung bình 5-6, các điểm số thấp và cao ít hơn, thì bài trắc nghiệm đó là vừa sức đối với nhóm.
- Thông thường một nhóm học sinh đông có điểm số phân bố theo một đường cong bình thường ( đường cong Gauss)
Tần số
0 Điểm số 2/ Các thông số định tâm :
a/ Số yếu vị ( Mode) :
- Là điểm số chiếm nhiều nhất trong một phân bố điểm số. - Kí hiệu : Mo
Ví dụ : Trong dãy phân bố điểm số sau đây thì điểm 6 là số yếu vị ( Mo = 6)
vì nó tần số cao nhất bằng 11.
Điểm 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần
số 4 6 8 11 5 4 3 1
- Nếu chúng ta phân chia điểm số theo nhóm, chẳng hạn chia điểm số từ 1 - 10 thành 5 nhóm là : 1-2, 3-4,...., 9-10. Thì nhóm điểm nào có tần số cao nhất nhóm điểm số đó gọi là đẳng loại yếu vị. Số yếu vị trong trường hợp này là trung điểm của đẳng loại yếu vị.
Chú ý :
+ Nếu có hai loại điểm số liền nhau đều có tần số cao nhất và bằng nhau thì Mode là trung bình cộng của hai số đó.
+ Nếu có hai loại điểm số không liền nhau đều có tần số cao nhất và bằng nhau thì cả hai số đó đều là Mode.
+ Nếu phân bố điểm có số yếu vị là 8 chẳng hạn thì vùng điểm số trung tâm được dời lên phía điểm số cao, như vậy bài trắc nghiệm là dễ so với trình độ của nhóm
+ Nếu phân bố điểm có số yếu vị là 3 chẳng hạn thì vùng điểm số trung tâm được dời về phía điểm số thấp, như vậy bài trắc nghiệm là khó so với trình độ của nhóm.
b/ Số trung vị ( Median) :
- Là điểm số nằm ngay tại vị trí chính giữa của một phân bố điểm số .Đây là điểm phân chia một phân bố điểm số thành hai phần bằng nhau và bằng 50% điểm số.
- Kí hiệu : Me Cách tính:
B1 : Xếp thứ tự các điểm số theo một dãy tăng dần, tương ứng với hàng điểm số là hàng phân bố tần số .
B2 : Tích luỹ tần số tại các điểm số bằng cách cộng dồn từ điểm số thấp nhất. Cuối cùng ta được tích luỹ tần số là N (là số điểm số có trong phân bố ). B3 : Tính ( N + 1) / 2 ( đây chính là vị trí của số trung vị Me ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
B4 : Dò theo cột tần số tích luỹ, ta sẽ thấy vị trí của số trung vị thuộc về điểm số nào. Điểm số đó chính là số trung vị Me.
Chú ý : Nếu vị trí của số trung vị nằm giữa hai điểm số thì số trung vị Me là trung bình cộng của hai điểm số đó.
Ví dụ : Một bảng phân bố tần số như sau : B1 : Sắp xếp bảng phân bố tần số Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 2 2 5 8 4 7 3 5 3 1 B2 : Tích luỹ tần số Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 2 2 5 8 4 7 3 5 3 1 Tích luỹ tần số 2 4 9 17 21 28 31 36 39 40 B3 : Tính ( N + 1 ) / 2 = ( 40 + 1 ) / 2 = 20,5 B4 : Vị trí 20,5 là vị trí nằm giữa 20 và 21. Ở vị trí 20 là điểm số 5 , ở vị trí 21 cũng là điểm số 5 Do đó số trung vị Me = ( 5 + 5 ) / 2 = 5
Công dụng : Biết được số trung vị và bảng phân bố tần số ta có thể biết được có khoảng bao nhiêu người có điểm số trên số trung vị, từ đó có thể đánh giá được bài trắc nghiệm.
- Là điểm số được tính bằng cách cộng tất cả các điểm số của học sinh lại và sau đó chia cho tổng số học sinh làm bài.
Ví dụ : Có bảng phân bố tần số như sau : Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 2 2 5 8 4 7 3 5 3 1 Mean = 1.2 2.2 3.5 4.8 5.4 6.7 7.3 8.5 9.3 10.1 5,3 2 2 5 8 4 7 3 5 3 1
3/ Các thông số đo độ phân tán : a/ Hàng số ( Range) : a/ Hàng số ( Range) :
- Hàng số là số đo khoảng cách giữa điểm số cao nhất và điểm số thấp nhất. - Công thức tính : Hàng số = Max - Min
Ví dụ : Có dãy điểm số sau đây : 3,5,4,7,9,10,8,5,4,7,8,9,6 Hàng số = 10 - 3 = 7
Công dụng :
+ Hàng số cho biết độ phân tán điểm số của học sinh trong một nhóm. + Nếu giá trị hàng số lớn thì các điểm số bị phân tán xa vùng điểm số trung tâm
+ Nếu giá trị hàng số nhỏ thì các điểm số tập trung vùng điểm số trung tâm
+ Hàng số thường dùng để so sánh mức phân tán điểm số giữa các lớp học.
