Mô hình này có thể áp dụng với kịch bản như là môi trường IP/MPLS được trình bày trước đây. Trong trường hợp này, danh sách các site truy cập khác với danh sách các site đặt nút mạng trung tâm có khả năng nhằm chọn ra các kiểu khác nhau cảu các nút. Ở phần trước, chúng ta thực hiện các phép toán với điều kiện mạng xương sống kết nối hoàn toàn với nhau. Trong hình vẽ, ta sử dụng hình tròn để thể hiện site truy cập, hình tam giác thể hiện site đặt nút mạng trung tâm có khả năng, giống như trong mục 2.1. Hình 2.1a ở mục 2.1 là một ví dụ về kịch bản ban đầu của các site truy cập và các site đặt nút mạng trung tâm có khả năng (possible core node location sites).
Chúng ta bắt đầu với những ký hiệu cho thông tin đã có. N là tổng số các site truy cập, M là vị trí tiềm năng của nút mạng trung tâm trong cấu trúc mạng cấp độ 2, trong đó có P vị trí được chọn. Kj thể hiện số site truy cập tối đa có thể kết nối với một nút trung tâm tại vị trí j =1, 2,…, M, ξij biểu thị chi phí khi kết nối site truy cập i với site nút trung tâm tiềm năng j. Chi phí khác là ηj , biểu diễn chi phí của thiết bị nút mạng với điều kiện thiết bị đầu cuối đường liên kết truy cập tối đa Kj
nếu đặt tại vị trí j với mạch ghép nối với các vị trí bộ định tuyến được chọn khác. Cuối cùng ζjk thể hiện chi phí khi kết nối site nút mạng trung tâm tiềm năng j đến site nút mạng trung tâm tiềm năng k, trong trường hợp này, giả sử phí tổn là đối xứng ζjk = ζkj.
định kết nối site truy cập với 1 site định tuyến có khả năng, tập thứ 2 để quyết định chọn 1 site nút mạng trung tâm và tập biến thứ 3 để quyết định liên kết nối trong mạng trung tâm. Ta có cụ thể như sau:
uij= 1, nếu site truy cập i được kết nối với site định tuyến j khi có bộ định tuyến được đặt tại vị trí j; ngược lại bằng 0 (uijlà biến nhị phân)
rj = 1, nếu site định tuyến j được chọn để đặt một bộ chuyển mạch; và bằng 0 nếu ngược lại;
sjk = 1, nếu site chuyển mạch j được kết nối với site chuyển mạch k (nếu các bộ chuyển mạch đều được đặt ở hai vị trí j và k) ngược lại bằng 0 (sjk là biến nhị phân).
Ở đây, các véc tơ nhận quyết định đối với việc truy cập và định vị là u và r. Chúng ta cũng có véctơ quyết định kết nối s giữa hai site trung tâm với các thành phần sjk , j = 1, 2,…, M , k = 1, 2,…, M. Do phí tổn ở trung tâm là đối xứng, chúng ta chỉ cần quan tâm đến những thành phần ở trên đường chéo tức là các thành phần có chỉ số j < k, ((k = j+1, j+2,…, M); j = 1, 2,…, M - 1). Để tiện, nếu phải đề cập đến uj1, j2 mà j1 > j2 ta sẽ thay thế bởi uj2, j1.
Ta bắt đầu với điều kiện mọi site truy cập i cần được kết nối với đúng một site nút mạng trung tâm:
1 1
M
j uij , với mọi i (2.2.14)
Một site nút mạng trung tâm j, nếu được chọn, có thể điều tiết tới Kj site truy cập, ngược lại một site nút mạng trung tâm tiềm năng, không được chọn ở mạng trung tâm, không phục vụ bất kỳ site truy cập nào. Điều kiện này có thể được mô tả bằng việc kết hợp các biến lựa chọn site rj:
j j N
i uij K r
1 , với mọi j (2.2.15)
Trong trường hợp liên kết nối trung tâm, một site mạng trung tâm j, nếu được chọn, thì phải có chính xác (P-1) đường liên kết đến các site mạng trung tâm được chọn khác. Điều này chỉ đúng với các site nút trung tâm được chọn và được thể hiện thông qua phương trình sau :
j M j k k sjk (P 1)r , 1
, với mọi site trung tâm tiềm năng j (2.2.16) Do mạng trung tâm là mạng liên kết nối hoàn toàn, nên chỉ có P (P − 1)/2 biến quyết định liên kết nối hoạt động. Vì thế ta có :
2 / ) 1 ( 1 1 1 s P P M j M j k jk (2.2.17)
Cuối cùng, chỉ có thể chọn P site trung tâm:
P r
M
j j
1 (2.2.18)
