2. 1.3 Ph−ong trình l−u l−ợng tại điểm nút:
2.3.Các ph−ơng pháp tính toán
2.3.1..Ph−ơng pháp giải bài toán Côsi:
Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải ph−ơng trình vi phân th−ờng. Bài toán đơn giản nhất của hệ ph−ơng trình vi phân Côsi nh− sau:
f (x y y yn) dx dy ... , , 1 2, 1 1 = f (x y y yn) dx dy ... , , 1 2, 2 2 =
Tìm các nghiệm y1=ϕ1( )x , y2=ϕ2( )x ,…., yn=ϕn( )x , của hệ ph−ơng trình vi phân thoả mãn điều kiện Côsi hay các điều kiện ban đầu:
y1(x0)=α1 , y2(x0)=α2 , …., yn(x0)=αn; x0≤x≤ X ; x,α là những số cho tr−ớc
f1(x,y1,y2,…,yn), f2(x,y1,y2,…,yn),….,fn(x,y1,y2,…,yn), là những hàm số đã biết của n+1 đối số x,y1,y2,…,yn.
Đối với bài toán Côsi th−ờng chỉ có thể tìm đ−ợc nghiệm đúng của một số ph−ơng trình đơn giản nh− ph−ơng trình có biến phân ly độc lập, ph−ơng trình đẳng cấp cấp 1, ph−ơng trình tuyến tính cấp 1, … còn đối với bài toán mà vế phải f(x,y) có dạng bất kỳ thì nói chung không có ph−ơng pháp giải đúng. Nếu tính gần đúng thì quá phức tạp nên ít sử dụng trong thực tế.
2.3 .2.Ph−ơng pháp ơle hoặc ơle cải tiến:
Đặc điểm của ph−ơng ơle là tính toán đơn giản. Bài toán này có dạng nh− sau: y=f(x,y)
y(x0)=α x0≤ x ≤ X
Để tìm các giá trị gần đúng của nghiệm đúng y(x) cho bài toán:
Ta chia khoảng [x0,X) thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia Xi. Xi=X0+i.h ; i = 0,1,2,…,n-1
Xn=X ; h =
n x X − 0
Giải giá trị gần đúng tại xi là (yi ) , giá trị đúng của nghiệm đúng tại xi là yi của nghiệm y(xi+1). Chẳng hạn giải cấp 2, cấp 3, hoặc cấp 4 … Tùy theo yêu cầu chính xác nghiệm bài toán, ta có thể dùng cấp chính xác cụ thể của ph−ơng pháp giải.
Để tăng độ chính xáccủa ph−ơng pháp Ơle ng−ời ta có thể giải bài toán theo ph−ơng pháp sau:
Khai triển chuỗi Taylo, nghiệm y(x) của bài toán tại xi. ( ) ( ) ( ) ( ) ( i) ( )i i i x x y x x x y c x y x y '' ! 2 2 − + − + = , ci∈ (xi,x)
Thay x= xi+1= xi+h , y(xi)= f(xi,y(xi)) vào đẳng thức trên, ta có: y( ) ( )xi y xi hf(xi y( )xi ) h y''( )ci 2 , 2 1 − = + + , ci∈(xi,x) Hoặc viết rút gọn: yi+1- yi= hf(xi,x) yi+1= yi+ hf(xi,yi), i= 0,n−1 y0= y(x0)= α
Với ph−ơng pháp giải Ơle cải tiến, áp dụng công thức Niutơn- Lepnit.
Tính gần đúng tích phân xác định ở vế phải bằng công thức hình thang ta nhận đ−ợc: [ ( , ) ( , )], 0, 1 2 1 1 1 1 1 = + + + + = − + y h f x y f x y i n yi i i i Với y0= y(x0) = α
Nh−ợc điểm của ph−ơng pháp này là độ chính xác thấp (độ chính xác cấp 1). Để khắc phục nh−ợc điểm này, có thể giải bài toán bằng cách giảm b−ớc h,
nh−ng khi đó khối l−ợng tính toán tăng lên và sai số tích luỹ do thực hiện các phép tính sẽ tăng lên.
2.3.3 .Ph−ơng pháp Runge- Kutta.
Ph−ơng pháp Runge- Kutta là ph−ơng pháp giải có độ chính xác cao và cũng nh− giải ph−ơng pháp Ơle. Nh−ng khi xây dựng công thức Ơle có độ chính xác cấp 1, ta dùng triển khai Taylo, nghiệm y(x) của bài toán tại xi với ba số hạng. Để thành lập những công thức Runge- Kutta có độ chính xác cao hơn. Xây dựng công thức Runge- Kutta trong tr−ờng hợp tổng quát khá phức tạp, ở đây ta chỉ xét chi tiết trong tr−ờng hợp đơn giản nhất.
xn= X; n x X h − 0 =
Giải giá trị gần đúng yi của nghiệm y(xi), cần tính giá trị đúng yi+1 của nghiệm đúng y(xi+1). Chẳng hạn giải bài toán cấp chính xác cấp 2, cấp 3 hoặc cấp 4. Tuỳ theo yêu cầu chính xác nghiệm bài toán, ta có thể dùng cấp chính xác cụ thể của ph−ơng pháp giải.