Ví dụ : Kết quả làm bài của hai lớp 10A1 và 10A2 có phân bố như sau : Lớp 10A1 Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 2 1 2 5 7 10 4 4 3 2 Lớp 10A2 Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số 0 0 4 6 12 8 5 5 0 0 Nhận xét : Lớp 10A1 có hàng số là 10 - 1 = 9 Lớp 10A2 có hàng số là 8 - 3 = 5
- Như vậy điểm số của lớp 10A1 phân tán nhiều hơn, do đó lớp 10A2 học đều hơn lớp 10A1. Lớp 10A1 có cả học sinh giỏi và học sinh kém, lớp 10A2 không có học sinh kém và học sinh giỏi
- Lớp 10A1 học giỏi hơn lớp 10A2.
b/ Độ lệch tiêu chuẩn ( Standard Deviation ) :
- Độ lệch tiêu chuẩn là căn số bậc hai của số trung bình của bình phương các độ lệch.
- Độ lệch bằng hiệu của một điểm số so với trị số trung bình. - Kí hiệu : s ( là độ lệch tiêu chuẩn của một mẫu )
- Công thức : 2 ( )2 ( 1) n X X s n n
( X : là điểm số ; n là cỡ của mẫu )
Ví dụ : Có một dãy điểm số như sau :
Điểm 3 4 5 6 7 8 9 Tần số 2 1 2 2 1 1 1 X = 56 , X 2= 350 , n = 10 2 ( )2 ( 1) n X X s n n = 10.350 562 10(10 1) = 2,01
Công dụng : Độ lệch tiêu chuẩn là một số đo lường cho biết các điểm số trong một phân bố đã lệch đi so với trung bình là bao nhiêu.
+ Nếu giá trị s là nhỏ thì các điểm số tập trung quanh giá trị trung bình. + Nếu giá trị s là lớn thì các điểm số lệch xa giá trị trung bình.
- Người ta thường sử dụng độ lệch tiêu chuẩn để so sánh mức phân tán hay mức đồng nhất của nhiều nhóm điểm số.
- Người ta còn dùng độ lệch tiêu chuẩn để xét tính chất tượng trưng của trung bình cộng. Phân bố nào có SD nhỏ hơn thì trung bình cộng của phân bố ấy có tính tượng trưng hơn.
- Ngoài ra độ lệch tiêu chuẩn còn giúp ta xác định vị trí của một điểm số trong phân bố.
4/ Độ khó của bài trắc nghiệm Cách 1 : Cách 1 :
- Để xét độ khó của bài trắc nghiệm thì chúng ta đối chiếu điểm số trung bình của bài trắc nghiệm với điểm số trung bình lý tưởng của nó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Điểm tối đa + Điểm may rủi kỳ vọng Điểm trung bình lý tưởng =
2 Ví dụ : Ví dụ :
+ Một bài trắc nghiệm có 100 câu, loại câu 4 lựa chọn, mỗi câu 1 điểm. + Loại câu có 4 lựa chọn có tỉ lệ 25% may rủi kỳ vọng tức là khoảng 25 câu tức là điểm may rủi là 25điểm.
+ Điểm trung bình lý tưởng = (100 + 25) / 2 = 62,5 điểm
- Nếu điểm số trung bình của lớp học là xấp xỉ 62,5 thì đây là bài trắc nghiệm đó có độ khó vừa phải cho lớp học đó.
- Nếu điểm số trung bình của lớp học lớn hơn hoặc nhỏ hơn 62,5 rất nhiều thì bài trắc nghiệm này là dễ hoặc khó so với lớp học đó.
Cách 2 :
- Có thể xác định độ khó của bài trắc nghiệm bằng cách so sánh điểm trung bình của cả lớp học với trung điểm của điểm cao nhất và thấp nhất của lớp học đó.
Ví dụ :
+ Một bài trắc nghiệm có 100 câu, loại câu 4 lựa chọn, mỗi câu 1 điểm.
- Nếu cả lớp học có điểm trung bình là 48 thì bài trắc nghiệm này là khó so với lớp đó.
- Nếu cả lớp học có điểm trung bình là 70 thì bài trắc nghiệm này là dễ so với lớp đó.
- Nếu cả lớp học có điểm trung bình xấp xỉ 60 thì bài trắc nghiệm này là vừa phải so với lớp đó.