Để hoàn thành phần thảo luận này, cần xét 3 loại chi phí cho bài toán này: 1) chi phí kết nối các site truy cập với các site nút trung tâm, 2) phí tổn định vị thiết bị nút mạng tại mỗi site trung tâm (nếu được chọn) và 3) phí tổn kết nối các đường liên kết trong mạng trung tâm. Vì vậy, hàm mục tiêu có thể được viết như sau :
jk M j M k j jk j M j j ij N i M j iju r s 1 1 1 1 1 1 (2.2.19)
Do đó bài toán D/ONLLC/B với mục tiêu cực tiểu hóa tổng phí tổn khi các ràng buộc được trình bày như trên và với điều kiện các biến số chỉ có thể nhận giá trị 0 hoặc 1. Mô hình hoàn chỉnh được trình bày như sau :
Mô hình bài toán IP : D/ONLLC/B
Định vị nút và Đƣờng truyền kết nối: Hai mức nút/site Các chỉ số
i = 1, 2, ..., N - các site truy cập được kết nối
j, k = 1, 2, ..., M – các vị trí tiềm năng đặt nút trung tâm
Hằng số
P : số vị trí nút được chọn ( P < M )
ξi j : chi phí kết nối site truy cập i đến site trung tâm j
ηj: chi phí cho mở vị trí trung tâm j,
ζjk : chi phí kết nối site trung tâm tiềm năng j đến site trung tâm tiềm năng k Kj : Số lượng tối đa các site có thể xử lý tại vị trí trung tâm j (nếu j được chọn)
Các biến
rj = 1 nếu site nút trung tâm j được chọn để đặt một thiết bị nút mạng, ngược lại bằng 0
sjk = 1 nếu site trung tâm j được kết nối với site trung tâm k; ngược lại bằng 0
Bài toán: Cực tiểu hóa hàm mục tiêu
jk M j M k j jk j M j j ij N i M j iju r s 1 1 1 1 1 1 (2.2.20a) với các ràng buộc 1 1 M j uij , i = 1, 2, ..., N (2.2.20b) j j N i uij K r 1 , j = 1, 2, ..., M (2.2.20c) j M j k k sjk (P 1)r , 1 , j = 1, 2, ..., M (2.2.20d) 2 / ) 1 ( 1 1 1 s P P M j M j k jk (2.2.20e) P r M k j 1 (2.2.20f)
Mô hình này cũng là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 0/1 và được xét giống như bài toán D/ONLLC/B. Lưu ý rằng, mô hình này trở thành bài toán thiết kế vị trí nút mạng liên kết D/NLD nếu ta không xét đến phí tổn phát sinh khi kết nối các nút mạng trung tâm, bỏ qua các số hạng hoặc phương trình liên quan đến sjk ở (2.2.20) và bỏ qua (2.2.20f)
Số vị trí nút mạng trung tâm tối ƣu (trƣờng hợp riêng)
Xét trường hợp đặc biệt khi giả thiết rằng ξij = ξ, ηj = η và ζjk = ζ. Nếu bây giờ, với P cho trước, chúng ta chỉ ra phí tổn tối ưu bởi F P đối với bài toán D/ONLLC/B, sau đó áp dụng (2.2.20a), (2.2.20b), (2.2.20e), và( 2.2.20f) ta có :
F P = ξ N + η P + ζ P (P - 1)/2
Nếu bây giờ ta thay đổi số lượng vị trí được chọn thành P+1, thì ta có biểu thức sau;
F P + 1 = ξ N + η (P + 1) + ζ (P + 1) P/2. Như vậy, ta có F P < F P + 1
Mạng trung tâm liên kết không hoàn toàn
Với 2 bài toán D/ONLLC/A và bài toán D/ONLLC/B, chúng ta giả thiết mạng liên kết là mạng có tính chất mắt xích đầy đủ. Mặc dù giả thiết này có giá trị
thực tiễn với nhiều mạng thực, nhưng việc xây dựng một topo mạng trung tâm có thể hoạt động với mạng trung tâm liên kết nối không đầy đủ là rất cần thiết. Tuy nhiên, việc tạo ra mô hình như vậy là không hề dễ dàng do tính kết nối (kết nối không đầy đủ) của mạng trung tâm cần được xác định nhằm tránh tình trạng mạng liên kết bị tách thành 2 hoặc nhiều mạng liên kết con. Mặt khác, việc phát triển phương pháp tiếp cận heurictic dựa trên cách lập biểu thức đã được trình bày trước đó là dễ dàng . Lưu ý rằng cả 2 cách lập biểu thức đều đảm bảo tính kết nối (kết nối hoàn toàn) của mạng trung tâm. Vì thế phương pháp tiếp cận heurictic đơn giản được phát triển nếu mục đích là để kết nối mạng trung tâm, các link L (khi P-1 ≤ L≤
P (P-1)/2). Phương pháp tiếp cận heurictic này được biết đến như là phương pháp heurictic xóa, và được trình bày như thuật toán 2.2 đối với bài toán D/ONLLC/B; thuật toán đối với bài toán D/ONLLC/A được thực hiện theo các bước tương tự. Có thể thấy, phương pháp heurictic xóa đưa ra cách để đạt được cấu trúc topo mạng khi mạng trung tâm không cần thiết phải liên kết đầy đủ.