Ví dụ, khi khai triển Taylo nghiệm y(xi+1) của bài toán tại xi, ta bỏ số hạng 0(h5) của ph−ơng pháp giải. Nghiệm giải bài toán với độ chính xác cấp 4 nh− sau:
yi+1 = yi+1/6 (k1(i)+2k2(i)+2k3(i)+k4(i)) k1(i)= hf (xi,yi)
k2(i)=hf (xi+h, yi+k1(i)/2) k3(i)= hf (xi+h/2, yi+k2(i)/2) k4(i)= hf (xi+h, yi+k3(i)) i= 0, n-1
Trong công thức Runge- Kutta nêu trên, ng−ời th−ờng dùng giải bài toán với cấp chính xác cấp 4 vì nó có độ chính xác cao và công thức tính toán cũng không quá phức tạp.
Nếu so sánh các ph−ơng pháp trên (ơle,côsi) thì ph−ơng pháp Runge- Kutta có độ chính xác cao hơn nh−ng tính toán phức tạp hơn. Ngày nay, các công cụ tính toán chuyên dụng d−ới dạng các phần mềm trọn gói đã trở nên rất phổ biến nên Luận văn sẽ sử dụng phần mềm Matlab để giải bài toán mô phỏng và khảo sát hệ thống dẫn động phanh thuỷ khí. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. 3. 4.Giới thiệu chung về phần mềm Matlab
Matlab 7.0, là phần mềm tính toán hiện đại khá thông dụng hiện nay trong các tính toán kỹ thuật, th−òng đ−ợc sử dụng để giải các bài toán phức tạp
và bài toán tổ hợp với các phần tử là các ma trận mô tả những nghiên cứu kỹ thuật bằng toán học.
Đây là phần mềm có dao diện mạnh cùng nhiều lợi thế trong kỹ thuật lập trình để giải quyết những vấn đề rất đa dạng trong nghiên cứu khoa học kỹ thuật và có thể ứng dụng vào việc giải các bài toán mô phỏng hoạt động của các hệ thống trong ôtô. Các câu lệnh đơn giản, dễ hiểu đ−ợc viết sát với mô tả kỹ thuật, khiến cho việc lập trình bằng ngôn ngữ nhanh và chính xác hơn, cho phép giải các loại hình toán học khác nhau nhất là rất hữu dụng cho hệ ph−ơng trình vi phân tuyến tính hay các bài toán về ma trận.
Matlab đóng vai trò nh− một công cụ tính toán cho phép tính nhanh các trị số biểu thức và l−u giữ trị số của biểu thức vào bộ nhớ của máy tính.
Matlab cung cấp xử lý các mảng dữ liệu, véc tơ ma trận, tính toán và xuất kết quả của các biểu thức với dữ liệu đầu vào là các véc tơ.
Matlab cung cấp các hàm để giải các vấn đề th−ờng gặp trong kỹ thuật. Ngoài ra còn có các mô đun ứng dụng riêng phục vụ cho nghiên cứu nh− ph−ơng trình vi phân đạo hàm riêng, giải các bài toán bền bằng ph−ơng pháp hữu hạn.
Cú pháp odesol ver dùng để định nghĩa và giải các ph−ơng trình vi phân với thuật toán giải theo ph−ơng pháp Runge- kutta.
Đặc biệt, Matlab có công cụ Simulink có thể sử dụng rất thuận tiện để mô phỏng các hệ thống, hoạt động của các cơ cấu máy, ... d−ới dạng nhiều phần tử liên kết với nhau. Simulink là ph−ơng pháp lập trình trực quan bằng cách chọn và kết nối những khối chức năng có sẵn trong th− viện của nó để tạo thành một ch−ơng trình tính toán d−ới dạng sơ đồ khối. Cách làm này có −u điểm là trực quan và rất thuận tiện cho ng−ời sử dụng, tránh đ−ợc việc phải ghi nhớ các quy
tắc lập trình và các câu lệnh phức tạp bằng tiếng Anh. Vì vậy, Luận văn đã lựa chọn công cụ này để giải bài toán mô phỏng hệ thống dẫn động phanh bằng khí nén và tính quãng đ−ờng phanh ôtô.
2.4. Kết luận
- Ph−ơng pháp mô phỏng cho phép mô hình hoá và xây dựng mô hình toán học các hệ thống dẫn động thuỷ khí một cách t−ơng đối đơn giản
- Việc giải hệ ph−ơng trình vi phân trên máy tính sẽ không quá phức tạp nếu ta chấp nhận một số giả thuyết nhằm tuyến tính hoá một số ph−ơng trình vi phân trong hệ thống.
Ch−ơng III