Thuật toán 2.2 : Heurictic xóa để tạo ra 1 thiết kế topo kết nối chƣa đầy đủ ( Delete Heuristic to Generate a Less-Than Fully-Connected Topology )
Bước 1: Giải bài toán D/ONLLC/B (2.2.20)
Bước 2: Nếu số đường dẫn (link) mạng trung tâm là cực tiểu, L, được xác định rõ bằng P (P - 1)/2 thì dừng thuật toán ; nếu không chuyển sang bước 3
Bước 3: Sắp xếp tất cả các đường liên kết mạng trung tâm theo thứ tự chi phí giảm dần của chúng, ζjk thích hợp tương ứng với nghiệm tối ưu của (2.2.20)
Bước 4: While ( số đường dẫn link còn lại ≥ L ) do
(a) Chọn các đường liên kết mạng trung tâm có phí tổn cao nhất trong danh sách các đường liên kết hiện tại chưa được kiểm thử hiện tại
(b) Xóa đường dẫn đó nếu tính kết nối toàn bộ mạng trung tâm không bị lỗi, ngược lại đánh dấu nó và bỏ qua nó nếu tính kết nối bị lỗi.
endwhile
2.2.3. Kết quả thử nghiệm
với 15 nút và 25 nút (xem tài liệu [1]).
Kết quả cho bài toán D/ONLLC/A
Bây giờ, ta xét kết quả cho bài toán D/ONLLC/A với hai ví dụ với 15 site và 25 site. Hai ví dụ này phát sinh ngẫu nhiên trên khung lưới x-y . Đối với phí tổn ξij
,chúng tôi sử dụng hệ thức sau ξij = α + β* dist(i, j), trong đó dist(i, j) là khoảng cách oclit giữa site i và site j. Đặt Kj=5 với mỗi vị trí j. Phí tổn ηj được phát sinh một cách ngẫu nhiên. Do Kj= 5 nên để đảm bảo tính giải được của bài toán ta phải có P ≥ 3 khi N=15 (hoặc P ≥ 5 khi N = 25). Lưu ý khi ta đặt α = 0, and β = 1 phí tổn
ξij = dist (i, j) chỉ hoàn toàn toàn phụ thuộc vào khoảng cách ơcơlit. Ta xem trường hợp α = 0, β = 1 như ví dụ phụ thuộc vào khoảng cách.
Tập hình minh họa đầu tiên đối với trường hợp phí tổn chỉ đơn thuần phụ thuộc vào khoảng cách khi N=15; tham khảo các hình 2.3a, 2.3b, và 2.3c với lần lượt giá trị P = 3, 4, 5. Trong các hình vẽ minh họa, các site chuyển mạch được chọn được đánh dấu hình thoi. Từ hình vẽ minh họa này, ta thấy bộ ba nút liên kết trung tâm được chọn trong trường hợp P = 3, cũng sẽ được chọn trong trường hợp
P = 4, P = 5. Điều này thể hiện rằng các nút mạng trung tâm giống nhau luôn luôn sẽ được chọn khi P tăng lên. Để hiểu rõ hơn điểm này, xét trường hợp N = 25. Đối với trường hợp chỉ phụ thuộc vào khoảng cách, thiết kế tối ưu được minh họa trong các hình vẽ 2.4a, 2.4b và 2.4c lần lượt với P = 5, 6, 7, ở các hình này ta thấy các nút mạng liên kết giống nhau không phải lúc nào cũng được chọn khi mà P tăng lên.
Hình 2.3 : Thiết kế ( Chi phí phụ thuộc vào khoảng cách - Distance-Based Cost) (A) D/ONLLC/A: N =15, P =3; (B) D/ONLLC/A: N=15, P= 4; (C) D/ONLLC/A: N=15, P=5
Hình 2.4 : Thiết kế ( Chi phí phụ thuộc vào khoảng cách - Distance-Based Cost) (A) D/ONLLC/A: N =25, P =5; (B) D/ONLLC/A: N=25, P= 6; (C) D/ONLLC/A: N=25, P=7
Với kịch bản trình bày ở trên (đối với trường hợp chỉ phụ thuộc vào khoảng cách) mẫu thiết kế tối ưu là một cái gì đó có vẻ trừu tượng khi mà còn chưa lựa chọn các nút mạng trung tâm. Bằng cách quan sát vị trí các site, ta có cảm giác có thể đoán trước được các site của nút mạng trung tâm sẽ được đặt ở vị trí nào. Điều này không hoàn toàn là như vậy khi mà phí tổn ξij không chỉ phụ thuộc đơn thuần vào khoảng cách ơcơlit nữa. Để thấy rõ điều này, xét hai ví dụ đã đưa ra trước đó, với 15 site và 25 site, nhưng lần này với α = 10 và β = 0.1, trường hợp này được gọi là trường hợp khoảng cách lệch (Skewed – distance). Thiết kế mạng tối ưu với N=15 được minh họa bằng hình vẽ 2.5a, 2.5b và 2.5c với P tương ứng bằng 3,4,5,và thiết kế mạng tối ưu trong trường hợp N=25 được thể hiện ở hình 2.6a, 2.6b,và 2.6c với P lần lượt là 5,6,7. Từ ví dụ khoảng cách hình thoi lệch ta thấy thiết kế tối ưu cho bài toán ONLLC không còn mang tính trực giác nữa. Điều này cũng thể hiện ưu điểm của cách lập mô hình khi phí tổn giữa kết nối giữa hai vị trí là giống nhau và không yêu cầu đơn thuần phụ thuộc vào khoảng cách oclit. Điều mà chúng tôi muốn chỉ ra là trong trường hợp (N=25, và P=5) dù chúng ta sử dụng phí tổn chỉ phụ thuộc vào khoảng cách oclit hay khoảng cách hình thoi lệch ( skewed-distance ) đi chăng nữa thì mẫu thiết kế mạng tối ưu là giống nhau (so sánh hình 2.4.a và hình 2.6a) mặc dù phí tổn tối ưu thực tế là khác nhau (do ξij khác nhau)
Kết Quả Cho Bài Toán D/ONLLC/B
D/ONLLC/B bằng cách đưa ra ví dụ với 30 site (hình 2.1a). Ở kết quả được trình bày ở đây, chúng tôi đặt Kj =6. Tập các site nút mạng trung tâm có khả năng được cho sẵn, xem hình 2.1a thực chất đó là tập các site đầu vào và các nút mạng trung tâm tiềm năng (potenial core nodes) đối với tập kết quả này. Chúng ta xem xét kết quả với cả khoảng cách oclit đơn thuần và khoảng cách oclit hình thoi lệch với ξij và
ζjk. Bản mẫu thiết kế mạng tối ưu với N=30 site và M=10 site nút mạng trung tâm có khả năng khi đặt P = 5, 6, 7 được minh họa trong hình vẽ 2.7a.
Hình 2.5 : Thiết kế sử dụng khoảng cách hình thoi lệch ( Design Using Skewed Distance) - (A) D/ONLLC/A: N =15, P =3; (B) D/ONLLC/A:N=15, P= 4; (C) D/ONLLC/A: N=15, P = 5
Hình 2.6. Thiết kế sử dụng khoảng cách hình thoi lệch ( Design Using Skewed Distance) - (A) D/ONLLC/A: N =25, P =5; (B) D/ONLLC/A : N=25, P= 6; (c) D/ONLLC/A : N = 25, P = 7
Hình 2.7b và hình 2.7c tương ứng khi phí tổn (ξij và ζjk) chỉ đơn thuần phụ thuộc vào khoảng cách oclit; hình vẽ tương ứng đối với trường hợp khoảng cách oclit hình thoi lệch được thể hiện ở hình vẽ 2.8a, 2.8b và 2.8c, quan sát điểm khác
biệt giữa các trường hợp phụ thộc khoảng cách đơn thuần và khoảng cách oclit hình thoi lệch trong thiết kế mạng tối ưu.
Ta nhận thấy một điểm quan trọng là tập các site nút trung tâm được chọn giống nhau có thể không được chọn khi P tăng lên, P = 5 đến P =6 . Khi ta thực hiện chạy cả hai thiết kế (từ Scratch) thì điều này không có gì bất ngờ. Mặt khác, trong môi trường mạng thực tế, một vị trí mạng trung tâm tối ưu được xác định ban đầu (với P=5) và sau đó các nút trung tâm khác được thêm vào khi mạng mở rộng, điều này có nghĩa là vị trí nút trung tâm tối ưu ban đầu không bị thay đổi theo thời gian. Trong trường hợp như vậy, chúng ta không cần thiết phải chạy mô hình giống nhau từ Scratch để đạt được kết quả tối ưu với trường hợp P=6, thay vào đó mà chạy một kịch bản khác khi vị trí nút trung tâm tối ưu hiện tại được giữ nguyên, và bài toán